山西省忻州市部分学校2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考试卷（含解析）

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2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷
（考试时间：100分钟 试卷满分：100分）
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+xy＝1 B．5x2﹣3x＝4 C．2x﹣1＝x+2 D．
2．如图的几何体是一个工件的立体图，从上面看这个几何体，所看到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，把长方形纸条沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若线段C'D'落在边A′E上，∠EHD'＝32°，则∠BFE等于（　　）
A．58° B．61° C．62° D．64°
5．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣12，﹣8） B．（﹣12，﹣8）或（12，8）
C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）或（3，2）
7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
8．已知反比例函数，下列结论错误的是（　　）
A．图象经过点（1，1）
B．当x＜0时，y随着x的增大而增大
C．当x＞1时，0＜y＜1
D．图象分别位于第一、三象限
9．某校图书馆四月份借出图书300本，统计员在统计数据时，发现四月份后图书馆借出的图书每个月都在增加，且四、五、六月份共借出图书1092本．设五、六月份借出的图书每个月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（　　）
A．300（1+x）+300（1+x）2＝1092
B．300（1+x）2＝1092
C．300+300（1+x）+300（1+x）2＝1092
D．300+2×300（1+x）＝1092
10．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，
①OGAB；
②S四边形ODGF＝S△ABF；
③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
④S△ACD＝2S△ABG．
其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
第二部分（非选择题 共70分）
2、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．cos30°+tan45°＝　 　．
12．若关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为1，则另一个根为 　 　．
13．在一个不透明的袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有　 　．
14．如图，已知A为反比例函数y（k＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为　 　．
15如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别为BC，CD的中点，BF，DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是　 　．
16．如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，则NG CG的值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，满分52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（5分）解一元二次方程：x2+3x﹣8＝x．
18．（5分）计算：2cos60°+2sin30°+3tan45°．
19．（6分）如图，在网格图中（小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）把△ABC沿着x轴向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请以坐标系的原点O点为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使得△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；
（3）请直接写出△A2B2C2三个顶点的坐标．
20．（7分）如图，一次函数yl＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴负半轴上，且满足△ABP的面积等于16，请求出点P的坐标．
21．（7分）如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：1.414，1.732）
22．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
23．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图①，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；
（2）如图②，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；
（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）
答案和解析
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+xy＝1 B．5x2﹣3x＝4 C．2x﹣1＝x+2 D．
【解答】解：A．∵方程x2+2y＝1含有两个未知数，
∴方程x2+2y＝1不是一元二次方程，选项A不符合题意；
B．方程5x2﹣3x＝4是一元二次方程，选项B符合题意；
C．∵方程2x﹣1＝x+2未知数的最高次数是1，
∴方程2x﹣1＝x+2不是一元二次方程，选项C不符合题意；
D．∵方程x2＝3不是整式方程，
∴方程x2＝3不是一元二次方程，选项D不符合题意．
故选：B．
2．如图的几何体是一个工件的立体图，从上面看这个几何体，所看到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据几何体可知，从上面看到的平面图形为：
故选：C．
3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故D不符合题意；
故选：C．
4．如图，把长方形纸条沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若线段C'D'落在边A′E上，∠EHD'＝32°，则∠BFE等于（　　）
A．58° B．61° C．62° D．64°
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D＝90°，
由折叠的性质得到：∠HD′C′＝∠D＝90°，∠BFE＝∠B′FE，
∵∠EHD'＝32°，
∴∠D′EH＝90°﹣32°＝58°，
∵EA′∥FB′，
∴∠EKF＝∠D′EH＝58°，
∵AD∥BC，
∴∠GFK＝∠EKF＝58°，
∴∠BFE（180°﹣58°）＝61°．
故选：B．
5．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记为甲、乙、丙、丁，
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中其中至少有一幅是中国数学家的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共10种，
∴其中至少有一幅是中国数学家的概率为．
故选：B．
6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣12，﹣8） B．（﹣12，﹣8）或（12，8）
C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）或（3，2）
【解答】解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的，
点B'的对应点A'的坐标为（﹣6，﹣4）或（﹣6×（），﹣4×（）），即点B'的坐标为（﹣3，﹣2）或（3，2），
故选：D．
7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
8．已知反比例函数，下列结论错误的是（　　）
A．图象经过点（1，1）
B．当x＜0时，y随着x的增大而增大
C．当x＞1时，0＜y＜1
D．图象分别位于第一、三象限
【解答】解：A、当x＝1时，y＝1，
∴图象经过点（1，1），不符合题意；
B、∵k＝1＞0，
∴当x＜0时，y随着x的增大而减小，符合题意；
C、∵k＝1＞0
∴当x＞0时，y随着x的增大而减小，
当x＝1时，y＝1，
∴当x＞1时，0＜y＜1，不符合题意；
D、∵k＝1＞0，
∴图象分别位于第一、三象限，不符合题意；
故选：B．
9．某校图书馆四月份借出图书300本，统计员在统计数据时，发现四月份后图书馆借出的图书每个月都在增加，且四、五、六月份共借出图书1092本．设五、六月份借出的图书每个月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（　　）
A．300（1+x）+300（1+x）2＝1092
B．300（1+x）2＝1092
C．300+300（1+x）+300（1+x）2＝1092
D．300+2×300（1+x）＝1092
【解答】解：设五、六月份借出的图书每个月平均增长率为x，
则五月份借出图书300（1+x）本，六月份借出图书300（1+x）2本，
根据题意，得300+300（1+x）+300（1+x）2＝1092，
故选：C．
10．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，
①OGAB；
②S四边形ODGF＝S△ABF；
③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
④S△ACD＝2S△ABG．
其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OGAB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②正确；
∵四边形ABCD是菱形，平行四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DBG＝S△AOD＝S△COD，
∴S△ACD＝2S△ABG．故④正确．
综上所述：正确的是①②③④，
故选：D．
第二部分（非选择题 共70分）
3、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．cos30°+tan45°＝　 　．
【解答】解：由题意知，cos30°，tan45°＝1，
∴，
故答案为：．
12．若关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为1，则另一个根为 　 　．
【解答】解：设方程的另一个根为α，根据根与系数的关系得
1×α＝2，
解得α＝2．
故答案为：2．
13．在一个不透明的袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有　 　．
【解答】解：设袋中红球大约有x个，
由题意知：0.2，
解得x＝8，
故答案为：8个．
14．如图，已知A为反比例函数y（k＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为　 　．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB|k|＝3，
而k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
15如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别为BC，CD的中点，BF，DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是　 　．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，
∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∵点E，F分别为BC，CD的中点，
∴，，
∵EH∥CD
∴FH＝BH，
∵BE＝CE
∴，
由勾股定理得：
，
∴，
∵EH∥CD，
∴△EHG∽△DFG，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
16．如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，则NG CG的值为　 　．
【解答】解：如图，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，
∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，
∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，
∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，
∵∠CMN＝∠CBN＝90°，
∴M、N、B、C四点共圆，
∴∠MCN＝45°，
∴∠NCH＝45°，
∴△MCG≌△HCG（SAS），
∴MG＝HG，
∵BG：MG＝3：5，
设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，
在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，
∵正方形ABCD的边长为，
∴BD＝12，
∴DM+MG+BG＝12a＝12，
∴a＝1，
∴BG＝3，MG＝5，
∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，
∴△MGN∽△CGB，
∴，
∴CG NG＝BG MG＝15．
故答案为：15．
三、解答题（本大题共7小题，满分52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（5分）解一元二次方程：x2+3x﹣8＝x．
【解答】解：原方程可化为x2+2x﹣8＝0，·················································（1分）
（x+4）（x﹣2）＝0，························································（2分）
x+4＝0或x﹣2＝0，························································（3分）
∴x1＝﹣4，x2＝2．······················································（5分）
18．（5分）计算：2cos60°+2sin30°+3tan45°．
【解答】解：原式＝223×1······························（3分）
＝1+1+3························································（3分）
＝5．························································（5分）
19．（6分）如图，在网格图中（小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）把△ABC沿着x轴向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请以坐标系的原点O点为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使得△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；
（3）请直接写出△A2B2C2三个顶点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；········································（2分）
（2）如图，△A2B2C2为所作；
·····························（4分）
（3）△A2B2C2三个顶点的坐标分别为A2（6，0），B2（6，4），C2（2，6）．·············（6分）
20．（7分）如图，一次函数yl＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴负半轴上，且满足△ABP的面积等于16，请求出点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得：点B（3，﹣2）在反比例函数图象上，
∴，则m＝﹣6，
∴，
将A（﹣1，n）代入，·························（2分）
得：，即A（﹣1，6），
将A，B坐标代入一次函数解析式中，得：
，解得：，
∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4；·························（4分）
（2）设点P的坐标为（a，0）（a＜0），
∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为16，可得：，·························（6分）
解得：a＝﹣2或a＝6（舍去），
∴P（﹣2，0）．·························（7分）
21．（7分）如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：1.414，1.732）
【解答】解：延长AD交EF于点G，设EG＝x，
由题意可知：AG⊥EF，
∴∠B＝∠F＝∠AGF＝90°，
∴四边形ABFG是矩形，···················（1分）
∵∠EAG＝45°，
∴∠AEG＝90°﹣∠EAG＝45°，
∴AG＝EG＝x，
∵AD＝7，
∴DG＝x﹣7，
∵∠EDG＝60°，
∴，·······················（3分）
∴，
∴，························（5分）
∴，
∵GF＝AB＝1.68，
∴EF＝EG+GF
······························（6分）
＝16.562+1.68
＝18.242
≈18.2．
故旗杆高度约18.2m．······························（7分）
22．（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，·································（1分）
依题意，得：150（1+x）2＝216，···············································（3分）
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．······························（5分）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，·····························（7分）
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，·········································（9分）
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．······································（10分）
23．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图①，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；
（2）如图②，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；
（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）
【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，
则∠BDE+∠FDE＝90°，··································（1分）
∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠C＝45°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD＝180°﹣∠C＝135°，
∵∠BFD＝45°，DF⊥BC，
∴∠BFD＝45°，BD＝DF，
∴∠AFD＝135°，
∴∠EBD＝∠AFD，······················································（2分）
在△BDE和△FDA中
，
∴△BDE≌△FDA（ASA），
∴AD＝DE；································································（3分）
（2）解：∴DEAD；·················································（4分）
理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，
则∠BDE+∠GDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠GDE+∠ADG＝90°，
∴∠BDE＝∠ADG，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠C＝60°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD＝180°﹣∠C＝120°，
∵∠ABC＝30°，DG⊥BC，
∴∠BGD＝60°，
∴∠AGD＝120°，
∴∠EBD＝∠AGD，
∴△BDE∽△GDA，································································（6分）
∴，
在Rt△BDG中，
tan30°，
∴DEAD；································································（7分）
（3）AD＝DE tanα；···························································（8分）
理由：如图2，∠BDE+∠GDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠GDE+∠ADG＝90°，
∴∠BDE＝∠ADG，
∵∠EBD＝90°+α，∠AGD＝90°+α，
∴∠EBD＝∠AGD，
∴△EBD∽△AGD，····························································（10分）
∴，
在Rt△BDG中，
tanα，则tanα，
∴AD＝DE tanα．····························································（12分）
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