2024年湖北部分名校高二期中联考
高二数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. D
2. B
3. D
4. B
5. C
6. A
7. C
8. A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. BCD
10. AC
11. ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
13.
14.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，进而可得面积之比；
（2）求关于直线对称的点为，再求直线的交点即可.
【小问1详解】
由题意可知：直线，
对于直线，令，可得，即，
可得，
所以.
【小问2详解】
设关于直线对称的点为，
则，解得，即，
可知直线，即，
联立方程，解得，
所以顶点A坐标为.
16.
【解析】
【分析】（1）取中点为，连接，利用勾股定理证明，再结合，即可由线线垂直证明线面垂直；
（2）根据（1）中所证，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，以及两个平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.
【小问1详解】
由于正方形ABCD的边长为，所以，
取AC的中点O，连接PO，BO，
由题意，得，再由，可得，即．
由题易知，又，面，所以平面ABC，
又平面PAC，所以平面平面ABC．
【小问2详解】
由（1）可知，，且，
故以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
所以，，，
由题意知，则．可得．
设平面MBC的法向量为，则，
令，则，可得；
设平面的法向量为，则，
令，则，可得；
则，
所以平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值.
17.
【解析】
【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.
【小问1详解】
设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.
则，，，
可得，，.
“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.
每位同学独立竞猜，故A，互相独立，则A与，与，与均相互独立.
所以，
所以甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.
【小问2详解】
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.
所以，解得，
所以n的值16.
18.
【解析】
【分析】（1）通过圆的方程解出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小，即可得到直线与圆的位置关系.
（2）由点到线的距离得出参数的值，从而得到圆的方程，通过内切圆的关系得到半径的范围，由此得出最大值.
【小问1详解】
圆：的圆心，且，即或，
圆的半径，设圆心到的距离为，则，
若，则，解得，
则当或时，直线与圆相离；
若，则当或，直线与圆相切；
若，则当或，直线与圆相交.
【小问2详解】
由（1）知，解得或，则，
圆，圆心，半径，
依题意，圆的圆心在圆内且两圆内切，记圆的半径为，
由切点在劣弧上，知，，
又点在线段上，则，
当且仅当圆心与线段的中点重合时，最大，且.
所以圆的半径的最大值为.
19.
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理求解，即可求证，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直；
（2）设，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合面面夹角可得，根据体积公式，结合棱柱与棱锥体积关系求体积即可.
【小问1详解】
在中，由余弦定理可得，
所以，所以，
所以．
又因为，平面,
所以平面,平面．
所以．
由于,所以四边形为平行四边形，所以．
又，所以，
所以．
【小问2详解】
因为，所以，
又，平面，所以平面．
取中点，连接，设．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
则，
则平面的一个法向量．则，
令，则，可得；
设平面的一个法向量，则，
令，则，可得；
则，解得，
设多面体的体积为，
则
，
所以多面体ABCDPQ的体积.2024年湖北部分名校高二期中联考
高二数学试卷
考试时间：2024年11月12日下午15:00-17:00 试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数（i为虚数单位），则（）
A. 0 B. 2024 C. D.
2. 已知直线：，直线：，若，则（）
A. 2或 B. C. 4或 D. 4
3. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
4. 已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（）
A. B.
C. D.
5. 某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、1200人、800人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm、168cm、171cm，估计该校学生的平均身高是（）
A. 166.4cm B. 167.2cm C. 167.8cm D. 170.0cm
6. 已知向量，，若，则（）
A. 3 B. C. 1 D.
7. 已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（）
A. B. 2 C. D. 3
8. 如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（）
A B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的有（）
A. 直线在y轴的截距是2
B. 直线的倾斜角为
C. 直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为
D. 点在直线l：上，直线l的方程可化为．
10. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（）
A.
B.
C. 若，且，则
D. 若且，则
11. 四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线Ω：，进行绘制，点在曲线Ω上，点，则下列结论正确的是（）
A. 曲线Ω围成的图形面积为
B. 的最小值是
C. 直线PQ斜率的最大值为1
D. 取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 椭圆的长轴长为________．
13. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲执黑子先下，则甲、乙各胜一局的概率为________．
14. 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多的代数问题都可以通过转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知点在直线：上，点在直线：上，且，结合上述观点，的最小值为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的顶点，的平分线AD交BC于点D，且AD所在直线方程为，记，的面积分别为，．
（1）求；
（2）求顶点A坐标．
16. 图1是边长为正方形ABCD，将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥，且．
（1）证明：平面平面ABC；
（2）点M是棱PA上的点，且，求平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值．
17. “猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．
18. 已知圆E：，直线l：．
（1）讨论l与圆E位置关系；
（2）若l与圆E相交于M，N两点，圆心E到l的距离为，另有一圆C的圆心在线段MN上，且圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上，求圆C的半径的最大值．
19. 如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，，，M为BC的中点，，，．
（1）证明：；
（2）若平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为，求多面体ABCDPQ的体积．
