2024-2025学年山东省潍坊市昌邑市高一（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年山东省潍坊市昌邑市高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2}， = { |0 < < 4}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1} B. {0,1} C. { 1,1,2} D. {1,2}
2.已知 ： ∈ [ 2,3)， 2 < 9，则￢ 为( )
A. ∈ [ 2,3)， 2 < 9 B. [ 2,3)， 2 < 9
C. ∈ [ 2,3)， 2 ≥ 9 D. [ 2,3)， 2 ≥ 9
1
3.已知集合 = { 1,1,2}, = { 1, , 1,2,4}，若 ∈ ， ∈ ，则下列对应关系为 上的一个函数的是( )
2
2
A. = + 1 B. = C. = 2 + 1 D. = 2

4.已知函数 ( )在区间[1,4]上的图象是连续不断的，设 ： (1) (4) < 0， ： ( )在区间(1,4)中至少有一
个零点，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.函数 = 的图象大致为( )
2 +2
A. B.
C. D.
6.某放射性物质在衰变过程中，其质量 (单位：克)与年数 满足关系式 = 0
( 0为初始质量， 为常
数， ≈ 2.718).已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量
变为初始质量的( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
3 4 6 8
2+
7.已知正实数 ， 满足 + = 2，则 + 的最小值是( )

11
A. 1 + 2√ 2 B. 2 + 2√ 2 C. 5 D.
2
1 3 1
8.已知函数 ( ) = ( )| |，记 = ( )， = (1)， = (√ 2 + + )，则 ， ， 的大小关系为( )
4 4
A. < < B. < < C. < < D. < <
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数 ， ， ，则( )
1 1
A. 若 > ，则 < B. 若 > ， < ，则 >

1 1
C. 若 < < 0，则 2 > D. 若 > > ，则 <

10.已知函数 ( )的定义域为 ，若存在常数 ，使得| ( 1) ( 2)| ≤ | 1 2|对 1， 2 ∈ 成立，则称 ( )
为 上的“ 类近稳函数”，则( )
A. ( ) = 2 + 1可为 上的2类近稳函数
B. ( ) = 2可为 上的3类近稳函数
1 1
C. 若 ( ) = 为[2,4]上的 类近稳函数，则 ≥
4
D. 若 ( )为[1,2]上的2类近稳函数，则 1， 2 ∈ [1,2]，有| ( 1) ( 2)| ≤ 2
2 , ≥ 0,
11.已知函数 ( ) = { 2 若方程
2( ) ( ) = 0有四个实数根 1， 2， 3， 4，且 < < 4 , < 0, 1 2
3 < 4，则( )
A. 0 ≤ 4 < 2 B. 1 ≤ < 4
C. 6 ≤ | 1| + | 2| + | 3| + | 4| < 8 D. 32 < 1 2 3 4 ≤ 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 1

12.已知 2 + 2 = 3，则 + 1 = ______．
13.写出同时满足下面两个条件的一个函数解析式 ( ) = ______．
① ( + ) = ( ) ( )；② ( )在(0, +∞)上单调递减．
14.已知 ， ， ∈ ，且√ + , √ + , √ + 为三个连续的正整数，则 + 3 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | 2 3 4 < 0}， = { | ≤ 2或 ≥ 3}．
(1)求 ∪ ， ∩ ( )；
(2)若集合 = { | 2 < < + 1}，且 ∈ 是 ∈ 的充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
2 1
已知 ( )是定义域为 的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = ，且 ( 1) = ．
+ 2
(1)当 < 0时，求 ( )的解析式；
(2)判断 ( )在区间( ∞, 0)上的单调性，并证明．
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17.(本小题15分)
某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初
期需投入固定成本300万元，除此之外，建造 个生态农场需另投入成本 ( )万元，且 ( ) =
1
2 + 10 (0 < ≤ 30, ∈ ),
{ 6 初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润．
19600
34 + 1500( > 30, ∈ ),

(1)求该期间生态农场带来的利润 ( )(万元)关于农场数目 的函数关系式；
(2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 + ．
(1)若不等式 ( ) ≤ 0的解集为{ |1 ≤ ≤ 2}，求实数 ， 的值；
(2)若 = ，解关于 的不等式 ( ) > ；
(3)若 ∈ [1,2]，对于 ∈ [1,2]， ( ) ≤ (1 ) 2成立，求2 3 的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = ( )为奇函数，经研究可将其
推广为：函数 = ( )图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( + ) 为奇函数．
(1)已知函数 ( )的定义域为 ，且图象关于点(1,0)中心对称，求 (0) + (1) + (2)的值；
1
(2)已知函数 ( ) = 1 ( > 0)的图象关于点 (1, )中心对称． 3 + 2
(ⅰ)求实数 ， 的值；
3 +
(ⅱ)设函数 ( ) = + 3 3 2 + 3 2 3
2 4
3 + ，其中 > 0，若正数 ， 满足 ( ) + ( ) +3 + 2025 2025
6 4048
( ) + + ( ) ≤ 2024( + 2 )，且不等式 (2 + ) ≤ 2 2 + + 2恒成立，求实数 的取值范
2025 2025
围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】7
1
13.【答案】( ) (答案不唯一)
2
19
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)集合 = { | 2 3 4 < 0}， = { | ≤ 2或 ≥ 3}．
由 2 3 4 < 0，解得 1 < < 4，∴ = { | 1 < < 4}，
∴ ∪ = { | ≤ 2或 > 1}，
∵ = { | 2 < < 3}，
∴ ∩ ( ) = { | 1 < < 3}．
1
2 ≤ 1
(2) ∵ ∈ 是 ∈ 的充分条件，则 ，∴ { ，即{ ≥ 2．
+ 1 ≥ 4 ≥ 3
∴ ≥ 3，∴ 的取值范围为[3, +∞)．
1
16.【答案】解：(1)因为 ( )是定义在 上的奇函数，且 ( 1) = ，
2
1
所以 (1) = ，
2
2
又因为当 > 0时， ( ) = ，
+
1 1
所以 (1) = = ，
1+ 2
解得 = 1，
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2
所以当 > 0时， ( ) = ，
+1
当 < 0时，则 > 0，
2
( ) 2
所以 ( ) = = ，
+1 1
因为 ( )是定义在 上的奇函数，
2
所以 ( ) = ( ) = ，
1
2
所以当 < 0时， ( ) = ；
1
(2) ( )在区间( ∞, 0)上单调递增，证明如下：
任取 1， 2 ∈ ( ∞, 0)，且 1 < 2 < 0，
2 22 1
2 2
则 ( ) ( ) = = 2
( 1 1) 1( 2 1) ( 2 1)[ 1 2 ( 1+ 2)]
2 1 = ， 2 1 1 1 ( 2 1)( 1 1) ( 2 1)( 1 1)
因为 1， 2 ∈ ( ∞, 0)，且 1 < 2 < 0，
所以 2 1 > 0， 1 2 ( 1 + 2) > 0，( 2 1)( 1 1) > 0，
故 ( 2) ( 1) > 0，
所以 ( )在区间( ∞, 0)单调递增．
1
17.【答案】解：(1)根据题意：当0 < ≤ 30时， ( ) = 30 ( ) 300 = 30 + 2 10 300
6
1 1
= 2 + 20 300 = ( + 60)2 900，
6 6
19600 4900
当 > 30时， ( ) = 30 ( ) 300 = 30 34 + 1500 300 = 4( + ) + 1200，

1
( + 60)2 900,0 < ≤ 30, ∈
所以 ( ) = {6 ；
4900
4( + ) + 1200, > 30, ∈

1
(2)由(1)可得当0 < ≤ 30时， ( ) = ( + 60)2 900，则 ( )在(0,30]内单调递增，
6
所以当 = 30时， ( )的最大值为450，
4900 4900
当 > 30时， ( ) = 4( + ) + 1200 ≤ 2 × 4√ + 1200 = 640，

4900
当且仅当 = ，即 = 70时等号成立，

所以 ( ) ≤ 640，
因为640 > 450，
所以当 = 70时， ( )的最大值为640，
所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元．
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18.【答案】解：(1)因为不等式 ( ) ≤ 0的解集为{ |1 ≤ ≤ 2}，
所以1和2是方程 2 + = 0的两个根，
则 = 1 + 2 = 3， = 1 × 2 = 2；
(2)若 = ，不等式 ( ) > 可化为 2 ( + 1) + > 0，
即( )( 1) > 0，
当 = 1时，解得 ≠ 1，
当 < 1时，解得 < 或 > 1，
当 > 1时，解得 < 1或 > ，
综上，当 > 1时，不等式的解集为( ∞, 1) ∪ ( , +∞)；
当 = 1时，不等式的解集为( ∞, 1) ∪ (1, +∞)；
当 < 1时，不等式的解集为( ∞, ) ∪ (1, +∞)；
(3)因为 ∈ [1,2]， ∈ [1,2]， ( ) ≤ (1 ) 2成立，
即 ∈ [1,2]， 2 + ≤ 0对 ∈ [1,2]成立，
所以 2 + ≤ 0对 ∈ [1,2]成立，
即 ( ) ≤ 0，对 ∈ [1,2]成立，
(1) ≤ 0 1 + ≤ 0
所以{ ，即{ ，所以5 3 + 2 ≤ 0，即2 3 ≤ 5，
(2) ≤ 0 4 2 + ≤ 0
所以2 3 的最大值为 5．
19.【答案】解：(1)因为函数 ( )的图象关于点(1,0)中心对称，
所以 ( + 1) + ( + 1) = 0，
令 = 0，则有2 (1) = 0，故 (1) = 0，
令 = 1，则有 (2) + (0) = 0，
所以 (0) + (1) + (2) = 0．
1
(2)( )由函数 ( ) = 1 ( > 0)的图象关于点 (1, )中心对称， 3 + 2
1
可得 = ( + 1) + 为奇函数，
2
1 1
所以 ( + 1) + = [ ( + 1) + ]，
2 2
1 1
则 + = 3 + 2 3
，
+ 2
3
所以 + + 1 = 0，
1+ 3 3 +
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(32 +2 3 +1)+(1+ 3 )(3 + )
有 = 0，
(1+ 3 )(3 + )
所以( + )32 + ( 2 + 2 + 1) 3 + + = 0恒成立，
即( + )(32 + 1) + ( 2 + 2 + 1) 3 = 0恒成立，
+ = 0,
由恒等式的性质，可得{ 2 + 2 + 1 = 0,
= 1, = 1,
解得{ (舍去)，或{ ；
= 1, = 1,
3 1 2
( )因为 ( ) = +
3 3 2 + 3 2 3 + = 1 3
3 +1 3
+ ( ) + ，
+1
3 + 1 2
所以 ( + 2 ) = 3 3
3 +
+ ( + ) + = 1
+1 3 +
( ) + ，
+1
所以 ( ) + ( + 2 ) = 2 ，
2 4 6 4048
因为 ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) ≤ 2024( + 2 )，
2025 2025 2025 2025
4048 4046 4044 2
( ) + ( ) + ( ) + + ( ) ≤ 2024( + 2 )，
2025 2025 2025 2025
两式相加得2024 × 2 ≤ 4048( + 2 )，即 + 2 ≥ ，
2
2 + + 2 (2 + )+ 2
又由 ≤ = = + ，
(2 + ) (2 + ) 2 +
1
故 + ≥ + = + ，
2 + 4 + 4 +1

1 1 4 1 1 1 4 1 1 3
又 + 4 = ( + 1) + 4 ≥ 2√ ( + 1) = ， +1 4 +1 4 4 4 +1 4 4

1 4 1
当且仅当 ( + 1) = 4 ，即 = 4 ， = 6 时等号成立， 4 +1

3
所以 的取值范围为( ∞, ]．
4
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