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二次函数的应用 专项练习
一．选择题（共2小题）
1．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
2．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系式为h＝30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是（ ）
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
二．填空题（共3小题）
3．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是 m2．
4．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．
5．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 米．
三．解答题（共19小题）
6．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100（利润＝售价﹣制造成本）．
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据有关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
7．某种水果进价为每千克20元，市场调查发现，该水果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80，设这种水果每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该水果售价定为每千克多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果商家为“薄利多销”，规定这种水果售价每千克不高于28元，则商家要想每天获利150元的销售利润，售价应定为每千克多少元？
8．某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元） 与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，其x，y对应值如表：信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间函数关系的图象如图：根据以上信息，解答下列问题：
销量x（吨） 0 1 5 …
利润y（万元） 0 1.4 5 …
（1）求二次函数解析式；
（2）该公司营销A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，并求出最大利润．
9．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：
第x天 售价（元/件） 日销售量（件）
1≤x≤30 x+40 100﹣2x
已知该商品的进价为20元/件，设销售该商品的日销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，日销售利润为2250元？
（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于2400元，请直接写出结果．
10．为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为30元/盒的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每盒售价40元时，每天能出售500盒，并且售价每上涨1元，其销售量将减少10盒，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的180%．
（1）求每天销售利润y（元）与每盒售价x（元）之间的函数关系式，并求每天销售利润的最大值；
（2）如果超市想要每天获得利润不少于8000元，求售价的范围．
11．如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积S（m2）．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积．
12．（1）某农场拟建一间矩形饲养室，饲养室的一而靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．如图1，问饲养室长为多少时，占地面积最大．
（2）解决（1）后，我们反思：如果要求在图示位置留2m宽的门（如图2），且仍使饲养室占地面积最大，这时小敏回答，只要饲养室长比（1）的长多1m就行，请你通过计算，判断小敏的回答是否正确．
（3）对于（1）、（2），进一步反思：如果要求在图中所示位置留2m宽的门（如图3），这时小敏回答，只要饲养室长比（1）的长多2m就行，请你通过计算，判断小敏的回答是否正确．
13．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并在容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
14．如图，为了做好天府新区的规划展览，人民公园要设计修建一个矩形花坛，作为展览区的休息场所．已知花坛长150米，宽80米．设计在花坛中修建一条横向通道和两条纵向通道，各通道的宽度相等．设通道的宽为x米．
（1）用含x的式子表示横向通道的面积；
（2）当三条通道的面积是矩形面积的八分之一时，求通道的宽；
（3）根据设计的要求，通道的宽不能超过6米．如果修建通道的总费用（万元）与通道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当通道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
15．已知：在△ABC中，BC＝20，高AD＝16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积．
16．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是矩形，设EF＝X．
（1）用x表示DE的长；
（2）当矩形DEFG的面积最大时，求EF的长，并求出矩形DEFG的最大面积．
17．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
18．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果该隧道内设双行道，一辆货运卡车高4.2m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？
19． 如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）
（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？
20．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处．其身体（看成一点）的路线是抛物线y＝﹣x2+3x的一部分．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝2.75米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是3米，问这次表演能否成功？请说明理由．
21．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度AB为20米，棚顶距离水地面高度OC为4米．
（1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；
（2）若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？
22．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6米，涵洞顶点O到水面的距离为2.4米，建立如图所示的直角坐标系．
（1）试写出涵洞所在抛物线的解析式；
（2）当水面上涨了1.4米时，求水面的宽．
23．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图1），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？
（3）如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？
24．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y＝ax2+c的形式．请根据所给的数据求出a，c的值．
（2）求支柱MN的长度．
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数的应用 专项练习
一．选择题（共2小题）
1．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
【思路点拔】直接利用每千克利润×销量＝总利润，进而得出关系式．
【解答】解：设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，
则y与x的函数关系式为：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]．
故选：C．
2．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系式为h＝30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是（ ）
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
【思路点拔】根据题意得出h＝0时，解方程求出t的值即可．
【解答】解：由题意可得：h＝0时，0＝30t﹣5t2，
解得：t1＝6，t2＝0，
∴小球从抛出至回落到地面所需的时间是6秒，
故选：A．
二．填空题（共3小题）
3．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是 300 m2．
【思路点拔】根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；再利用二次函数的性质求出面积S的最大值即可．
【解答】解：如图，
∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，
∴ax+10，3ax+30，
∴矩形区域ABCD的面积S＝（x+30）xx2+30x，
∵ax+10＞0，
∴x＜40，
则Sx2+30x（0＜x＜40）；
∵Sx2+30x（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为0，
∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．
故答案为：300．
4．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 3 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 18 cm2．
【思路点拔】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE＝t，AH＝6﹣t，由四边形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4个△AEH的面积，即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式，配方后即可得出结论．
【解答】解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE＝t，AH＝6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝6×6﹣4t（6﹣t）＝2t2﹣12t+36＝2（t﹣3）2+18，
∴当t＝3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
故答案为：3；18
5．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 4 米．
【思路点拔】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点坐标为：（2，4），
∴喷水的最大高度为4米，
故答案为：4．
三．解答题（共19小题）
6．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100（利润＝售价﹣制造成本）．
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据有关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
【思路点拔】（1）根据利润＝销售量×（销售单价﹣成本），代入代数式求出函数关系式；
（2）根据函数的性质求最值即可；
（3）根据销售单价不能高于32元，厂商要获得每月不低于350万元的利润得出销售单价的取值范围，进而解决问题．
【解答】解：（1）由题意得，z＝y（x﹣18）
＝（﹣2x+100）（x﹣18）
＝﹣2x2+136x﹣1800，
∴z与x之间的函数关系式为z＝﹣2x2+136x﹣1800；
（2）由（1）知，
z＝﹣2x2+136x﹣1800
＝﹣2（x﹣34）2+512，
∵﹣2＜0，
∴当x＝34时，z有最大值，最大值为552元，
∴销售单价为32元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512元；
（3）∵电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，
则，
解得：25≤x≤32，
根据一次函数的性质，得y＝﹣2x+100中y随x的增大而减小，
∴当x＝32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）＝648（万元），
因此，所求每月最低制造成本为648万元．
7．某种水果进价为每千克20元，市场调查发现，该水果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80，设这种水果每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该水果售价定为每千克多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果商家为“薄利多销”，规定这种水果售价每千克不高于28元，则商家要想每天获利150元的销售利润，售价应定为每千克多少元？
【思路点拔】（1）根据销售额＝销售量×销售单价，列出函数关系式；
（2）用配方法将（1）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把y＝150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．
【解答】解：（1）由题意得出：
w＝（x﹣20） y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．
解得 x1＝25，x2＝35．
∵35＞28，
∴x2＝35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
8．某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元） 与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，其x，y对应值如表：信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间函数关系的图象如图：根据以上信息，解答下列问题：
销量x（吨） 0 1 5 …
利润y（万元） 0 1.4 5 …
（1）求二次函数解析式；
（2）该公司营销A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，并求出最大利润．
【思路点拔】（1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：（1）将x＝1，y＝1.4；x＝5，y＝5代入y＝ax2+bx得：
，
解得：．
二次函数解析式为y＝﹣0.1x2+1.5x；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，
则W＝﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m）＝﹣0.1m2+1.2m+3＝﹣0.1（m﹣6）2+6.6，
∵﹣0.1＜0，
∴当m＝6时，W有最大值6.6万，
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
9．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：
第x天 售价（元/件） 日销售量（件）
1≤x≤30 x+40 100﹣2x
已知该商品的进价为20元/件，设销售该商品的日销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，日销售利润为2250元？
（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于2400元，请直接写出结果．
【思路点拔】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；
（2）根据（1）中所得关系式，把y＝2250代入即可求解；
（3）把y＝2400代入（1）中的关系式，根据二次函数的图象，利用直线y＝2400与抛物线的交点的横坐标即可写出结果．
【解答】解：（1）根据题意，得
y＝（x+40﹣20）（100﹣2x）
＝﹣2x2+60x+2000（1≤x≤30）．
（2）当y＝2250时，
2250＝﹣2x2+60x+2000，
x2﹣30x+125＝0，
解得x1＝5，x2＝25，
答：销售该商品第5天或第25天时，日销售利润为2250元．
（3）∵y＝﹣2x2+60x+2000
＝﹣2（x﹣15）2+2450，
当y＝2400时，
2400＝﹣2（x﹣15）2+2450，
2（x﹣15）2＝50
解得x1＝10，x2＝20．
根据二次函数的图象可知：
当10≤x≤20时，日销售利润不低于2400元．
答：当月有11天的日销售利润不低于2400元．
10．为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为30元/盒的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每盒售价40元时，每天能出售500盒，并且售价每上涨1元，其销售量将减少10盒，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的180%．
（1）求每天销售利润y（元）与每盒售价x（元）之间的函数关系式，并求每天销售利润的最大值；
（2）如果超市想要每天获得利润不少于8000元，求售价的范围．
【思路点拔】（1）根据题意列出函数关系式即可得到结论；
（2）根据题意，令利润等于8000，然后再根据y关于x的关系式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣40）]＝﹣10x2+1200x﹣27000，
配方得，y＝﹣10（x﹣60）2+9000，
∵a＜0，
∴x＜60时，y随x的增大而减小，
∵该品牌粽子售价不能超过进价的180%，
∴当x＝54时，y由最大值，此时，y＝﹣10×（54﹣60）2+9000＝8640，
∴当售价为每盒54元时，获得的最大利润是8640元；
（2）令y＝8000，﹣10x2+1200x﹣27000＝8000，
解得：x1＝50，x2＝70，
∴50≤x≤70时，y≥8000，
∵x≤54，
∴50≤x≤54时，y≥8000，
即超市想要每天获得利润不少于8000元，售价的范围是50≤x≤54．
11．如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积S（m2）．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积．
【思路点拔】（1）根据花圃的宽AB为x米，得出BC，再根据长方形的面积公式列式计算即可；
（2）根据S与x之间的函数关系式，结合x的取值范围求出函数的最值即可．
【解答】解：（1）∵花圃的宽AB为x米，
∴BC＝（24﹣4x）米，
∴S＝x（24﹣4x）＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）；
（2）∵S＝﹣4x2+24x＝﹣4（x﹣3）2+36，
∵24﹣4x≤8，
∴x≥4，
∵0＜x＜6，
∴4≤x＜6，
∵a＝﹣4＜0，
∴S随x的增大而减小，
∴当x＝4时，S最大值＝32，
答；当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是32平方米．
12．（1）某农场拟建一间矩形饲养室，饲养室的一而靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．如图1，问饲养室长为多少时，占地面积最大．
（2）解决（1）后，我们反思：如果要求在图示位置留2m宽的门（如图2），且仍使饲养室占地面积最大，这时小敏回答，只要饲养室长比（1）的长多1m就行，请你通过计算，判断小敏的回答是否正确．
（3）对于（1）、（2），进一步反思：如果要求在图中所示位置留2m宽的门（如图3），这时小敏回答，只要饲养室长比（1）的长多2m就行，请你通过计算，判断小敏的回答是否正确．
【思路点拔】（1）设饲养室的面积为y m2，根据矩形的面积公式写出y与x的函数关系式，根据函数的性质求最值即可；
（2）根据（1）中方法求出面积取最大值时x的值与（1）中x的值比较即可；
（3）根据（1）中方法求出面积取最大值时x的值与（1）中x的值比较即可．
【解答】解：（1）设饲养室的面积为y m2，根据题意得：
y＝x （x﹣25）2，
∵0，
∴当x＝25时，占地面积最大，
∴饲养室长x为25m时，占地面积y最大；
（2）由题意得：y＝x （x﹣26）2+338，
∵0，
∴当x＝26时，占地面积最大，
即饲养室长x为26m时，占地面积y最大，
∵26﹣25＝1（cm），
∴小敏的说法正确；
（3）由题意得：y＝x （x﹣27）2，
∵0，
∴当x＝27时，占地面积最大，
即饲养室长x为26m时，占地面积y最大，
∵27﹣25＝2（cm），
∴小敏的说法正确．
13．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并在容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
【思路点拔】（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案；
（2）由条件可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．
【解答】解：
（1）如图所示：
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）＝12，
即x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6（舍去），
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；
（2）∵长不大于宽的五倍，
∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，
设总费用为w元，由题意可知
w＝[0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）]＝4x2﹣48x+120＝4（x﹣6）2﹣24，
∵对称轴为x＝6，开口向上，
∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，
∴当x＝2.5时，w有最小值，最小值为25元，
答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．
14．如图，为了做好天府新区的规划展览，人民公园要设计修建一个矩形花坛，作为展览区的休息场所．已知花坛长150米，宽80米．设计在花坛中修建一条横向通道和两条纵向通道，各通道的宽度相等．设通道的宽为x米．
（1）用含x的式子表示横向通道的面积；
（2）当三条通道的面积是矩形面积的八分之一时，求通道的宽；
（3）根据设计的要求，通道的宽不能超过6米．如果修建通道的总费用（万元）与通道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当通道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
【思路点拔】（1）根据矩形的面积公式进而得出的函数关系式．
（2）根据题意得出甬道总面积为各甬道面积之和，即150x+160x﹣2x2＝310x﹣2x2，
（3）花坛总费用y＝甬道总费用+绿化总费用：y＝5.7x+（12000﹣S）×0.02，即可求出．
【解答】解：（1）横向甬道的面积为：150x（m2）；
（2）横向甬道的面积为：150x，
甬道总面积为150x+（80﹣x）×2x＝310x﹣2x2，
依题意：310x﹣2x2150×80，
整理得：x2﹣155x+750＝0，
x1＝5，x2＝150（不符合题意，舍去），
∴甬道的宽为5米；
（3）∵花坛长150米，宽80米，
∴矩形的面积为：150×80＝12000，
∵甬道总面积为S＝310x﹣2x2，
绿化总面积为12000﹣S，
花坛总费用y＝甬道总费用+绿化总费用：
∴y＝5.7x+（12000﹣S）×0.02，
＝5.7x﹣0.02S+240，
＝5.7x﹣0.02（310x﹣2x2）+240，
＝0.04x2﹣0.5x+240，
当x6.25时，y的值最小．
∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，
∴当x＝6米时，总费用最少．
即最少费用为：0.04×62﹣3+240＝238.44万元．
15．已知：在△ABC中，BC＝20，高AD＝16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积．
【思路点拔】设HG＝x，PD＝y，根据矩形的对边平行可得HG∥EF，然后得到△AHG与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，用x表示出y，然后根据矩形的面积公式求解并整理，再利用二次函数的最值问题进行求解即可．
【解答】解：如图，设HG＝x，PD＝y，
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∴，
∵BC＝20，AD＝16，
∴，
解得yx+16，
∴矩形EFGH的面积＝xy＝x（x+16）（x﹣10）2+80，
∴当x＝10，即HG＝10时，内接矩形EFGH有最大面积，最大面积是80．
16．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是矩形，设EF＝X．
（1）用x表示DE的长；
（2）当矩形DEFG的面积最大时，求EF的长，并求出矩形DEFG的最大面积．
【思路点拔】（1）根据EF＝x，AH＝8可知AK＝8﹣x，再利用相似三角形的性质即可得出结论；
（2）利用x表示出矩形DEFG的面积，利用二次函数的最值问题即可得出结论．
【解答】解：（1）EF＝x，AH＝8，则AK＝8﹣x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴DE12x；
（2）∵EF＝x，DE＝12x，
∴S矩形DEFG＝EF DE＝12xx2，
当x4时，矩形DEFG的最大面积＝24．
17．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【思路点拔】（1）根据题目中的函数解析式，令y＝15即可解答本题；
（2）令y＝0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；
（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：（1）当y＝15时，
15＝﹣5x2+20x，
解得，x1＝1，x2＝3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；
（2）当y＝0时，
0＝﹣5x2+20x，
解得，x1＝0，x2＝4，
∵4﹣0＝4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
18．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果该隧道内设双行道，一辆货运卡车高4.2m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？
【思路点拔】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，顶点式，求抛物线的解析式；
（2）根据题意，把x＝±1.2代入解析式，得到y＝5.64．由于5.64＞4.2，于是得到货运卡车能通过．
【解答】解：（1）根据题意，A（﹣4，2），D（4，2），E（0，6）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+6（a≠0），把A（﹣4，2）或D（4，2）代入得
16a+6＝2．
解得a，
∴抛物线的解析式为yx2+6；
（2）根据题意，把x＝±2.4代入解析式，得y＝4.86．
∵4.86＞4.2，
∴货运卡车能通过．
19． 如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）
（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？
【思路点拔】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求出当x＝2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y＝2.52求出x的值即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），
设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣4）2+3，
把（10，0）代入得36a+3＝0，
解得a，
则抛物线是y（x﹣4）2+3，
当x＝0时，y16+3＝32.44米，
故能射中球门；
（2）当x＝2时，y（2﹣4）2+32.52，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当y＝2.52时，y（x﹣4）2+3＝2.52，
解得：x1＝1.6，x2＝6.4（舍去），
∴2﹣1.6＝0.4（m），
答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．
20．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处．其身体（看成一点）的路线是抛物线y＝﹣x2+3x的一部分．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝2.75米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是3米，问这次表演能否成功？请说明理由．
【思路点拔】（1）将二次函数化简为y＝﹣（x）2+5，即可解出y最大的值．
（2）当x＝2.75时代入二次函数解析式，可得点B的坐标在抛物线上．
【解答】解：（1）将二次函数y＝﹣x2+3x化成y＝﹣（x）2+5，
当x时，y有最大值，y最大值＝5，
因此，演员弹跳离地面的最大高度是5米；
（2）能成功表演．理由是：
当x＝3时，y＝﹣32+3×32.75，
即点B（3，2.75）在抛物线y＝﹣x2+3x上，
因此，能表演成功．
21．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度AB为20米，棚顶距离水地面高度OC为4米．
（1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；
（2）若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？
【思路点拔】（1）直接根据图象假设出函数解析式，进而得出答案；
（2）利用y＝1.6代入求出答案．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+c，
由题意可得：A（﹣10，0），C（0，4），
则，
解得：a，
故抛物线解析式为：yx2+4；
（2）当y＝1.6时，则1.6x2+4，
解得：x1＝2，x2＝﹣2，
故菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有（22）＝4米．
22．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6米，涵洞顶点O到水面的距离为2.4米，建立如图所示的直角坐标系．
（1）试写出涵洞所在抛物线的解析式；
（2）当水面上涨了1.4米时，求水面的宽．
【思路点拔】（1）本题需先设此抛物线所对应的函数表达式是 y＝ax2（a≠0），再求出点B的坐标代入即可求出结果；
（2）当水面上涨了1.4米时，涵洞顶点O到水面的距离为1米，把y＝﹣1代入函数表达式即可解决问题．
【解答】解：（1）设此抛物线所对应的函数表达式是：y＝ax2（a≠0），
∵水面宽AB为1.6米，涵洞顶点O到水面的距离为2.4米，
∴点B的坐标为（0.8，﹣2.4），
∴﹣2.4＝a×0.82．
∴设此抛物线所对应的函数表达式是：yx2．
（2）当水面上涨了1.4米时，涵洞顶点O到水面的距离为1米，把y＝﹣1代入函数表达式得：﹣1x2．
解得：x，
所以水面的宽为米．
23．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图1），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？
（3）如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？
【思路点拔】（1）抛物线的解析式为y＝ax2+c，根据E点及D点的坐标由待定系数法就可以求出结论；
（2）当y＝2.4时代入（1）的解析式求出x的值就求出结论；
（3）将（2）求出的宽度﹣0.4m后除以2的值与2.4比较就可以求出结论．
【解答】解：（1）∵OE为线段BC的中垂线，
∴OCBC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8m，AB＝CD＝2m，
∴OC＝4．
∴D（4，2，）．E（0，6）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+c，由题意，得
，
解得：，
∴yx2+6；
（2）由题意，得
当y＝4.4时，4.4x2+6，
解得：x＝±，
∴宽度为：22.4，
∴它能通过该隧道；
（3）据题意，x＝﹣0.2﹣2.4＝﹣2.6m或x＝0.2+2.4＝2.6m，
把x＝±2.6代入解析式，
得y＝4.31m．
∵4.31m＜4.4m，
∴货运卡车不能通过
24．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y＝ax2+c的形式．请根据所给的数据求出a，c的值．
（2）求支柱MN的长度．
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【思路点拔】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）设N点的坐标为（5，yN）可求出支柱MN的长度．
（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．
【解答】解：（1）根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．
将B、C的坐标代入y＝ax2+c，得
解得．
所以抛物线的表达式是；
（2）可设N（5，yN），于是．
从而支柱MN的长度是10﹣4.5＝5.5米；
（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则G点坐标是（7，0），
（7＝2÷2+2×3）．
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH72+6＝33．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
