2024-2025学年上海南汇中学高一上学期数学月考试卷及答案（2024.10）（含答案）

南汇中学2024学年第一学期高一年级数学月考
2024.10
一、填空题(每小题3分,共12题,共36分)
1.已知集合,则 .
2.陈述句"或"的否定形式是 .
3.已知集合，若，则实数 .
4.若""是""的充分条件，则实数的取值范围为 .
5.已知一元二次方程的两个实数根分别为,且,则实数的值为 .
6.若，则关于的不等式的解集为 .
7.已知集合，则集合的的非空真子集的个数为 .
8.已知对任意恒成立,则 .
9.已知集合，则实数取值范围是 .
10.若不等式的解集是则的解集为 .
11.设集合的所有非空子集的元素之和为128，则 .
12.设集合，若非空集合同时满足：(1)，(2)，（其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素），称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为 .
二、选择题（每小题3分，共4题，共12分）
13.设，则是的（ ）.
A.充分条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分 D.既不充分也不必要
14.下列结论正确的是（ ）.
A.所有集合都可以用列举法表示 B.集合表示空集
C.集合,则
D.已知,则
15.,则下列不等式不成立的是（ ）.
A. B. C. D.
16.设集合
，其中，下列说法正确的个数（ ）.
(1)对任意是的子集，对任意不是的子集；
(2)对任意是的子集，存在，使得是的子集；
(3)存在不是的子集，对任意不是的子集；
(4)存在不是的子集，存在，使得是的子集。
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
三、解答题分
17.已知全集,集合.
(1)求; (2)求.
18.已知关于的一元二次方程有实数根。
(1)求实数的取值范围:
(2)取，设一元二次方程两个根为，求.
19.解决下列问题：
(1)设，比较与的大小与的大小；
(2)若,用反证法证明:和中至少有一个大于.
20.集合,
(1)试求实数的取值范围，使；
(2)若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.
21.已知集合为非空数集，定义。
(1)若集合，请证明，直接写出集合和；
(2)若且，集合，求的最小值；
(3)若集合,且,求证:.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.设集合的所有非空子集的元素之和为128，则 .【上海数学研讨】
【答案】
【解析】只有一个元素时,出现一次;有两个元素时,出现4次;有三个元素时,出现6次;有四个元素时,出现4次,共出现15次,的每个元素都出现15次,
故答案为:.
12.设集合，若非空集合同时满足：(1)，(2)，（其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素），称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为 .
【答案】
【解析】(1)当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为:，
(2)当,即集合中元素的个数为2时，的可能情况为:，
(3)当,即集合中元素的个数为3时,的可能情况为:，
的所有好子集的个数为8.故答案为:8.
二、选择题
13.B 14.D 15.C 16.B
16.设集合
，其中，下列说法正确的个数（ ）.
(1)对任意是的子集，对任意不是的子集；
(2)对任意是的子集，存在，使得是的子集；
(3)存在不是的子集，对任意不是的子集；
(4)存在不是的子集，存在，使得是的子集。
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【解析】对于集合,
可得当,即,可得
即有,可得对任意是的子集;
当可得是的子集；
当
可得不是的子集.
综上可得,对任意是的子集,存在,使得是的子集.故选：B.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）证明略
20．（1）（2）不存在
21.已知集合为非空数集，定义。
(1)若集合，请证明，直接写出集合；
(2)若且，集合，求的最小值；
(3)若集合,且,求证:.
【答案】（1）证明见解析， （2）675 （3）见解析
【解析】(1)由,
集合,所以,所以
因为,所以.
(2)设满足题意,其中
则
,
由容斥原理中最小的元素为0,最大的元素为,
即
实际上当时满足题意,
证明如下:设
则
依题意有,即,故的最小值为675.
(3)证明:由于集合,
则集合的元素在中，
且而,
故中最大元素必在中,而为7个元素中的最大者,
故即,故,,故中的4个元素为,
且与重复,而,故即
而,故,故或,
若,则,,与题设矛盾;
故即.