2024-2025学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过点，，，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.关于空间向量，，，下列运算错误的是( )
A. B.
C. D.
3.已知椭圆：的离心率为，且过点，则的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，若，，共面，则( )
A. B. C. D.
5.一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆：，过点的直线交于，两点，且是的中点，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
7.如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知，若直线上存在点，使得，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：的离心率为，则的值可以为( )
A. B. C. D.
10.圆：和圆：的交点为，，点在圆上，点在圆上，则( )
A. 直线的方程为 B. 线段的中垂线方程为
C. D. 点与点之间的距离的最大值为
11.若平面，平面，平面，则称点为点在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，，记平面为，平面为，，，( )
A. 若，则
B. 存在点，使得平面
C. 线段长度的最小值是
D. 存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线：与：互相垂直，则 ______．
13.如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 ______．
14.已知圆：，椭圆：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，，，，记的外接圆为圆．
求圆的标准方程；
求过点且与圆相切的直线的方程．
16.本小题分
如图，长方体的底面是正方形，，，分别为，，的中点，．
证明：平面．
求二面角的余弦值．
17.本小题分
在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为．
求的方程．
直线：与交于，两点点，不重合．
求的取值范围；
若，求．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，，平面平面．
证明：．
点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家他的著作圆锥曲线论是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值，则点的轨迹就是阿氏圆，记为．
求的方程；
若与轴分别交于，两点，不在轴上的点是直线：上的动点，直线，与的另一个交点分别为，，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案
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15.解：方法一，，，则直线的方程为，
线段的中点为，则线段的中垂线方程为，
，，
则直线的方程为，、的中点为，
线段的中垂线方程为．
直线与直线的交点为，即圆的圆心为．
点与点的距离即圆的半径为：，
则圆的标准方程为．
方法二设圆的标准方程为，
则，，解得，
故圆的标准方程为
圆的圆心为，，直线的斜率为，
则切线斜率为，所求切线方程为，
整理得．
16.解：证明：设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，则，
又，
因为，
所以，
平面，
所以平面．
易知为平面的一个法向量，且．
，
易得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
17.解：设，则，又在圆上，
所以，所以，
所以的方程为；
联立，可得，
因为直线：与交于，两点点，不重合，
所以，解得，
所以的取值范围为；
当时，，解得，
故．
18.解：证明：取的中点，连接，．
因为为等边三角形，所以．
因为为等腰直角三角形，且，所以．
因为平面，平面，，所以平面，
因为平面，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设，
则．
设平面的法向量为，则，，
则，即，
令，则，，所以．
设直线与平面所成的角为，
则
，
当且仅当时，等号成立．
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19.解：设，根据，
得，即，
所以的方程为；
根据圆的对称性，不妨设，，
设，则，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
设，，
联立方程得，
所以，即，
则，所以，
联立方程得，
所以，即，
则，所以，
当时，，
所以直线的方程为，
化简得，所以直线过定点，
当时，，此时直线过定点，
综上，直线过定点．
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