2024-2025学年福建省莆田二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025 学年福建省莆田二中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点(2, 1)，且一个方向向量为( 1,2)的直线方程为( )
A. + 2 = 0 B. 2 + 3 = 0 C. 2 4 = 0 D. 2 5 = 0
2.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 2 + 10 = 24，且 3 = 6，则 8 =( )
A. 60 B. 72 C. 120 D. 144
3.已知直线过点(1,2)，且在纵坐标上的截距为横坐标上的截距的两倍，则直线 的方程为( )
A. 2 = 0 B. 2 + 4 = 0
C. 2 = 0或 + 2 2 = 0 D. 2 = 0或2 + 4 = 0
4.已知两点 1( 2,0)、 2(2,0)，且| 1 2|是| 1|与| 2|的等差中项，则动点 的轨迹方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
4 3 8 4 16 4 16 12
5.已知曲线 = 1 + √ 4 2与直线 = ( 2) + 4有两个相异的交点，那么实数 的取值范围是( )
5 4 5 3 1 7 1 7
A. ( , ] B. ( , ] C. [ , ) D. [ , )
12 3 12 4 4 12 6 12
2, 为偶数
6.在等比数列{ }中， 2 = 2， 4 6 16 5 = 0，若 = { ，且{ }的前 项和为 ，则满足 2 >
, 为奇数
360的最小正整数 的值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7.德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点 ， 是∠ 的 边上的两个定点， 是 边上的一个
动点，当 在何处时，∠ 最大？结论是：当且仅当△ 的外接圆与边 相切于点 时，∠ 最大．人
们称这一命题为米勒定理．在平面直角坐标系内，已知 (1,0)， (3,0)，点 是直线 ： + 1 = 0上一动
点，当∠ 最大时，点 的坐标为( )
1 3
A. ( , ) B. (√ 2, √ 2 + 1) C. (1,2) D. (√ 3, √ 3 + 1)
2 2
8.设 ∈ ，圆 ： 2 + 2 2 6 = 0.若动直线 1： + 2 = 0与圆 交于点 ， ，动直线 2：
2 + 1 = 0与圆 交于点 ， ，则| | + | |的最大值是( )
A. 30√ 3 B. 2√ 30 C. 20√ 3 D. 3√ 30
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 1： + ( 1) + 1 = 0，直线 2： + 2 + 2 = 0，则下列结论正确的是( )
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A. 1在 轴上的截距为 1 B. 2过点(0, 1)且不垂直 轴
2
C. 若 1// 2，则 = 1或 = 2 D. 若 1 ⊥ 2，则 = 3
10.已知各项均为正数的数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1， = √

+ √ 1( ∈ , ≥ 2)． =
1
( ∈ )，数列{ }的前 项和为 .则下列说法正确的是( ) (2 1)( +2)
1 1 1 5
A. =
2 B. 2 + + + < 1
2 2
2 4

C. 数列{ }为单调递减数列 D. 使得 > 的 的最大值为674 2022
11.若点 的坐标是( , )，圆 : 2 + 2 + 2 4 + 3 = 0关于直线2 + + 6 = 0对称， ( , )是圆 上
的动点，则下列说法正确的是( )
A. 点 在直线 3 = 0上
B. 2 + 的取值范围是[ √ 5, √ 5]
C. 以 为直径的圆过定点 (2, 1)
D. 若直线 与圆 切于点 ，则| | > 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知数列{ }的前 项和为 ，数列{ + 1}是公比为2的等比数列.若 1 = 0，则 6 = ______．
13.一动圆 与圆 1：( + 1)
2 + 2 = 25内切，且与圆 2：( 1)
2 + 2 = 1外切，则动圆圆心 的轨迹
方程是____________________．
14.已知二次函数 = 2 + (2 3) 4 11 ( ∈ )与 轴交于 ， 两点，点 (1,3)，圆 过 ， ， 三
点，存在一条定直线 被圆 截得的弦长为定值，则该定值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知正项等差数列{ }满足： 1 = 1且 1， 3，2 7 1成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若数列{ }为递增数列，数列{

}满足： = 2 , ∈ ，求数列{ + }的前 项和 ．
16.(本小题15分)
已知△ 的顶点 (1,1)，边 上的高 所在直线的方程为 + 8 = 0，边 上的中线 所在直线的
方程为5 3 10 = 0．
(1)求直线 的方程及点 的坐标；
(2)求△ 的面积．
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17.(本小题15分)
圆 与直线 ：4 3 + 6 = 0相切于点 (3,6)，且经过点 (5,2)．
(1)求圆 的方程；
(2)已知直线 1： + 4 4 = 0，
①证明：直线 1与圆 相交；
②求直线 1被圆 截得的弦长最短时的方程．
18.(本小题17分)
若数列{ 2 }的前 项和为 ，且 = + 2 ，数列{ }满足 1 = 2, = 3 1 + 2( ≥ 2, ∈ )．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)求证：数列{ + 1}是等比数列；
2
(3)设数列{ }满足 = ，其前 项和为 ，若对任意 ∈ ， +1
+ ≥ 1恒成立，求实数 的取值范围．

19.(本小题17分)
定义： 是圆 上一动点， 是圆 外一点，记| |的最大值为 ，| |的最小值为 ，若 = 2 ，则称 为
圆 的“黄金点”;若 同时是圆 和圆 的“黄金点”，则称 为圆“ ”的“钻石点”.已知圆 : ( +
1)2
1
+ ( + 1)2 = ， 为圆 的“黄金点”．
3
(1)求点 所在曲线的方程．
(2)已知圆 : ( 2)2 + ( 2)2 = 1， ， 均为圆“ ”的“钻石点”．
(ⅰ)求直线 的方程．
1
(ⅱ)若圆 是以线段 为直径的圆，直线 : = + 与圆 交于 ， 两点，对于任意的实数 ，在 轴上是否
3
存在一点 ，使得 轴平分∠ 若存在，求出点 的坐标;若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】57
2 2
13.【答案】 + = 1
9 8
14.【答案】√ 13
15.【答案】解：(1)正项等差数列{ }满足 1 = 1，且 1， 3，2 7 1成等比数列，
设公差为 ，可得 2 23 = 1(2 7 1)，即(1 + 2 ) = 2(1 + 6 ) 1，
解得 = 0或2，则 = 1，或 = 1 + 2( 1) = 2 1；
(2)若数列{ }为递增数列，可得 = 2 1， = 2
2 1，
1 2(1 4 )
则数列{ + }的前 项和 = (1 + 3+. . . +2 1) + (2 + 8+. . . +2
2 1) = (1 + 2 1) + =
2 1 4
22 +12 2 + ．
3
16.【答案】解：(1)因为边 上的高 所在直线的方程为 + 8 = 0，
所以边 所在直线的斜率为 1，
又顶点 (1,1)，
所以边 所在的直线方程为 1 = ( 1)，
5 3 10 = 0
联立{ ，解得 = 2， = 0，即 (2,0)，
1 = ( 1)
综上所述，直线 的方程为 + 2 = 0，点 的坐标为(2,0)．
1+ 1+
(2)设 点坐标为( , )，则 ( , )，
2 2
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1+ 1+
代入中线 所在直线的方程5 3 10 = 0，有5 × 3 × 10 = 0，即5 3 18 = 0，
2 2
又 点在直线 上，所以 + 8 = 0，
5 3 18 = 0
联立{ ，解得 = 21， = 29，即 (21,29)，
+ 8 = 0
|21+29 2|
所以 到直线 的距离为 = = 24√ 2，
√ 1+1
而 (1,1, )， (2,0)，
所以| | = √ (2 1)2 + 12 = √ 2，
1
所以 △ = × 24√ 2 × √ 2 = 24． 2
17.【答案】(1)解：设与直线 ：4 3 + 6 = 0垂直的直线方程为3 + 4 + = 0，
代入 (3,6)可得：9 + 24 + = 0，解得 = 33，
所以圆 的圆心 所在的直线方程为：3 + 4 33 = 0上，
设 (4 + 7,3 3 )，因为| | = | |，
1
即√ (4 + 4)2 + ( 3 3 )2 = √ (4 + 2)2 + (1 3 )2，解得 = ，
2
9 5
则 (5, )，且圆 的半径| | = ，
2 2
9 25
所以圆 的方程为( 5)2 + ( )2 = ；
2 4
(2)证明：①对于直线 1： + 4 4 = 0，即 ( 4) + 4 = 0，
4 = 0 = 4
令{ ，解得{ ，即直线 1过定点 (4,4)， 4 = 0 = 4
9 √ 5 5
且| | = √ (5 4)2 + ( 4)2 = < ，可知点 (4,4)在圆 内，
2 2 2
所以直线 1与圆 相交；
②解：当 ⊥ 1时，直线 1被圆 截得的弦长最短，
9
4
此时 2
1
= = ，可知直线 1的斜率 1 = 2， 4 5 2
所以直线 1的方程为 4 = 2( 4)，即2 + 12 = 0．
18.【答案】解：(1)因为 =
2 + 2 ( ∈ )，
当 = 1时， 1 = 1 = 3，
当 ≥ 2时， =
2 2
1 = + 2 ( 1) 2( 1) = 2 + 1，
且 = 1时， 1 = 3也符合上式，
所以 = 2 + 1；
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(2)证明： 1 = 2， = 3

1 + 2( ≥ 2, ∈ )，
当 ≥ 2时，
因为 = 3 1 + 2，
所以 + 1 = 3 1 + 2 + 1 = 3( 1 + 1)，
又因为 + 1 ≠ 0，
而 1 + 1 = 3，
所以数列{ + 1}是首相为3，公比为3的等比数列；
(3)因为{ + 1}是首相为3，公比为3的等比数列，
所以 + 1 = 3 3
1 = 3 ，
2 2 1所以 = = ， +1 3

1 3 2 1
= 1 + 2 + + = + 2 + + ，① 3 3 3
1 1 3 2 3 2 1
= 2 + 2 + + + +1，② 3 3 3 3 3
2 1 2 2 2 2 1
① ②得， = + + + + 3 3 32 33 3

3 +1
2 1 1
2[1 ( ) ]1 3 2 1
= + 3
3 1
+1
1 3
3
2 2 +2 1
= ( ) ( ) ，
3 3 3
1
化简得： = 1 ( + 1)( )
，
3
因为 ∈ ， + ≥ 1恒成立，
1
所以1 ( + 1)( ) + ≥ 1，
3
1
所以 ≥ ( + 1)( ) ，
3
1 2
当 = 1，( + 1)( ) = ；
3 3
1 1
当 = 2时，( + 1)( ) = ，
3 3
1 +1
( +2)( )
3 +2又 1 = ，
( +1)( ) 3( +1)
3
+2 1
令 < 1，得： > ，
3( +1) 2
+2
故当 ∈ ， < 1恒成立，
3( +1)
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1 2
所以( + 1)( ) 在 = 1时，取到最大值 ，
3 3
2
所以实数 的取值范围 ∈ [ , +∞)．
3
19.【答案】解：(1)因为 为圆 的“黄金点”，
√ 3 √ 3
所以| | + = 2(| | )，即| | = √ 3，
3 3
所以点 的轨迹是以 为圆心，√ 3为半径的圆，
故点 所在曲线的方程为( + 1)2 + ( + 1)2 = 3；
(2)( )因为 为圆 的“黄金点”，所以| | = 3，
即点 在圆( 2)2 + ( 2)2 = 9上，
则 是圆( + 1)2 + ( + 1)2 = 3和( 2)2 + ( 2)2 = 9的交点，
因为 ， 均为圆“ ”的“钻石点”，
所以直线 即为圆( + 1)2 + ( + 1)2 = 3和( 2)2 + ( 2)2 = 9的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得 + = 0，故直线 的方程为 + = 0；
( )设( + 1)2 + ( + 1)2 = 3的圆心为 ( 1, 1)，半径为√ 3，
( 2)2 + ( 2)2 = 9的圆心为 (2,2)，半径为3，
直线 的方程为 = ，得 ， 的中点坐标为(0,0)，
2
点 到直线 + = 0的距离为 = √ 2，
√ 2
| |
则 = √ (√ 3)2 (√ 2)2 = 1，
2
所以圆 的方程为 2 + 2 = 1，
假设 轴上存在点 (0, )满足题意，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1 2 ≠ 0，
若 轴平分∠ ，则 + = 0，

即 1

+ 2

= 0，整理得 2( 1 ) + 1( 2 ) = 0， 1 2
1 1
又 1 = 1 + ， 2 = 3 2 + ， 3
1 1
所以代入上式可得 2( 1 + ) + 1( 2 + ) = 0， 3 3
1
整理得2 1 2 + ( )( + ) = 0 ①， 3 1 2
1
= + 2 8
由{ 3 ，得( 2 + 1) 2 + = 0，
2 + 2 = 1 3 9
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2 8

所以 3 91 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
+1 +1
2
代入 ①并整理，得 2 + = 0，此式对任意的 都成立，
3
所以 = 3，故 轴上存在点 (0,3)，使得 轴平分∠ ．
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