2024-2025学年山东省-济南市山东师大附中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025 学年山东师大附中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 3, 2,0,2}， = { || 1| < 2}，则 ∩ =( )
A. { 2,0} B. {0,2} C. { 2,2} D. { 2,0,2}
2.若命题“ ∈ ，使得 + 2 = 0”是假命题，则实数 的范围为( )
A. { | > 0} B. { | > 2}
C. {0} D. { | > 2，或 = 0}
3.已知函数 ( )的图象如图所示，则 (| |) + 1的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知幂函数 ( ) = ( 2 + 1) 的图像与坐标轴没有公共点，则 (2) =( )
1 1
A. B. √ 2 C. D. 2√ 2
2 4
( +1)
5.已知函数 ( )的定义域为( 3,4)，则函数 ( ) = 的定义域为( )
√ 3 1
1 1 1 1
A. ( , 3) B. ( , 4) C. ( , 5) D. ( , 6)
3 3 3 3
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( 5) 2, ≥ 2 ( ) ( )
6.函数 ( ) = { 1 2
2
，若对任意
+ 2( 1) 3 , < 2 1
， 2 ∈ ( 1 ≠ 2)，都有 < 0成立，则实 1 2
数 的取值范围为( )
A. [ 4, 1] B. [ 4, 2] C. ( 5, 1] D. [ 5, 4]
1 2
7.已知正数 ， 满足 + = 1，则2 + 的最小值是( )
+1
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
8.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且在( ∞,0)上单调递增，若 ( 2) = 0，则( + 1)( ( ) 2 ( )) < 0
的解集是( )
A. ( 2,0) ∪ (0,2) B. ( 2,0)∪ (1,2) C. ( 2, 1) ∪ (0,2) D. ( 2, 1) ∪ (1,2)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合 ， ， 满足 ∩ ( ) = ，则( )
A. ∩ = B. ∪ = C. ∪ ( ) = D. ∪ ( ) =
10.若 > > 0，则下列不等式中不成立的是( )
1 1 1 1 +1 2 +
A. + > + B. > C. > D. >
+1 +2
11.取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，
各去掉中间一段，剩下更短的四段，…，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程
中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三
分集.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间[0,1]上的函数 ( )，规定其具有以下性质：①

任意0 ≤ 1 < 2 ≤ 1， ( 1)≤ ( 2)；② ( ) = 2 ( )；③ ( ) + (1 ) = 1，则关于该函数下列说法正4
确的是( )
1 1
A. ( )在[0,1]上单调递增 B. ( )的图象关于点( , )对称
2 2
1 1 1 15 1
C. 当 = 时， ( ) = D. 当 ∈ [ , ]时， ( ( )) =
16 4 16 16 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ( )是定义在 上的奇函数， > 0时， ( ) = 2 2 3，则 < 0时， ( ) =______．
13.已知两个正实数 ， 满足4 + = 0，若不等式√ ≥ 恒成立，则实数 的取值范围是______．
14.高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，
比如我们教材中所学习的“高斯函数 = [ ]”其中[ ]表示不超过 的最大整数，例如[2] = 2，[3.7] = 3，
[ 2.1] = 3.现有函数 ( ) = |2 [2 + ]|，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数 的取值范围是
______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算化简下列各式：
1 2 27 1
(1)化简： × 83+ ( ) 3 +√ (2 √ 5)2；
3 125
1 1 5 1 1
(2)若 2+ 2 = (其中 > 1)，分别求出 2 2与 + 1的值；
2
7
3 3 3
(3)化简：3 2√ 3 ÷ √ √ 8 √ 15÷ √√ 3 √ 1．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 ( 1) + 2( ∈ )．
(1)若不等式 ( ) ≥ 0恒成立，求 的取值范围；
(2)解不等式 ( ) ≥ 1．
17.(本小题15分)
如图，在周长为8的矩形 中(其中 > )，现将△ 沿 折叠到△ ′ ，设 ′与 交于点 ，
设 = ．
(1)求证：△ ′ 的周长为定值；
(2)试用 表示 ′ 的长，并求 的取值范围；
(3)当 为何值时，△ ′ 的面积 取得最大值，并求出该最大值．
18.(本小题17分)
+ +
已知函数 ( ) = 是定义域为( 1, )的奇函数．
2 1
(1)求出 ( )的解析式；
(2)判断 ( )在区间( 1,1)上的单调性，并用函数单调性定义证明该结论；
1
(3)解不等式 ( )+ (1 ) < 0．
2
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19.(本小题17分)
设 , ∈ ，若函数 ( )定义域内的任意一个 都满足 ( ) + (2 ) = 2 ，则函数 ( )的图象关于点( , )
对称；反之，若函数 ( )的图象关于点( , )对称，则函数 ( )定义域内的任意一个 都满足 ( ) +
5 +3
(2 ) = 2 .已知函数 ( ) = ．
+1
(Ⅰ)证明：函数 ( )的图象关于点( 1,5)对称；
(Ⅱ)已知函数 ( )的图象关于点(1,2)对称，当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 + + 1.若对任意的 1 ∈ [0,2]，
2
总存在 2 ∈ [ , 1]，使得 ( 1) = ( 2)成立，求实数 的取值范围． 3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 2 2 + 3
13.【答案】( ∞,4]
1
14.【答案】[ , 1)
2
1 2 3 1
15.【答案】解：(1)原式= × 23× 3×( )3 + ( ) 3 + (√ 5 2)
3 5
4 5
= + +√ 5 2
3 3
= 1 + √ 5；
1 1 25 25 17
(2)因为( 2 + 2)2 = + 1 + 2 = ，所以 + 1 = 2 = ；
4 4 4
1 1 17 9 1 1
因为( 2 2)2 = + 1 2 = 2 = ，且 > 1，所以 2 > 1， 2 < 1，
4 4
1 1 3
所以 2 2 = ；
2
7 3 1 8 15 1 3 1 1

(3)原式= ( 2 2)3÷ ( 3 3 )2÷ ( 2 2)3
2 7 2
= 3 ÷ 6 ÷ 3
2 7 2
= ( )3 6 3
1
= 6．
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16.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2 ( 1) + 2( ∈ )，
因为不等式 ( ) ≥ 0恒成立，
即不等式 2 ( 1) + 2 ≥ 0恒成立，
当 = 0时，不等式即为 2 ≥ 0，显然不成立，舍去；
当 ≠ 0时，要使得 ( ) ≥ 0恒成立，
> 0
则满足{ ，
= ( 1)2 4 ( 2) ≤ 0
> 0
即{
3 2
，
6 1 ≥ 0
3+2√ 3
解得 ≥ ，
3
3+2√ 3
即 的取值范围为[ , +∞)；
3
(2)由不等式 ( ) ≥ 1，可得 2 ( 1) + 2 ≥ 1，
即 2 ( 1) 1 ≥ 0，
若 = 0时，不等式即为 1 ≥ 0，解得 ≥ 1，不等式的解集为[1,+∞)；
1 1
若 ≠ 0时，不等式可化为 ( 1)( + 1) = ( 1)( + ) ≥ 0( + ) ≥ 0，

1 1
①当 > 0时，不等式等价于( 1)( + ) ≥ 0，解得 ≤ 或 ≥ 1，

1
不等式的解集为( ∞, ] ∪ [1,+∞)；

1
②当 < 0时，不等式等价于( 1)( + ) ≤ 0，

1 1 1
当 > 1时，即 1 < < 0时，解得1 ≤ ≤ ，不等式的解集为[1, ]；

1
当 = 1时，即 = 1时，解得 = 1，不等式的解集为{1}；

1 1 1
当 < 1时，即 < 1时，解得 ≤ ≤ 1，不等式的解集为[ , 1]．

1
综上可得：当 < 1时，不等式的解集为[ , 1]；

当 = 1时，不等式的解集为{1}；
1
当 1 < < 0时，不等式的解集为[1, ]；

当 = 0时，不等式的解集为[1,+∞)；
1
当 > 0时，不等式的解集为( ∞, ] ∪ [1,+∞)．

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17.【答案】解：(1)证明：由题意可知∠ = ∠ ′，∠ = ∠ ′ ， = ′，
所以△ ≌△ ′ ，
所以 = ， = ′， = ′ ，
8
所以 + ′ + ′ = + + = + = = 4(定值)，
2
所以△ ′ 的周长为定值4．
(2)由折叠可知 ′ = + ′ = = ，
所以 = ′ ，即 = ′ ，
由(1)知 + + ′ + ′ = 4，
即( ′ ) + ′ + ′ = 4，所以 ′ = 4 ，
在直角△ ′ 中，由勾股定理可得 ′ 2 + ′ 2 = 2，
即 ′ 2 + (4 )2 = ( ′ )2，
8
化简得 ′ = 4 ，

因为 > ， + = 4，
所以 > 4 且 < 4，即2 < < 4，
8
所以 ′ = 4 ， ∈ (2,4)．

1 1 8 16
(3)在 △ ′ 中， = ′ ′ = (4 )(4 ) = 12 2 , 2 < < 4，
2 2
16 16 16
所以 = 12 2 = 12 ( + 2 ) ≤ 12 2√ 2 = 12 8√ 2，

16
当且仅当 = 2 ，即 = 2√ 2时等号成立，

所以当 = 2√ 2时，△ ′ 的面积 取得最大值，为12 8√ 2．
18.【答案】解：(1)由 2 1 ≠ 0，得 ≠ ±1，
+ +
而函数 ( ) =
2
是定义域为( 1, )的奇函数，可得 = 1，
1
+1+
则 ( ) = 2 ， 1
+1+ +1+ 2+2
由 ( ) + ( ) = 0，可得
2
+ 2 = 2 = 0，解得 = 1， 1 1 1

∴ ( ) = 2 ； 1
(2) ( )在区间( 1,1)上单调递增，证明如下：
1， 2 ∈ ( 1,1)，且 1 < 2，
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2+ 2
则 ( ) ( ) = 1 2 = 1 2 1
2 1 2
1 2 2 2 1+1 2+1 ( 21+1)( 22+1)
1 2( 2 1) ( 2 1) ( 2 1)( = = 1
2 1)．
( 21+1)(
2
2+1) (
2
1+1)(
2
2+1)
∵ 1 < 1 < 2 < 1，∴ 2 1 > 0， 1 2 1 < 0，
( 2 则 ( ) ( ) = 1
)( 1 2 1)
1 2 < 0，即 ( ) < ( )， ( 21+1)(
2
2+1)
1 2
可知 ( )在区间( 1,1)上单调递增；
(3) ∵ ( )是定义域为( 1,1)的奇函数，且在( 1,1)上为增函数，
1 1
则由 ( ) + (1 ) < 0，得 ( ) < (1 ) = ( 1)，
2 2 2
1
1 < < 1
< 1 或 > 1

∴ 1 < 1 < 1，解得{0 < < 4 ，即1 +√ 3 < < 4．
2
1 1 √ 3 < < 0 或 > 1 + √ 3
{ < 1 2
1
∴不等式 ( ) + (1 ) < 0的解集为(1 +√ 3, 4)．
2
5 +3
19.【答案】解：(Ⅰ) ∵ ( ) = ， ∈ ( ∞, 1) ∪ ( 1,+∞)，
+1
5( 2 )+3 5 +7
∴ ( 2 ) = = ．
2 +1 +1
5 +3 5 +7
∴ ( ) + ( 2 ) = + = 10．
+1 +1
即对任意的 ∈ ( ∞, 1) ∪ ( 1,+∞)，都有 ( ) + ( 2 ) = 10成立．
∴函数 ( )的图象关于点( 1,5)对称．
5 +3 2 2
(Ⅱ) ∵ ( ) = = 5 ，易知 ( )在[ , 1]上单调递增．
+1 +1 3
2
∴ ( )在 ∈ [ , 1]上的值域为[ 1,4]．
3
记函数 = ( )， ∈ [0,2]的值域为 ．
2
若对任意的 1 ∈ [0,2]，总存在 2 ∈ [ , 1]，使得 ( 1)= ( 2)成立，则 [ 1,4]． 3
∵ ∈ [0,1]时， ( ) = 2 + +1，
∴ (1) = 2，即函数 ( )的图象过对称中心(1,2)．

( )当 ≤ 0，即 ≤ 0时，函数 ( )在[0,1]上单调递增，由对称性知， ( )在[1,2]上单调递增．
2
∴函数 ( )在[0,2]上单调递增．
易知 (0) = +1.又 (0)+ (2) = 4，∴ (2) = 3 ，则 = [ + 1,3 ]．
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1 ≤ + 1
由 [ 1,4]，得{4 ≥ 3 ，解得 1 ≤ ≤ 0;
≤ 0

( )当0 < < 1，即0 < < 2时，函数 ( )在[0, ]上单调递减，在[ , 1]上单调递增．由对称性，知 ( )在
2 2 2

[1,2 ]上单调递增，在[2 , 2]上单调递减．
2 2

∴函数 ( )在[0, ]上单调递减，在[ , 2 ]上单调递增，在[2 , 2]上单调递减．
2 2 2 2

∴结合对称性，知 = [ (2), (0)]或 = [ ( ), (2 )]．
2 2
∵ 0 < < 2，∴ (0) = +1 ∈ (1,3)，
又 (0)+ (2) = 4，∴ (2) = 3 ∈ (1,3)．
2
易知 ( ) = + + 1 ∈ (1,2)，又 ( )+ (2 ) = 4，
2 4 2 2

∴ (2 ) ∈ (2,3)．
2
∴当0 < < 2时， [ 1,4]成立．

( )当 ≥ 1，即 ≥ 2时，函数 ( )在[0,1]上单调递减，
2
由对称性，知 ( )在[1,2]上单调递减，
∴函数 ( )在[0,2]上单调递减．
易知 (0) = +1，又 (0) + (2) = 4，
∴ (2) = 3 ，则 = [3 , +1]．
1 ≤ 3
由 [ 1,4]，得{4 ≥ +1 ，解得2 ≤ ≤ 3．
≥ 2
综上可知，实数 的取值范围为[ 1,3]．
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