2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课件(共21张PPT) 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

(共21张PPT)
北师版·九年级下册
第4课时 二次函数y=ax +bx+c的图象与性质
复习导入
函数表达式 开口方向 对称轴 增减性 顶点坐标
a<0，
开口向下
a>0，
开口向上
a<0，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右侧，y都随x的增大而减小 .
a>0，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大；
y轴
y轴
x=h
x=h
（0，0）
（0，c）
（h，0）
（h，k）
顶点坐标 对称轴 最值
y = -2x2
y = -2x2 - 5
y = -2(x + 2)2
y = -2(x + 2)2 - 4
y = (x - 4)2 + 3
y = -x2 + 2x
y = 3x2 + x - 6
(0，0)
y 轴
0
(0，-5)
y 轴
-5
(-2，0)
直线 x = -2
0
(-2，-4)
直线 x = -2
-4
(4，3)
直线 x = 4
3






二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
1
猜想：通过组合平移 y = ax (a≠0) 的图像能否得到
y = ax + bx + c (a≠0) 的图像？
y = ax
通过上下左右平移
y = a(x h)2+k
y = ax +bx+c
是否有关系？
相互转化
(1) x2 12x + 36 = (x____)2；
填一填
(2) x2 12x = (x____)2 ____.
6
36
6
探究新知
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗
化成y=a(x-h)2+k的形式.
合作探究
问题1 怎样将 y=2x - 4x + 5化成 y = a(x h)2 + k 的形式？
想一想：配方的方法及步骤是什么？
y = 2x - 4x + 5
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示：配方后的解析式通常称为顶点式.
= 2(x - 2x) + 5
= 2(x - 2x + 1 - 1 ) + 5
= 2(x - 1) + 3
探究新知
例1 求二次函数y=2x2－8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解： y = 2x2－8x+7
= 2(x2－4x)+7
= 2(x2－4x+4)－8+7
= 2(x－2)2－1
∴ 对称轴是x=2，顶点坐标为(2，－1)
提取二次项系数
配方
顶点式
做一做
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2－6x＋7；
（2）y=2x2－12x＋8；
= 3(x2－2x)+7
= 3(x2－2x+1)－3+7
= 3(x－1)2＋4
对称轴是x=1，顶点坐标为(1，4)
= 2(x2－6x)+8
= 2(x2－6x+9)－18+8
= 2(x－3)2－10
对称轴是x=3，
顶点坐标为(3，－10)
例2 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
y = ax2+bx+c
解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
∴对称轴是 ，顶点坐标为
y
O
x
（a>0）
y
O
x
（a<0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象：
最小值
最大值
如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大；
当x＞ 时，y 随 x 的增大而减小.
如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞ 时，y 随 x 的增大而增大.
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
归纳总结
顶点：
对称轴：
y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
做一做
如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用 表示.
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少
y/m
x/m
桥面 -5 O 5
10
解:
顶点坐标
顶点坐标
∴钢缆的最低点到桥面的距离是1m
两条钢缆最低点之间的距离是|-20|×2=40m
y/m
x/m
桥面 -5 O 5
10
1.用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=2x2－12x+3； （2）y=－5x2+80x－319；

= 2(x2-6x)+3
= 2(x2-6x+9)-18+3
= 2(x-3)2-15
对称轴为x=3，
顶点为（3，-15）.
= -5(x2-16x)-319
= -5(x2-16x+64)+320-319
= -5(x-8)2+1
对称轴为x=8，
顶点为（8，1）.
1.用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：
（3）y= ； （4）y=-3(x+3)(x+9).
= 2x2-5x+2
对称轴为x= ，顶点为 .
= -6x2+9x+6
对称轴为x= ，顶点为 .
2.已知二次函数 y = ax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A. y轴 B. 直线 x=
C. 直线 x=2 D. 直线 x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
1
3.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x= , x=2对应的函数值y= .
－8
顶点：
对称轴：
y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
课堂小结
课后作业
课后练习+习题2.5
1、2、3、4
课后练习
1.确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
（1）y=－3x2+12x－3； （2）y=4x2－24x+26；
（3）y=2x2+8x－6； （4）y= x2－2x－1.

开口向上，
对称轴为x=3，
顶点为（3， － 10）.
开口向下，
对称轴为x=2，
顶点为（2，9）.
开口向上，
对称轴为x=－2
顶点为（ － 2， － 14）.
开口向上，
对称轴为x=2，
顶点为（2， － 3）.