2024-2025学年广西南宁二中高二（上）段考数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025 学年广西南宁二中高二（上）段考数学试卷（11 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{ }满足点( , )在直线 = 2 1上，则 2 =( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2.平行线 2 + 3 = 0与 2 2 = 0之间的距离为( )
√ 5 5
A. √ 5 B. C. D. 5
5 2
3.在等差数列{ }中，若 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 100，则 1 + 13的值为( )
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
4.已知 ( 1,0)， (1,0)，在 轴上方的动点 满足直线 的斜率与直线 的斜率之积为2，则动点 的轨
迹方程为( )
2
2 2
A. = 1( > 0) B. 2 = 1( > 0)
2 2
2 2
C. 2 = 1( > 0) D. 2 = 1( > 0)
2 2
5.如图，已知一艘停在海面上的海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为25 的圆
形区域，一艘轮船从位于海监船正东40 的 处出发，径直驶向位于海监船正北30
的 处岛屿，速度为28 / .这艘轮船能被海监船监测到的时长为( )
A. 1小时 B. 0.75小时 C. 0.5小时 D. 0.25小时
2
6.如图，椭圆 + 2 = 1( > 1)与 轴、 轴正半轴分别交于点 、 ，点 是过左焦点
2
1且垂直 轴的直线与椭圆的一个交点， 为坐标原点，若 // ，则椭圆的焦距为( )
A. √ 3
B. 2√ 3
C. 1
D. 2
2 2
7.已知双曲线 ：
2
2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线方程是 = √ 2 ，过其左焦点 ( √ 3, 0)作斜率为2

的直线 交双曲线 于 ， 两点，则截得的弦长| | =( )
A. 2√ 5 B. 4√ 5 C. 10 D. 10√ 2
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1 2 2
8.已知离心率为 的椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，上顶点为 ，线段 2的中2
点为 ，射线 1 与 交于点 ，若| 1| = 2√ 3，则| 2| =( )
10√ 3 6 8√ 3 6 10√ 3 12 8√ 3 12
A. B. C. D.
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 过点( 1,2)且垂直于直线 2 + 3 = 0的直线方程为2 + = 0
B. 过点 (1,2)且在 、 轴截距相等的直线方程为2 + = 0
2 1 1 1C. 曲线 + = 0过点(0, )的最短弦长为
2 8 2
7 3
D. 直线 = ( 2) + 4与曲线 = 1 + √ 4 2有两个不同的交点，则实数 的取值范围( , ]
12 4
10.设抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ， 为 上一动点， (3,1)为定点，则下列结论正确的是( )
A. 准线 的方程是 = 2 B. | | + | |的最小值为4
C. | | | |的最大值为5 D. 以线段 为直径的圆与 轴相切
11.已知 ( , , ) = 2 + 2 1( ≥ 1, ∈ )，定义方程 ( , , ) = 0表示的是平面直角坐标系中的“方
圆系”曲线，记 表示“方圆系”曲线 ( , , ) = 0所围成的面积，则( )
A. “方圆系”曲线 ( , , 1) = 0所围成的面积为1
B. 2 < 4
C. { }是单调递增的数列
1
D. “方圆系”曲线 ( , , 2) = 0上任意一点到原点的最大距离为24
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知圆 ：( 1)2 + 2 = 1，圆 ：( 4)21 2 +
2 = 16，则两圆公切线的方程为______．

13.已知首项为2的数列{ }，其前 项和为

，且数列{ }是公差为1的等差数列( ∈
)，则{ }的通项公
式______．
2 2
14.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，若双曲线的左支上一点 满足
sin∠ 1 2 = 3，以 2为圆心的圆与 1 的延长线相切于点 ，且 1 = 2 1 ，则双曲线的离心率为______． sin∠ 2 1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，满足 2 + 4 = 10， 6 = 36．
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(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 = ( 1)
，求 1 + 2 + 3 + + 20．
16.(本小题15分)
已知点 是平面直角坐标系中异于原点 的一个动点，过点 且与 轴垂直的直线与直线 = 2交于点 ，且
向量 与向量 垂直．
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)设 位于第一象限，以 为直径的圆与 轴相交于点 ，且∠ = 30°，求| |的值．
17.(本小题15分)
+
在锐角△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 = ．
+
(1)求角 的大小；
(2)若 = 1，求△ 外接圆的面积的最小值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， // ， = = 3 ⊥ ， // ，
= = 3， = = 2, = √ 13, 为 中点，点 在 上，且 = 3 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)线段 上是否存在点 ，使得 //平面 ，说明理由？
19.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1、 2，设点 (0, )，在△ 1 2中，∠ 1 2 = ， 2
周长为2 + 2√ 2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设不经过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，若直线 与 的斜率之和为 1，求证：直线 过定点，
并求出该定点的坐标；
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(3)记第(2)问所求的定点为 ，点 为椭圆 上的一个动点，试根据△ 面积 的不同取值范围，讨论△
存在的个数，并说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 = 0
13.【答案】 = 2
14.【答案】√ 3
15.【答案】解：(1)等差数列{ }的前 项和为 ，公差设为 ，
2 + 4 = 2 3 = 10 = 5
由 2 +
3
4 = 10， 6 = 36，可得{ 6( + ) { ，而 + = + = 12 = 7， 1 66 = = 36 + = 12
1 6 3 4 4
2 1 6
所以{ }的公差 = 4 3 = 2，
故其通项公式为 = 3 + ( 3) = 5 + 2( 3) = 2 1．
(2)由 = ( 1)
，
则 1 + 2 + 3 + + 20 = 1 + 2 3 + 4 19 + 20
= ( 2 1) + ( 4 3) + + ( 20 19) = 2 × 10 = 20．
16.【答案】解：(1)根据题意可设设 ( , )， ( 2, )，
则 = ( , ), = ( 2, )，
∵ = 2 + 2 = 0，∴ 2 = 2 且 ≠ 0，
∴点 的轨迹方程 为 2 = 2 且 ≠ 0；
(2)由题意易知∠ = 90°，∴ ⊥ 轴，
又∠ = 30°，∴ ∠ = 60°，
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| |
∴ tan∠ = = √ 3，又 位于第一象限，
| |
2
∴ = | |, = | | = ， 2
2
∴ = = √ 3
2
= 2√ 3，∴ = = 6， 2
∴ | | = √ 36 + 12 = 4√ 3．
+
17.【答案】解：(1)由 = 及正弦定理，
+
+
可得 = ，
+
即 + = + ，
即 = ，
则sin( ) = sin( )，
由 + + = 且 ， ， ∈ (0, )，
可得 = 或 + = (舍)，
所以2 = + ，即3 = ，

所以 = ；
3

(2)由正弦定理，可得外接圆半径 = = ，
2 √ 3
故要使外接圆的面积最小，只需 最小，
而 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 ≥ 2 = = 1，
当且仅当 = = 1时取等号，
1
此时 = 1，则 = ， √ 3

所以△ 外接圆的面积的最小值为 2 = ．
3
18.【答案】解：(1)证明：在△ 中， 2 + 2 = 32 + 22 = (√ 13)2 = 2，
所以∠ = 90°，即 ⊥ ，
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又因为 ⊥ ，在平面 中， 面 ， 面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ；
(2)因为平面 ⊥平面 ，
平面 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，
由(1)已证 ⊥ ，且已知 ⊥ ，
故以 为原点，建立如图空间直角坐标系 ，
则 (2,0,0)， (0,0,3)， (3,2,0)，
所以 = (0,0,3)， = (2,0,0)， = (3,2,0)， = ( 3, 2,3)，
因为 为 中点，
1 3
所以 = ( + ) = (1,0, )，
2 2
由 = 3 知， = + =
1 2 4
+ = (3,2,0) + ( 1, , 1) = (2, , 1)，
3 3 3
设平面 的法向量为 = ( , , )，
3
则{
= 0 + = 0，即{ 24 ， = 0 2 + + = 0
3
令 = 2，则 = 3， = 3，
于是 = ( 3,3,2)，
又因为 ⊥平面 ，
所以平面 的法向量为 = (0,2,0)，
3×2 3√ 22
所以cos < , >= = = ，
| || | 2×√ 9+9+4 22
平面 与平面 夹角的余弦值3√ 22；
22
(3)设 是线段 上一点，则存在 ∈ [0,1]，使得 = ，
因为 = (3,2,0)， = ( 2,0,0)，
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所以 = + = + = (3 2,2 , 0)，
因为 平面 ，所以 //平面 ，
当且仅当 = 0，
即(3 2,2 , 0)( 3,3,2) = 0，
即(3 2) × ( 3) + 2 × 3 + 0 × 2 = 0，
解得 = 2，
因为 = 2 [0,1]，所以线段 上不存在 使得 //平面 ．

19. √ 2【答案】解：(1)由∠ 1 2 = ，则∠ 1 = ， ， 2 4 ∴ = = 2
由△ 1 2周长为2 + 2√ 2，∴ 2( + ) = 2 + 2√ 2，
2
综上，可得 = √ 2, = = 1，即椭圆 的方程为 + 2 = 1．
2
(2)证明：设 ： = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 + 2 2 = 2
联立{ ，消去 整理得(1 + 2 2) 2 + 4 + 2 2 2 = 0，
= +
4 2( 2 1)
显然 > 0，则 1 + 2 = 2， = ，
1+2 1 2 21+2
1 1 2 1 1+ 1 2+ 1又 + = + = + = 1， 1 2 1 2
∴ (2 + 1) 1 2 + ( 1)( 1 + 2) = 0，
2( 2 1) 4
则(2 + 1) 2 = ( 1) 2，
1+2 1+2
又 ≠ 1，整理得2 + + 1 = 0，则 ： = 2 1 = ( 2) 1，
∴直线 过定点(2, 1)，得证；
(3)由(2)知， ： + 1 = 0，且 (0,1)， (2, 1)，则| | = 2√ 2，
设直线 ： = + ，与椭圆相切，联立有 2 + 2( )2 = 2，
整理得3 2 4 + 2 2 2 = 0，则 = 16 2 24( 2 1) = 0，可得 = ±√ 3，
∴ √ 3+1 √ 3 1两切线到 的距离分别为 1 = , √ 2 2
= ，
√ 2
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√ 3+1 1 √ 3+1
当 1 = ，则 △ = × 2√ 2 × = √ 3 + 1， √ 2 2 √ 2
√ 3 1 1 √ 3 1
当 2 = ，则 △ = × 2√ 2 × = √ 3 1， √ 2 2 √ 2
∴ △ > √ 3 + 1时，△ 为0个； △ = √ 3 + 1时，△ 为1个；
√ 3 1 < △ < √ 3 + 1时，△ 为2个； △ = √ 3 1时，△ 为3个；
0 < △ < √ 3 1时，△ 为4个．
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