湖北省“金太阳联考”2025届高三12月数学试题（PDF版，含答案）

湖北省“金太阳联考”2025 届高三 12 月数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知集合 = { 3, 2, 1,0,1}， = { | < 0}，则 ∩ =( )
2 +3
A. { 3, 2, 1,0,1} B. {0,1}
C. { 3, 2} D. { 3}
1
2.已知复数 = 3 3， 为 的共轭复数，则 的虚部为( ) 2
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
3.已知平面向量 = (1, 2)， = (2 , 1)，且 //( )，则 =( )
1 4 1
A. 5 B. C. D.
5 5 4
4.黄州青云塔矗立在黄冈市宝塔公园的钵孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名.该塔塔身由青灰色石块
砌成，共七层，假设该塔底层(第一层)的底面面积为16平方米，且每往上一层，底面面积都减少1平方米，
则该塔顶层(第七层)的底面面积为( )
A. 8平方米 B. 9平方米 C. 10平方米 D. 11平方米
8 7
5.已知 为锐角，cos(2 + ) = ，则sin( ) =( )
9 9 18
1 2√ 2 2√ 2 2√ 2 2√ 2
A. B. C. D. 或
3 3 3 3 3
6.已知( 1, 1)，( 2, 2)是函数 = log2 图象上不同的两点，则( )
+ + + +
A. 1 2 < log 1 2 1 22 B. > log
1 2
2 2 2 2 2
+ +
C. 1 + 2 < log
1 2
2 D.
1 2
2 1
+ 2 > log2 2
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7.在四棱锥 中，底面 为正方形， = 4， = = 3，∠ = 45 ，则四棱锥
的体积为( )
16 16√ 2 32
A. B. C. D. 16
3 3 3

8.已知函数 ( ) = ( 1)2 sin 在[0, ]上只有一个零点，则正实数 的取值范围为( )
2
2( +2)
A. (0,1] B. (0,1] ∪ [
2
, +∞)
4( +2) 4( +1)
C. (0,1] ∪ [ 2 , +∞) D. (0,1] ∪ [ 2 , +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数据 1， 2， 3， 4， 5的平均数、中位数都是 3，则( )
A. 数据 1， 2， 3， 4， 5与数据 1， 2， 4， 5的平均数相等
B. 数据 1， 2， 3， 4， 5与数据 1， 2， 4， 5的方差相等
C. 数据 1， 2， 3， 4， 5与数据 1， 2， 4， 5的极差相等
D. 数据 1， 2， 3， 4， 5与数据 1， 2， 4， 5的中位数相等
10.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + ) ( ) = 2 ( )，且当 > 0时， ( ) > 0，则( )
A. (0) = 0 B. (22024) = 22024 (1)
C. ( ) = D. ( )没有极值
11.已知函数 ( ) = sin (|cos | + 1)，则下列结论正确的是( )
A. ( )是偶函数
B. ( )的最小正周期是2

C. ( )的图象关于直线 = 对称
2
2 2 2
D. 若 1 ∈ [0, ]， 2 ∈ [0, ]， ( 1) = ( 2 + )(0 < ≤ )，则 的取值范围是[ , ] 3 3 3 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知函数 ( ) = 2 + 的图象在点(1, (1))处的切线过点(3,0)，则 = ．

13.某员工在开办公室里四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码
确实由数字“3”“6”“9”组成，则该密码有 种可能. (用数字作答)
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14.如图，平行六面体 1 1 1 1的底面 是菱形， = 2， 1 = 6，∠ = ∠ 1 = ∠ 1 =

，若非零向量 ， 满足(
3 1) = 0，
= 12，则| |的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2√ 3 cos
在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且( )(sin + sin ) = 0， = ．
3 cos
(1)求 ;
(2)若△ 的外接圆面积为9 ，角 的平分线交 于 ，求△ 的面积，及△ 与△ 的面积之比．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 ln + 2 + 3．
(1)若 ( )在[1, +∞)上单调递增，求 的取值范围;
(2)若 ( ) ≥ 0恒成立，求 的取值范围．
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17.(本小题15分)

如图，在三棱柱 中， = = 2， = = √ 10， = 2√ 3，∠ = ． 3
(1)证明：平面 ⊥平面 ．
(2)求二面角 的正弦值．
18.(本小题17分)
1
设数列{ }的前 项和为 ，若 1 = 2，且对任意的 ∈
，均有 = + + 1( 是常数且 ∈
)成立，
2
则称{ }为“Ⅱ( )数列”．
(1)设{ }为“Ⅱ(1)数列”．
①求{ }的通项公式;
②若 = ，数列{ }的前 项和为 ，证明：| | ≥ 2.
(2)是否存在{ }既是“Ⅱ( )数列”，又是“Ⅱ( + 2)数列” 若存在，求出符合条件的{ }的通项公式及对
应的 的值;若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2， ， 的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记
纸牌上的数字为 ，随后将纸牌放回(后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回)，接下来甲有2种选择：
①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为 ，若 + > ，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙
抽牌一次;
②直接结束抽牌，记 = 0，换由乙抽牌一次．
记乙抽到的纸牌上的数字为 ，若 + + ≤ ，则乙赢，否则甲赢.游戏结束．
(1)若甲只抽牌1次，求甲赢的概率;
(2)若甲抽牌2次，求甲赢的概率;
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(3)当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择 ②赢得游戏的概率更大 (结果用含 的式子
表示)
( +1)(2 +1)
参考公式：若数列{ }的通项公式为
2
= ，则{ }的前 项和 = ． 6
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】5
13.【答案】36
14.【答案】4 √ 13
15.【答案】解：(1)在△ 中，sin > 0，sin > 0．
因为( )(sin + sin ) = 0，sin + sin > 0，
所以 = 0，即 = ，sin = sinB.
2√ 3 cos 2√ 3 sin cos
因为 = ，所以 = ，
3 cos 3 sin cos
sin cos sin cos +sin cos
即 + =
sin cos sin cos
sin 1 2√ 3
= = = ，
sin cos cos 3
√ 3
所以cos = ， = = ．
2 6
(2)因为△ 的外接圆面积为9 ，
所以△ 的外接圆半径为3．

因为 = = = 6，所以 = = 3， = 3√ 3．
sin sin sin
1 1 √ 3 9√ 3
△ = sin = × 3 × 3 × = ． 2 2 2 4
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1
∠ △ 2 = 1 = = √ 3， △ ∠
2
所以△ 与△ 的面积之比为√ 3．
16.【答案】解：(1) ′( ) = 2ln + 2 + 2 ，
若函数 ( )在[1, +∞)上单调递增，
可得 ′( ) = 2ln + 2 + 2 ≥ 0在 ∈ [1, +∞)上恒成立，
因为 ′( ) = 2ln + 2 + 2 在[1, +∞)上单调递增，所以 ′(1) = 4 0，
解得： 4，
故 的取值范围为( ∞, 4];
3
(2) ( ) ≥ 0，即 2ln + + ，

3 2 3 ( +3)( 1)
令 ( ) = 2ln + + ，则 ′( ) = + 1 = ．
2 2
由 ′( ) < 0，得0 < < 1，
由 ′( ) > 0，得 > 1，
故 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增．
( ) (1) = 4．
因为 ( ) 0恒成立，所以 4．
故 的取值范围为( ∞, 4]．
17.【答案】(1)证明见解答；
4√ 3
(2) ．
13
1
18.【答案】解：(1) ①解：因为{ }为“Ⅱ(1)数列”，所以 = +1 + 1． 2
因为 1 = 2，所以 1 = 2．
1
当 = 1时， 1 = 1 = 2 + 1，得 2 = 2． 2
1 1 1
当 ≥ 2时， 1 = + 1，则 2 = 1 = + ， 2 +1 2
即 +1 = ，
经检验，当 = 1时，满足 +1 = ，
所以 +1 = 对任意的 ∈
恒成立，{ }是首项为2，公比为 1的等比数列，
所以 = 2 × ( 1)
1．
②证明： = = 2 ( 1)
1．
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= 2 × ( 1)
0 + 2 × 2 × ( 1)1 + 2 × 3 × ( 1)2 + + 2 ( 1) 1，
= 2 × ( 1)
1 + 2 × 2 × ( 1)2 + 2 × 3 × ( 1)3 + + 2 ( 1) ，
两式相减得2 = 2 + 2 × ( 1)1 + 2 × ( 1)
+ + 2( 1) 1 2 ( 1) = 1 + (1 + 2 )( 1) 1，
1 1 1
1 (1+2 )( 1) 1+( 1) +2 ( 1)
所以 = + = ． 2 2 2
1 1 2 1+1+2
当 为偶数时，| | = | | = ≥ 2.当 为奇数时，| | = | | = |1 + | ≥ 2.故| | ≥ 2. 2 2
(2)解：假设存在这样的数列，
1
由{ }是“ ( )数列”可得 = + + 1． 2
1
由{ }是“Ⅱ( + 2)数列”可得 = + +2 + 1， 2
1 1
所以 + = + +2， = + + 1 = + +2 + 1 = +2，即 = +2，所以 +1 + +2 = 0． 2 2
1
由 = + + 1，令 = 1，得 1+ = 2，令 = 2，得 2+ = 2 2 2． 2
因为 1+ + 2+ = 0，所以 2 + ( 2 2 2) = 0，
解得 2 = 2，所以{ }为2， 2，2， 2，2， 2， ，{ }的通项公式为 = 2 × ( 1)
1．
1
当 为偶数时， = + + 1 = 0，解得 2 + = 2， 为奇数．
1
当 为奇数时， = 2 + + 1 = 2，解得 + = 2， 为奇数．
综上，存在{ }既是“Ⅱ( )数列”，又是“Ⅱ( + 2)数列”，
此时{ }的通项公式为 = 2 × ( 1)
1， ∈ 且 为奇数．
19.【答案】解：(1)若甲只抽牌1次，甲赢的情况如下．
甲抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为 ，此时有1种情况;
甲抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为 ， 1，此时有2种情况;
甲抽到的纸牌上的数字为3，乙抽到的纸牌上的数字为 ， 1， 2，此时有3种情况;

1
依次类推，甲赢的情况共有1 + 2 + 3 + + = (1 + ) 种．
2
1
(1+ ) 1+
故甲赢的概率为2 2 = ． 2
(2)若甲抽牌2次，甲赢的情况如下．
①甲第1次抽到的纸牌上的数字为1，第2次抽到的纸牌上的数字为1，
乙抽到的纸牌上的数字为 ， 1，此时有2种情况;
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第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为 ， 1， 2，此时有3种情况;

第2次抽到的纸牌上的数字为 1，乙抽到的纸牌上的数字为 ， 1， ，1，此时有 种情况．
以上有2 + 3 + + 种情况．
②甲第1次抽到的纸牌上的数字为2，第2次抽到的纸牌上的数字为1．
乙抽到的纸牌上的数字为 ， ， 2，此时有3种情况;
第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为 ， ， 2， 3，此时有4种情况;

第2次抽到的纸牌上的数字为 2，乙抽到的纸牌上的数字为 ， 1， ，1，此时有 种情况．
以上有3 + 4 + + 种情况．
依次类推，甲第1次抽到的纸牌上的数字为3时，甲赢的情况有4 + 5 + + 种;
甲第1次抽到的纸牌上的数字为 2时，甲赢的情况有 1 + 种;
甲第1次抽到的纸牌上的数字为 1时，甲赢的情况有 种．
甲赢的情况的总数为(2 + 3 + + ) + (3 + 4 + + ) + (4 + 5 + + ) + + ( 1 + ) +
= 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + + ( 1) = 22 2 + 32 3 + 42 4 + + 2
2
= 22 + 32
( +1)(2 +1) (1+ ) ( 1)
+ 42 + + 2 (2 + 3 + 4 + + ) = 1 [ 1] = ．
6 2 3
( 2 1) 2 1
故甲赢的概率为 = ．
3 3 3 2
( +1+ )( )
(3)当甲抽取的第一张纸牌上的数字为 时，若甲选择 ①，则甲赢的概率 1 = ．
2 2

若甲选择 ②，则甲赢的概率 2 = ．
( +1+ )( )
令 > ，即 > ，化简得 22 1 2 + (2 + 1) (
2 + ) > 0，
2
2 1+√ 8 2+8 +1
解得 > ．
2
2 1+√ 8 2+8 +1
综上，当甲抽取的第一张纸牌上的数字大于 时，
2
甲选择 ②赢得游戏的概率更大．
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