2024-2025学年云南省长水教育集团高三（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年云南省长水教育集团高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,3, 2}， = {1, + 2}，若 ∩ = ，则 ∈( )
A. {2} B. {1, 2} C. { 1,2} D. { 1,1,2}
2.“ > 0，( 3) 1 = 0”成立的充分必要条件是( )
A. > 1 B. < 1 C. > 3 D. < 3
3.国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩(单位：环)分别为10，7，8，10， ，10，8，6，其中 为
整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则 =( )
A. 6 B. 7 C. 9 D. 10
9
4.已知 > 0， > 0，且 ≥ ，则 + 的最小值为( )

A. 3 B. 5 C. 7 D. 8
5.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为( )
√ 3 1 √ 15 √ 10
A. B. C. D.
2 2 5 5
6.设向量 与 的夹角为 ，定义 = | |，已知| | = √ 2，| + | = √ 5，| | = 1，则
=( )
2√ 2 √ 2
A. √ 3 B. C. √ 2 D.
3 2
1
7.已知数列{ }的首项 1 = ，且满足 +1 =
( ∈ )，则 的值为( )
3 4 +1 20
1 2 1 1
A. B. C. D.
79 69 78 75
2 2
8.设椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点为 1， 2，右顶点为 ，已知点 在椭圆 上，若∠ 1 2 = 90°，
∠ 2 = 45°，则椭圆 的离心率为( )
5 √ 6
A. B. C. 2 √ 2 D. √ 3 1
7 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1+ 10+ 11
9.若复数 = ， 在复平面内对应的点为 ，则( )


A. = 1 2 B. | 2| = 25
C. 的虚部为2 D. 点 在直线2 + = 0上

10.设 为正实数，已知函数 ( ) = 4 ( + )，则下列结论正确的是( )
3
第 1 页，共 7 页
5
A. 当 = 1时，函数 ( )的图象的一条对称轴为 =
6

B. 已知 ( 1) = 4， ( 2) = 4，且| 1 2|的最小值为 ，则 = 2 2

C. 当 = 2时，函数 ( )的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 ( ) = 4 2
12
1
D. 若 ( )在区间[ , ]上单调递增，则 的取值范围是(0, ]
6 2 3
11.已知 = 1函数 ( ) = 3 + 3 2 + 10的极值点，则( )
A. = 1是 ( )的极小值点 B. ( )有三个零点
1
C. ( ) + ( ) < 2 D. (2√ 3 1) + ( 0.99) < 2
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
5 11
12.sin( ) + cos( ) = ______．
12 12
13.已知抛物线 2 = 4 的焦点为 ，若以 轴正方向的射线 绕焦点 逆时针旋转45°，与抛物线交于点 ，
过 作 ⊥ 轴，交准线于点 ，则△ 的面积为______．
14.已知一个圆台的侧面积为35√ 2 ，下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7，则
该圆台的外接球(圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上)的体积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且( )( + ) = ( )．
(1)求 ；

(2)若 = ， + = 2 + √ 6，求 ．
4
5 √ 6+√ 2
(提示：sin = . )
12 4
16.(本小题15分)
如图，长方体 1 1 1 1中，点 ， 分别在 1， 1上，且 ⊥ 1 ， ⊥ 1D.
(1)求证： 1 ⊥平面 ；
(2)当 = = 1， 1 = 2时，求平面 与平面 1 的夹角的余弦值．
第 2 页，共 7 页
17.(本小题15分)

已知函数 ( ) = ．
(1)讨论函数 ( )在区间(0, )上的单调性；

(2)若存在 0 ∈ [0, ]，使得 ( 0) 2 0 ≤ 0成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
4 3
设动点 到定点 (3,0)的距离与它到定直线 ： = 的距离之比为 ．
3 2
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过 的直线与曲线 交右支于 、 两点( 在 轴上方)，曲线 与 轴左、右交点分别为 、 ，设直线 的

斜率为 1，直线 的斜率为 ，试判断
1
2 是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 2
19.(本小题17分)
1
现有 枚质地不同的游戏币 1， 2， ， ( > 3)，向上抛出游戏币 后，落下时正面朝上的概率为 ( =2
1,2, , ).甲、乙两人用这 枚游戏币玩游戏．
(1)甲将游戏币 2向上抛出10次，用 表示落下时正面朝上的次数，求 的期望 ( )，并写出当 为何值时，
( = )最大(直接写出结果，不用写过程)；
(2)甲将游戏币 1， 2， 3向上抛出，用 表示落下时正面朝上游戏币的个数，求 的分布列；
(3)将这 枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断
这个游戏规则是否公平，并说明理由．
第 3 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】0
13.【答案】8 + 6√ 2
500
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)因为( )( + ) = ( )，
所以由正弦定理得：( )( + ) = ( )，
即 2 + 2 2 = ，
2+ 2
2
1
所以由余弦定理得： = = = ，
2 2 2

因为 ∈ (0, )，所以 = ；
3

(2)由(1)可知： = ， = ， + = 2 + √ 6，
3 4

由正弦定理得 = ，所以√ 3 = √ 2 ，

所以 = √ 6， = 2，
5
所以 = = ，
3 4 12
5 √ 6+√ 2
因为 = sin = ，
12 4
第 4 页，共 7 页

所以由正弦定理得： = ，

√ 6+√ 2
2×
所以 = = 4
√ 6+√ 2
= = √ 3 + 1．
√ 2 √ 2
2
16.【答案】解：(1)证明：因为 ⊥平面 1 1， 平面 1 1，所以 ⊥ ，
又 ⊥ 1 且 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 ，所以 ⊥平面 1 ，
且 1 平面 1 ，故 AE⊥ 1 ，同理， ⊥ 1 ，
， 平面 ， ∩ = ，
所以 1 ⊥平面 ．
(2)以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，如图：
则 1(0,0,2)， (1,0,0)， (1,1,0)， (0,1,0)，
在平面 1 中， = ( 1,1,0), 1 = (1,0, 2)，
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，
+ = 0
则{ ，可取 = (2,2,1)，
2 = 0
由(1)知，平面 的一个法向量为 1 = (1,1, 2)，
设平面 与平面 1 的夹角为 ，
2 √ 6
则 = |cos < , 1 > | = = ， √ 9 √ 6 9
故所求的夹角的余弦值为√ 6．
9
+ √ 2
17.【答案】解：(1) ′( ) = = sin( + ) = 0， 4

解得 = + , ∈ ，
4
3
因为 ∈ (0, )，所以 = ，
4
3 3
当 ∈ (0, ), ′( ) < 0，当 ∈ ( , ), ′( ) > 0，
4 4
第 5 页，共 7 页
3 3
所以 ( )在(0, )上单调递减，在( , )上单调递增；
4 4

(2) ( 0) 0 ≤ 0 ( 0) =
0
0 ≤ 0， 0

当 0 = 0时，由
0
≤ 0可得1 ≤ 0不成立， 0 0

当 0 ∈ (0, ]时， ≥
0，
2 0 0

令 ( ) = (0 < ≤ ), ′( ) = 2 < 0恒成立， 2

故 ( )在 ∈ (0, ]单调递减，
2

所以 ≥ ( ) = ( ) = 0， 2
所以 的取值范围为[0, +∞)．
| | 3
18.【答案】解：(1)设 ( , )，由题意可得 = ( 为 到定直线 的距离)，
2
2 2 3 4即有√ ( 3) + = | |，
2 3
2 2
两边平方，化简可得 = 1，
4 5
2 2
即点 的轨迹 的方程为 = 1；
4 5
(2)由双曲线的方程可得 ( 2,0)， (2,0)，又 (3,0)，
设直线 的方程为 = + 3，
与双曲线的方程5 2 4 2 = 20联立，可得(5 2 4) 2 + 30 + 25 = 0，
30 25
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1， 2 > 0，可得 1 + 2 = 2 ， 5 4 1 2 = 2 ， 5 4
5
即有 1 2 = ( 1 + 2)， 6
5
1 1 2 2 1( 2+3 2) + ( 则 = = = 1 2 1 = 6 1
+ 2)+ 1 1 5 2 1
+2 ( +3+2) +5 5
= = ，
2 1 2 2 1 1 2 2 ( 1+ 2)+5
25 2 5 6 2 1
5
1 1则 为定值 ．
2 5
1
19.【答案】解：(1)由题意可知， ( , 10)，
4
1 5
( ) = × 10 = ，
4 2
当 = 2时， ( = )最大；
(2)记事件 为“第 枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，
1
则 ( ) = , = 1,2,3， 可取0，1，2，3， 2
第 6 页，共 7 页
1 1 1 5
则 ( = 0) = ( 1 2 3) = ( 1) ( 2) ( 3) = (1 )(1 )(1 ) = ， 2 4 6 16

( = 1) = ( 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3) = ( 1 2 3) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3)
1 3 5 1 1 5 1 3 1 23
= × × + × × + × × = ，
2 4 6 2 4 6 2 4 6 48
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( = 2) = ( 1 2 3) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3) = × × (1 ) + × (1 ) × + (1 ) × × 2 4 6 2 4 6 2 4 6
1 5 1 3 1 1 3
= × + × + × = ，
8 6 12 4 2 24 16
1 1 1 1
( = 3) = ( 1 2 3) = × × = ， 2 4 6 48
故 的分布列为：
0 1 2 3
5 23 3 1

16 48 16 48
(3)不妨假设按照 1， 2， ， 的顺序抛这 枚游戏币，
记抛第 枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为 ， = 1，2， ， ，
1 1 1 1 1
于是 = 1 (1 ) + (1 1) =
1 1
1 + = (1 ) 1 + ， 2 2 2 2 2 2
1 1 1
即 = 1 + ，即 = ( 1) + , ≥ 2， 2 1 2
1
记 = ，则 1 = , ≥ 2， 2
1 1
故数列{ }为首项是1 × 1 = ，公差为 的等差数列， 2 2
1 1
故 = + ( 1) × = ， 2 2 2

则 = ， 2
1
故 = , = 1,2,3, , ， 2
1
则 = ，因此公平． 2
第 7 页，共 7 页