2024-2025学年云南省长水教育集团高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省长水教育集团高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.“，”成立的充分必要条件是( )
A. B. C. D.
3.国家射击运动员在某次训练中的次射击成绩单位：环分别为，，，，，，，，其中为整数，若这次射击成绩的中位数为，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.设向量与的夹角为，定义，已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列的首项，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
8.设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，在复平面内对应的点为，则( )
A. B.
C. 的虚部为 D. 点在直线上
10.设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，函数的图象的一条对称轴为
B. 已知，，且的最小值为，则
C. 当时，函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数
D. 若在区间上单调递增，则的取值范围是
11.已知函数的极值点，则( )
A. 是的极小值点 B. 有三个零点
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.已知抛物线的焦点为，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，过作轴，交准线于点，则的面积为______．
14.已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求；
若，，求．
提示：
16.本小题分
如图，长方体中，点，分别在，上，且，D.
求证：平面；
当，时，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
讨论函数在区间上的单调性；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．
求点的轨迹的方程；
过的直线与曲线交右支于、两点在轴上方，曲线与轴左、右交点分别为、，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．
19.本小题分
现有枚质地不同的游戏币，，，，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏．
甲将游戏币向上抛出次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大直接写出结果，不用写过程；
甲将游戏币，，向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列；
将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．
参考答案
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15.解：因为，
所以由正弦定理得：，
即，
所以由余弦定理得：，
因为，所以；
由可知：，，，
由正弦定理得，所以，
所以，，
所以，
因为，
所以由正弦定理得：，
所以．
16.解：证明：因为平面，平面，所以，
又且，，平面，所以平面，
且平面，故AE，同理，，
，平面，，
所以平面．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
在平面中，，
设平面的一个法向量为，
则，可取，
由知，平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
故所求的夹角的余弦值为．
17.解：，
解得，
因为，所以，
当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增；
，
当时，由可得不成立，
当时，，
令恒成立，
故在单调递减，
所以，
所以的取值范围为．
18.解：设，由题意可得为到定直线的距离，
即有，
两边平方，化简可得，
即点的轨迹的方程为；
由双曲线的方程可得，，又，
设直线的方程为，
与双曲线的方程联立，可得，
设，，，，可得，，
即有，
则，
则为定值．
19.解：由题意可知，，
，
当时，最大；
记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，
则，可取，，，，
则，
，
，
，
故的分布列为：
不妨假设按照，，，的顺序抛这枚游戏币，
记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，，，，，
于是，
即，即，
记，则，
故数列为首项是，公差为的等差数列，
故，
则，
故，
则，因此公平．
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