2024-2025学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 经过点 (1, )， (1, )， < ，则 的倾斜角为( )
3
A. B. C. 0 D.
4 2 4
2.关于空间向量 ， ， ，下列运算错误的是( )
A. = B. ( + ) = +
C. ( ) = ( ) D. ( ) = ( )
2 2 √ 2
3.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且过点(0, √ 2)，则 的方程为( ) 2
2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. 2 + = 1
4 2 2 4 4 8 2
4.已知 = (0,1,2)， = ( 1,1,1)， = ( 1,0, )，若 ， ， 共面，则 =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
5.一条光线从点 (0,1)射出，与 轴相交于点 (2,0)，经 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A. 2 1 = 0 B. 2 + 1 = 0 C. 2 2 = 0 D. + 2 2 = 0
2 2
6.已知椭圆 ： + = 1，过点 ( 1,1)的直线 交 于 ， 两点，且 是 的中点，则直线 的斜率为( )
9 4
4 2 2 4
A. B. C. D.
9 9 3 3
7.如图，在四棱台 1 1 1 1中，底面 是菱形， 1 ⊥平面
1
， 1 = 1 1 = = 1，∠ = ，则点 到直线 1 的距离为( ) 2 3
2√ 15 2√ 30
A. 2 B. 2√ 6 C. D.
5 5
8.已知 (2,0)， (10,0).若直线 4 + 2 = 0上存在点 ，使得 = 0，则 的取值范围为( )
21 21
A. [ 3, ] B. [ , 3]
5 5
21 9
C. ( ∞, ] ∪ [3, +∞) D. ( ∞, 7] ∪ [ , +∞)
5 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 1
9.已知椭圆 ： + 2 = 1的离心率为 ，则 的值可以为( )
2
第 1 页，共 9 页
1 4 3
A. B. C. 4 D.
4 3 4
10.圆 1：
2 + 2 4 = 0和圆 ： 2 + 22 6 4 + 4 = 0的交点为 ， ，点 在圆 1上，点 在圆 2
上，则( )
2
A. 直线 的方程为 = B. 线段 的中垂线方程为 = 2
3
2√ 5
C. | | = D. 点 与点 之间的距离的最大值为8
3
11.若 平面 ， ∈平面 ， ⊥平面 ，则称点 为点 在平面 内的正投影，记
为 = ( ).如图，在直四棱柱 1 1 1 1中， = 2 ， ⊥ ， ，
分别为 1， 1的中点， = 3 1， = = 1 = 6.记平面 1 为 ，
平面 为 ， = 1 (0 < < 1)， 1 = [ ( )]， 2 = [ ( )].( )
A. 若 = 2 2 + 1 1 1 1 ，则 = 1
B. 存在点 ，使得 1//平面
6√ 5
C. 线段 1长度的最小值是 5
D. 存在点 ，使得 1 ⊥ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若直线 1： 3 + 3 = 0与 2： (2 + ) + 1 = 0互相垂直，则 = ______．
13.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 是 1的中点，则 =
______．
2 2
14.已知圆 ： 2 + 2 = 9，椭圆 ： + = 1的左、右焦点分别为 1， 2， 为坐标原点， 为椭圆 上一5 2
点，直线 与圆 交于点 ， ，若| 1| | 2| = 4，则| | | | = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第 2 页，共 9 页
15.(本小题13分)
已知在△ 中， (2,1)， (2,3)， (6,1)，记△ 的外接圆为圆 ．
(1)求圆 的标准方程；
(2)求过点 且与圆 相切的直线的方程．
16.(本小题15分)
如图，长方体 1 1 1 1的底面 是正方形， ， ， 分别为 1， 1， 的中点， 1 = 2 ．
(1)证明： //平面 1．
(2)求二面角 1 的余弦值．
17.(本小题15分)
在圆 2 + 2 = 8上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，当点 在圆上运动时，记线段 的中
点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程．
(2)直线 ： = + 与 交于 ， 两点(点 ， 不重合)．
①求 的取值范围；
②若 = 1，求| |．
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥 中，△ 为等边三角形，△ 为等腰直角三角形， = 2， ⊥ ，平面 ⊥
平面 ．
(1)证明： ⊥ ．
(2)点 在线段 上，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
第 3 页，共 9 页
19.(本小题17分)
古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代
| |
数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点 ， 的距离之比 为定值 ( ≠ 1)的点 的
| |
轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点 到两个
| |
定点 ( 3,0)， (0,0)的距离之比 为定值2，则点 的轨迹就是阿氏圆，记为 ．
| |
(1)求 的方程；
(2)若 与 轴分别交于 ， 两点，不在 轴上的点 是直线 ： = 4上的动点，直线 ， 与 的另一个交
点分别为 ， ，证明直线 经过定点，并求出该定点的坐标．
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】6
14.【答案】6
15.【答案】解：(1)(方法一) (2，1)， (2,3)，则直线 的方程为 = 2，
线段 的中点为(2,2)，则线段 的中垂线方程为 = 2，
(2,1)， (6,1)，
则直线 的方程为 = 1， 、 的中点为(4,1)，
线段 的中垂线方程为 = 4．
直线 = 2与直线 = 4的交点为(4,2)，即圆 的圆心为(4,2)．
点(4,2)与点 (2,1)的距离即圆 的半径为：√ (4 2)2 + (2 1)2 = √ 5，
则圆 的标准方程为( 4)2 + ( 2)2 = 5．
(方法二)设圆 的标准方程为( )2 + ( )2 = 2，
(2 )2 + (1 )2 = 2 2 4 + 2 2 + 5 = 2 = 4
则{(2 )2 + (3 )2 = 2，{ 2 4 + 2 6 + 13 = 2 ，解得{ = 2 ，
(6 )2 + (1 )2 = 2 2 12 + 2 2 + 37 = 2
2 = 5
故圆 的标准方程为( 4)2 + ( 2)2 = 5
2 1 1
(2)圆 的圆心为 (4,2)， (2,1)，直线 的斜率为 1 = = ， 4 2 2
第 5 页，共 9 页
1
则切线斜率为 2 = = 2，所求切线方程为 1 = 2( 2)， 1
整理得2 + 5 = 0．
16.【答案】解：(1)证明：设 1 = 2 = 2，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
1 1
则 (0,0,0), 1(1,0,2), (1, , 0), 1 = (1,0,2), = (1, , 0)， 2 2
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
⊥ = 0 + 2 = 0
则{ 1，则{ 1 ，即{ 1 ，
⊥ = 0 + = 02
令 = 2，则 = (2, 4, 1)，
1
又 (1,1,1), (0, , 1),
1
= ( 1, , 0)，
2 2
1
因为 = 1 × 2 × ( 4) + 0 × ( 1) = 0，
2
所以 ⊥ ，
平面 1，
所以 //平面 1．
(2)易知 为平面 1的一个法向量，且 = (0,1,0)．
4√ 21cos , = = ，
| || | 21
易得二面角 1 为锐角，
所以二面角 1 的余弦值为
4√ 21．
21
17.【答案】解：(1)设 ( , )，则 ( , 2 )，又 在圆 2 + 2 = 8上，
2 2
2 2
所以 + 4 = 8，所以 + = 1，
8 2
2 2
所以 的方程为 + = 1；
8 2
第 6 页，共 9 页
2 + 4 2 = 8
(2)①联立{ ，可得5 2 + 8 + 4 2 8 = 0，
= +
因为直线 ： = + 与 交于 ， 两点(点 ， 不重合)，
所以 = (8 )2 20(4 2 8) > 0，解得 √ 10 < < √ 10，
所以 的取值范围为( √ 10, √ 10)；
2
②当 = 1时，5 2 + 8 4 = 0，解得 1 = 2, 2 = ， 5
12 12√ 2
故| | = √ 1 + 1| 1 2| = √ 2 × = ． 5 5
18.【答案】解：(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ．
因为△ 为等边三角形，所以 ⊥ ．
因为△ 为等腰直角三角形，且 ⊥ ，所以 ⊥ ．
因为 平面 ， 平面 ， ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0, 1,0), (1,0,0), (0,0, √ 3), (0,1,0)，
所以 = ( 1,1,0), = ( 1,0, √ 3)，
设 = (0 ≤ ≤ 1)，
则 = + = (1,1,0) + ( 1,0, √ 3) = (1 , 1, √ 3 )．
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 ⊥ ， ⊥ ，
则{
= 0 + = 0，即{ ，
= 0 + √ 3 = 0
令 = √ 3，则 = 3， = 3，所以 = (3,3, √ 3)．
设直线 与平面 所成的角为 ，
第 7 页，共 9 页
3 3 +3+3
则 = |cos
, | = | |
2 2
√ 21×√ (1 ) +1+3
6
=
√ 21×√
2 2
(1 ) +1+3
6 6 4√ 3
= ≤ =
1 2 7 7 7 ，
√ 21×√ 4( ) + √ 21×√
4 4 4
1
当且仅当 = 时，等号成立．
4
4√ 3
故直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
7
| |
19.【答案】解：(1)设 ( , )，根据 = 2，
| |
得( + 3)2 + 2 = 4( 2 + 2)，即( 1)2 + 2 = 4，
所以 的方程为( 1)2 + 2 = 4；
(2)根据圆的对称性，不妨设 ( 1,0)， (3,0)，

设 (4, )( ≠ 0)，则 = ， = ， 5

所以直线 的方程为 = ( + 1)，直线 的方程为 = ( 3)，
5
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，

= ( + 1),
联立方程{ 5 得(25 + 2) 2 + (2 2 50) + 2 75 = 0，
( 1)2 + 2 = 4,
2 75 75 2
所以 1 = ，即 25+ 2 1
= ，
25+ 2
20 75 2 20
则 1 = 25+ 2
，所以 ( 2 , )， 25+ 25+ 2
= ( 3),
联立方程{ 得(1 + 2) 2 (6 2 + 2) + 9 2 3 = 0，
( 1)2 + 2 = 4,
9 2 3 3 2 1
所以3 2 = ，即 = ， 1+ 2 2 1+ 2
4
3
2 1 4
则 2 = 2，所以 ( ， 1+ 1+ 2
, 2)1+
20 4
25+ 2

1+ 2 6
当 ≠ ±√ 5时， = 75 2 3 2
= 2， 1
5
25+ 2 1+ 2
20 6 75 2
所以直线 的方程为 = ( )，
25+ 2 5 2 25+ 2
2 7
化简得 =
5 2
(3 7)，所以直线 过定点( , 0)，
3
第 8 页，共 9 页
7 7
当 = ±√ 5时， 1 = 2 = ，此时直线 过定点( , 0)， 3 3
7
综上，直线 过定点( , 0)．
3
第 9 页，共 9 页