2024-2025学年四川省自贡市旭川中学高三（上）期中数学试卷（含解析）

2024-2025 学年四川省自贡市旭川中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,4}， = { ∈ | 2 + 2 ≤ 0}，则 ∪ =( )
A. { 2, 1,0,1,2,4} B. {0,1,2,4}
C. {1,2,4} D. {1}

2.若 = 1 + ，则 =( )
1
A. 1 B. 1 + C. 1 D. 1 +
3.在平行四边形 中，点 ， ， 分别满足 = ， = 2 ， = 2 ，则 =( )
2 1 2 1 1 2 1 2
A. B. + C. D. +
3 6 3 6 6 3 6 3
4.已知 = 0.60.1， = log0.60.3， = log0.60.4，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.已知实数 ， ， 满足 > > ，且 + + = 0，则下列说法正确的是( )
2
A. 2 > 2 B. + ≥ 2 C. | | > | | D. + > 0
2

6.记 为数列{ }的前 项和，设甲：{ }为等差数列；乙：{
}为等差数列，则( )

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7.核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，
但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐
1
射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的 大
10000
约需要经过( )年. ( 2 ≈ 0.3010)
A. 155 B. 159 C. 162 D. 166
3 1+ 2
8.已知 ∈ ( , ), 2 = 4 ( + )，则 2 =( ) 4 4 2 + 2
1 3 3
A. B. C. 1 D.
4 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 2 ) = ( ) + 2 ( )，则( )
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A. (0) = 0 B. (1) = 1
C. ( )是奇函数 D. ( )在 上单调递增
10.已知函数 ( ) = 3 + 2 + ，则( )
A. 若 = 2， = 1，则 ( )有且仅有两个零点
B. 若 = 0，则0为 ( )的极值点
C. 当 为定值时，曲线 = ( )在(1, (1))处的切线在 轴上的截距为定值
2
D. 若 > 0， = 0，当且仅当 < < 0时，曲线 = ( )上存在关于直线 = 对称的两点
3 0 0

11.已知函数 ( ) = sin(2 )(0 ≤ < )， ( ) = cos(2 + )，定义域均为 ，下列说法正确的是( )
3
A. 函数 = ( )与 = ( )有相同的最小正周期

B. 若函数 ( )在(0, )上单调递增，则 的最小值为
3 6

C. 当 = 0， = ( )的图象可以由函数 = ( )的图象向右平移 个单位得到
12
√ 6 √ 6
D. 当 = 时，若方程 ( ) = 在区间(0, )内的解为 1， 2( 1 < 2)，则cos( 1 2) = 4 3 2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若过点(2, )作曲线 = 的切线有且仅有两条，则 的取值范围是______．
13.若 = ( )是定义在 上的奇函数， ( ) = (2 )， (1) = 2，则 (1) + (2) + (3) + + (2025) =
______．
14.设数列{ }的前 项和为 ，若 = 4， = 2 + 1， ∈ 2 +1 ，则 1 = ， 5 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 ( ) = + 2 + + 2在点(2, (2))处的切线与直线2 + 3 = 0垂直．
(1)求 ；
(2)求 ( )的单调区间和极值．
16.(本小题15分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 + (2 + ) = 0．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3，△ 的面积为3√ 3，求边 的大小．
17.(本小题15分)
2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入
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健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得
到如下列联表：
周平均锻炼时长
年龄 合计
周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下 40 60 100
50岁以上(含50) 25 75 100
合计 65 135 200
(1)试根据 = 0.05的 2独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？( 2精确到0.001)
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再
从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为 ，求 的分布列和
数学期望．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2
( )
参考公式及数据： 2 = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， = ， ⊥ ，
= 1， = 2， = = √ 5．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；

(3)在棱 上是否存在点 ，使得 //平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．

19.(本小题17分)
新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅读并理解题目所给予的信息，根
据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题：
(1)在高等数学中，我们将 = ( )在 = 0处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为： ( ) = ( 0) +
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( )
″( ) ( )
′( 0)( ) +
0
0 ( 0)
2 + + 0 ( ) + ，(其中 ( )( )表示 ( )的 次导数 ≥ 3， ∈
2! ! 0
)，以上公式我们称为函数 ( )在 = 0处的泰勒展开式，当 0 = 0时泰勒展开式也称为麦克劳林公式，
1 1 1
比如 在 = 0处的麦克劳林公式为： = 1 + + 2 + 2 + + + ，由此当 ≥ 0时，可以非
2! 3! !
1
常容易得到不等式 ≥ 1 + ， ≥ 1 + + 2，
1 1
≥ 1 + + 2 + 3，…，请利用上述公式和所学知
2 2 6
识写出 = 在 = 0处的泰勒展开式；(写出展开式的前三项即可)
(2)设 为正整数，数列 1， 2，…， 4 +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项 和 ( < )后剩余的
4 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 1， 2，…， 4 +2是( , )一可分数
列.请写出所有的( , )，1 ≤ < ≤ 6，使数列 1， 2，…， 6是( , )—可分数列．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(0, 2)
13.【答案】2
14.【答案】1；121
1 1 9
15.【答案】解：(1) ′( ) = + 2 + ，则 ′(2) = + 2 × 2 + = + ，
2 2
9 2
由题意可得( + ) × ( ) = 1，解得 = 3；
2 3
(2)由 = 3，故 ( ) = + 2 3 + 2，
1 2 2 3 +1 (2 1)( 1)
则 ′( ) = + 2 3 = = ， > 0，

1 1
故当0 < < 时， ′( ) > 0，当 < < 1时， ′( ) < 0，当 > 1时， ′( ) > 0，
2 2
1 1
故 ( )的单调递增区间为(0, )、(1,+∞)， ( )的单调递减区间为( , 1)，
2 2
1 1 1 1 3
故 ( )有极大值 ( ) = ln + ( )2 3 × + 2 = 2，
2 2 2 2 4
有极小值 (1) = 1 + 12 3 × 1 + 2 = 0．
16.【答案】解：(1) + (2 + ) = 0，根据正弦定理可得 + (2 + ) = 0．
∴ + + 2 = 0，∴ sin( + ) + 2 = 0．
1
∵ + + = ，∴ + 2 = 0，又 ≠ 0，∴ = ，
2
2
又 ∈ (0, )，∴ = ．
3
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2
(2) ∵ = 3, = ,△ 的面积为3√ 3，
3
1 1 2
∴ = 3√ 3，即 × 3 = 3√ 3，解得 = 4．
2 2 3
1
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 = 9 + 16 2 × 3 × 4 × ( ) = 37，∴ = √ 37．
2
17.【答案】解：(1)零假设 0：周平均锻炼时长与年龄无关联．
2
2 200(40×75 25×60)由2 × 2列联表中的数据，可得 = ≈ 5.128，
100×100×65×135
∴ 2 ≈ 5.128 > 0.05 = 3.841，
根据小概率值 = 0.05的独立性检验，我们推断 0不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
所以50岁以下和50岁以上(含50)周平均锻炼时长有差异．
40 60
(2)抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有5 × = 2人，不少于4小时的有5 × = 3人，
100 100
所以 所有可能的取值为1，2，3，
1 2 3 2 1 3 3 0
所以 ( = 1) = 3 2 = ， ( = 2) = 3 2
1
3 3 = ， ( = 3) =
3 2
3 = ， 10 5 105 5 5
所以随机变量 的分布列为：
1 2 3
3 3 1

10 510
3 3 1 9
随机变量 的数学期望 ( ) = 1 × + 2 × + 3 × = ．
10 5 10 5
18.【答案】(1)证明：∵平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
且 ⊥ ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，
又 ⊥ ，且 ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)解：取 中点为 ，连接 ， ，
∵ = = √ 5，
∴ ⊥ ，
又∵ = ，
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∴ ⊥ ．
∵平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
且 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则 (0,0,1)， (1,1,0)， (0, 1,0)， (2,0,0)，
则 = (1,1, 1), = (0, 1, 1)， = (2,0, 1)，
设 = ( 0, 0, 0)为平面 的法向量，
则由{
= 0 0 = 0 1，得{ 0 ，令 0 = 1，则 = ( , 1,1)．
= 0 2 0 0 = 0 2
设 与平面 的夹角为 ，则
1

1 12 √ 3 = |cos < , > | = | | = | | =
| || | 1 3 ； √ +1+1×√ 3
4

(3)解：假设存在 点使得 //平面 ，设 = ∈ (0,1)， (0, 1, 1)，
由(2)知， (0,1,0)， (0,0,1)， = (0, 1,1)， (1,1,0)， = (0, 1 1, 1)，
则有 = ，可得 (0,1 , )，
∴ = ( 1, , )，
1
∵ //平面 ， = ( , 1,1)为平面 的法向量，
2
∴
1 1
= 0，即 + + = 0，解得 = ．
2 4
1
综上，存在点 ，即当 = 时， 点即为所求．
4
19.【答案】解：(1)由于( )′ = ，( )′ = ，( )′ = ，
( )′ = ，其中 0 = 0， 0 = 1，
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因此 = 在 = 0处的泰勒展开式为：
1
1 1 ( 1)
= 3 + 5 + + 2 1 + ．
3! 5! (2 1)!
(2)根据题意可知，问题相当于从1，2，3，4，5，6中取出两个数 和 ( < )，
使得剩下四个数是等差数列．
所以剩下四个数只能是3，4，5，6或1，2，3，4或2，3，4，5．
因此所有可能的( , )就是(1,6)，(5,6)，(1,2)．
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