2024年北京清华附中朝阳学校高三12月月考数学（尖子生）（PDF版，无答案）

2024北京清华附中朝阳学校高三 12 月月考
数学（尖子生）
一、单项选择题：本题共 15 小题，每小题 5 分，共 75 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合U = 1,2,3,4 ，若集合 A、B满足： A B U ，则集合对 (A, B)共有（ ）个．
A．36 B．48 C．64 D．81
2．已知△ABC 的三条边上的高分别为ha ,hb ,hc ，若ha = 3,hb = 4，则hc 的取值范围为（ ）
12 12
A． (1,7) B． ,7 C． (1,12) D． ,12
7 7
3．设数据 1，2，3，4，5 的第 m 百分位为 f (m)，M = {y | y = f (m) ,m N,1 m 100}，则集合 M
中元素的个数为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．100
2 π
4．已知函数 f (x) = sin x + asinx 在 0, 上是增函数，则实数 a的最小值为（ ）
3
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知 z, C, z + z + 2 = 0, =1, z = a + bi(a,b R)，则（ ）
2 2 2 2
A．a + b 1 B．a + b 1 C．a + b 1 D．a + b 1
6．若 sin ( + ) = sin + sin ，则称 为 的“友好角”，已知 为锐角，则 在 0,3π 内的“友好
角”有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
7．现有一种检验方法，对患 X 疾病的人化验结果 99%呈阳性，对未患 X 疾病的人化验结果 99.9%呈阴
性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区 X 疾病的患病率为 0.0004，则这种检验方
法在该地区的误诊率为（ ）
A．0.716 B．0.618 C．0.112 D．0.067
8．在三角形 ABC 中， BAC = 60 , BD = DE = EC ，设 BAD = 1, DAE = 2 ， EAC = 3 ，则
sin 2 =（ ）
sin 1sin 3
A． 3 B．2 3 C． 6 D．2 6
9．甲、乙、丙三辆出租车 2023 年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量 t（单） 7831 8225 8338
油费 s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程 k（公里） 15 15 15
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平均每公里油费 a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车没有载客行驶的里程
出租车空驶率 = ，依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型
出租车行驶的总里程
u = f (t, s,k,a )，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为 23.26%、21.68%、x%，则 x = ______（精确到 0.01）
A．20.16 B．20.68 C．21.56 D．21.79
10．设数列 an 的前 n项和为 Sn ，若存在非零常数 c，使得对任意正整数 n，都有2 Sn = an + c，则称数
列 an 具有性质 p．
①存在等差数列 an 具有性质 p；②不存在等比数列 an 具有性质 p．
对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
11．在四棱锥 P ABCD 中， PF = FD, PE = 2EB，设平面 AEF 与直线交于点G, PG = GC ，则 =
（ ）
3 4 3 2
A． B． C． D．
5 5 4 3
n n
12．设 f (x) = x + sinx ， an 为等差数列， Sn = ai ,T (n) = f (an ) ．则“ S2024 = 2024π ”是
i=1 i=2
“T2024 = 2024π”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1 2
13．定义区间 (m,n)(m n)的长度为 n m，设 k 0 ，若对于任意 a b，不等式 + k 的
x a x b
解集所包含区间长度之和恒为 3，则 k的值为（ ）．
1
A．1 B． C．2 D．3
2
2 2
14．函数 f (x) = x x + 4x x 的最大值为（ ）
A．1 B． 2 C．2 D．2 2
15．已知 OA = OB = 10, OC = 2 ，若CA⊥ CB ，则 AB 的最小值为（ ）．
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A．1 B． 3 C．2 D．2 3
二、多项选择题：本题共 5小题，每小题 5分，共 25分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对得 5分，部分选对但不全得 2分，有错选的得 0分．
16．设周期数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 Sn m,m 1,m +1 ，则 m的取值可以为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
17．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P为棱CC1 中点．则（ ）
A．过 P有且只有一条直线与直线 AB和 A1D1都相交
B．过 P有且只有一条直线与直线 AB和 A1D1都垂直
C．过 P有且只有一个平面与直线 AB和 A1D1都平行
D．过 P有且只有一个平面与直线 AB和 A1D1所成角相等
x2
18．已知双曲线 : y2 =1，对于点 P，若Γ上存在两个点 M、N，使得 P为线段 MN的中点，则称 P
4
为Γ的一个“ ”点，下列各点中，是 的“ ”点的为（ ）
A． (1,0) B． (2,1) C． (2,2) D． (3,1)
19．已知 A(x1, y1 ) , B (x2 , y2 )，直线 l : ax + by + c = 0, 1 = ax1 + by1 + c, 2 = ax2 + by2 + c ．若点 A、B
不在直线 l 上，则直线 AB 与 l 相交的充分条件为（ ）
A． 1 + 2 = 0 B． 1 2 = 0 C． 1 2 0 D． 1 2 0
π
20．在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ACB = ，D 在线段CC1 上，若恒有 ADB ACB ，则 CAB
6
的取值可以为（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
12 6 3 3
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