2024-2025学年上海行知中学高一上学期数学月考试卷及答案（2024.10）（含答案）

行知中学2024学年第一学期高一年级数学月考
2024.10
一、填空题（每小题3分）
1.已知全集，集合，集合，则 .
2.已知方程的一个实根小于0，另一个实根大于0，求实数的取值范围 .
3.已知，则的大小关系为 Q.
4.已知,若，则 .
5.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 .
6.已知,则的取值范围是 .
7.已知，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是 .
8.若关于的不等式的解集为，则的值为 .
9.,则 .
10.已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 .
二、选择题（每小题3分）
11.对于实数，下列命题正确的是（ ）.
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若,则
12.设集合，则（ ）.
A. B.
C. D.
13.如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）.
A. B.
C. D.
14.已知集合满足：(1)；(2)每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（ ）.
A.37 B.39 C.48 D.57
三、解答题（本大题满分58分）
15.(本题满分10分,第1小题5分,第2小题5分).
已知集合，集合。
（1）当时，求和；
（2）已知,若""是""的必要不充分条件,求实数的取值范围.
16.(本题满分10分,第1小题4分,第2小题6分)
某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低个百分点,预测收购量可增加个百分点.
(1)写出税收（万元）与的函数关系式;
(2)要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的,试确定的取值范围.
17.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
已知函数.
（1）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，解关于的不等式.
18.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
（1）已知，且，求证：.
（2）设，用反证法求证：下列三个关于的方程中至少有一个有实数根.
19.(本题满分14分，第1小题3分，第2小题5分，第3小题6分)
设集合为正整数集的两个子集，至少各有两个元素。对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①对于任意，若，都有；
②对于任意，若，则.则称集合为集合的"集".
（1）若集合，写出的"集"（不需要证明）；
（2）若存在"集"，其中.当时，求的最大值.
（3）若三元集存在"集"，且中恰含有4个元素，求证：；
行知中学2024学年第一学期高一年级数学月考
2024.10
一、填空题（每小题3分）
1.已知全集，集合，集合，则 .
【答案】
2.已知方程的一个实根小于0，另一个实根大于0，求实数的取值范围 .
【答案】
3.已知，则的大小关系为 Q.
【答案】【上海数学研讨】
4.已知,若，则 .
【答案】
5.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 .
【答案】
6.已知,则的取值范围是 .
【答案】
7.已知，若是的充分非必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
8.若关于的不等式的解集为，则的值为 .
【答案】-2
9.,则 .
【答案】-1或5
10.已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 .
【答案】
二、选择题（每小题3分）
11.对于实数，下列命题正确的是（ ）.
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若,则
【答案】D
12.设集合，则（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
13.如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C【上海数学研讨】
14.已知集合满足：(1)；(2)每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（ ）.
A.37 B.39 C.48 D.57
【答案】A
三、解答题（本大题满分58分）
15.(本题满分10分,第1小题5分,第2小题5分).
已知集合，集合。
（1）当时，求和；
（2）已知,若""是""的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）或
【解析】(1)由题可知,当时,则,
或,则，
所以
(2)由题可知,是的必要不充分条件,则,
或，解得:或
16.(本题满分10分,第1小题4分,第2小题6分)
某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低个百分点,预测收购量可增加个百分点.
(1)写出税收（万元）与的函数关系式;
(2)要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的,试确定的取值范围.
【答案】（1）, （2）
【解析】（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担，收购总金额为万元.依题意有,
（2）原计划税收为万元，依题意有.
化简得,又.
的取值范围是.
17.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
已知函数.
（1）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）当时，解集为当时，解集为；
【解析】(1)即为，所以不等式对于任意恒成立，
当时，得,显然符合题意；
当时，得，解得.综上，实数的取值范围是.
（2）不等式即为，即.
又，不等式可化为,
若,即时,得或,即解集为或;
若，即时，得，即解集为；
若,即时,得或,即解集为或.
综上可知，当时，解集为当时，解集为；
18.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
（1）已知，且，求证：.
（2）设，用反证法求证：下列三个关于的方程中至少有一个有实数根.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】法一：作差，
因为,所以,又,有。
因为,所以,
则可得证,即.
法二：因为,所以,要证,
只需证,只需证，
因为,所以,即上式成立,
则可得证.
（2）假设这三个方程都没有实根，则，即，.
三式相乘并整理，得，①
因为,所以.同理,
所以,显然与①矛盾，所以假设不成立，从而原结论成立.
19.(本题满分14分，第1小题3分，第2小题5分，第3小题6分)
设集合为正整数集的两个子集，至少各有两个元素。对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①对于任意，若，都有；
②对于任意，若，则.则称集合为集合的"集".
（1）若集合，写出的"集"（不需要证明）；
（2）若存在"集"，其中.当时，求的最大值.
（3）若三元集存在"集"，且中恰含有4个元素，求证：；
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】（1）若，由题意可得，，即，
此时，满足题意.
(2),则且，
由,注意到,故有,即
由,注意到,故有或.又.
同理得，从而必有
对任意的，有，即，
所以，即.
（3）设集合，不妨设，
假设，即，则且，
由②知,注意到,故有,即,所以,
故，即，因为集合中有4个元素，故设，
由②可得：若,则，矛盾；
若，则或或，所以或或，与集合元素的互异性矛盾，假设错误，故.