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期末专项02 轴对称以及等腰三角形
题型01 轴对称图形的认识
题型02 轴对称的性质
题型03 轴对称变换（作图）
题型04 轴对称中的最短路线问题（难点）
题型05 等腰三角形的性质（常考）
题型06 等腰三角形的判定
题型07 等腰三角形的判定与性质（综合）
题型01 轴对称图形的认识
1．（2023秋 桐乡市期末）下列汽车标志中，不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 义乌市期末）以下是一部分运动项目的图片，其中属于轴对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（2023秋 松阳县期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
4．（2023秋 宁波期末）下列图形是轴对称图形的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2023秋 婺城区期末）下列“祝你成功”的首拼字母中，属于轴对称图形的是
A． B． C． D．
6．（2023秋 镇海区校级期末）宁波以“书藏古今，港通天下”闻名中外，以下这些属于宁波的打卡点宣传图中，属于轴对称图形的是
A． B．
C． D．
题型02 轴对称的性质
1．（2023秋 嵊州市期末）如图，与△关于直线对称，，，则度数为
A． B． C． D．
2．（2023秋 上城区期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ．
3．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，在中，点，分别在边，上，点与点关于直线对称．若，，，则的周长为 ．
4．（2023秋 瓯海区校级期末）如图，点是外一点，点，分别是，上的点，点关于的对称点落在线段的延长线上，点关于的对称点恰巧落在上．若，，，则线段的长为 ．
题型03 轴对称变换（作图）
1．（2023秋 台州期末）如图，在正方形网格中，点，，均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由．
（1）如图1，作出关于直线对称的图形；
（2）如图2，在直线上求作点，使得．
2．（2023秋 婺城区期末）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）．
3．（2023秋 舟山期末）如图，小李同学在学面直角坐标系后，在直角坐标系中画了一只可爱的“小猫”．
（1）请在这个直角坐标系中再画一只“小猫”，使得新画的“小猫”与原图案关于轴对称；
（2）分别写出新图案“小猫”耳尖位置的坐标．
4．（2023秋 衢州期末）如图，在单位长度1的正方形网格中有一个．
（1）请画出关于直线成轴对称的图形△．
（2）若此时的坐标为，则点的坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标．
5．（2023秋 长兴县期末）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为：，，．
（1）画出关于轴对称的△；
（2）求的面积．
题型04 轴对称中的最短路线问题
1．（2023秋 宁波期末）如图，在中，，，，点为上一点，点、分别是点关于、的对称点，则的最小值是
A．2 B． C． D．4
2．（2023秋 奉化区期末）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 ．
3．（2023秋 衢州期末）如图，在中，，、分别是线段和上的两个动点，则的最小值为 ．
题型05 等腰三角形的性质
1．（2023秋 滨江区期末）等腰三角形的一个外角是，则其底角等于
A． B． C． D．或
2．（2023秋 婺城区期末）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2023秋 浦江县期末）已知等腰一边长为3，另一边长是化简的结果，则该三角形的周长是
A．15 B．21 C．15或21 D．15或12
4．（2023秋 台州期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是
A． B． C． D．
5．（2023秋 义乌市期末）已知一个等腰三角形的其中两边长分别为，，且满足，则这个等腰三角形的周长为
A．12 B．15 C．18 D．12或15
6．（2023秋 宁波期末）如图，在中，，，为延长线上一点，与的平分线相交于点．则的度数为
A． B． C． D．
7．（2023秋 衢江区期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则该等腰三角形的周长为
A．15 B．12 C．12或15 D．9或15
8．（2023秋 温岭市期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是
A． B． C． D．
9．（2023秋 路桥区期末）如图，已知四边形的边长分别为3，4，2，2，当△为等腰三角形时，对角线的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2023秋 宁波期末）如图，在中，，，是边上的一个动点（不与顶点重合），则的度数可能是
A． B． C． D．
11．（2023秋 桐乡市期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的度数为
A． B． C． D．
12．（2023秋 柯桥区期末）等腰三角形中，则 ．
13．（2023秋 滨江区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是 ．
14．（2023秋 舟山期末）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则 ．
15．（2023秋 嵊州市期末）如图，在中，，是边上的高线，若，则的度数为 ．
16．（2023秋 北仑区期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为3，则的周长为 ．
17．（2023秋 鄞州区校级期末）定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作，若等腰中，，则它的特征值 ．
18．（2022秋 上城区期末）如图，在中，，，是角平分线，，交于点，则 ．
19．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，在中，，点在边上（不与，重合），连接，．
（1）设，．
①当时，求．
②请求出与的数量关系．
（2）若，，求的长．
20．（2023秋 余姚市期末）如图，在中，，，点在边上，．（1）求的面积；
（2）求的长．
21．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，为中点，求的长．
题型06 等腰三角形的判定
1．（2023秋 西湖区期末）中，是中线，点到，的距离相等，则一定是
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．（2023秋 慈溪市期末）下列各组线段中，能构成等腰三角形的是
A．1，1，2 B．2，2，4 C．3，3，5 D．3，4，5
3．（2023秋 杭州期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是
A．12个 B．16个 C．20个 D．24个
4．（2023秋 开化县期末）在中，，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使为等腰三角形，下列作法不正确的是
A． B．
C． D．
5．（2023秋 南浔区期末）如图，中，的角平分线交于点，过点作 交于点，
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
6．（2022秋 拱墅区期末）如图，在中，，，是的平分线交于点，
（1）求的度数；
（2）过点作，交的延长交于点．
①求证：是等腰三角形；
②判断：是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．
题型07 等腰三角形的判定与性质
1．（2023秋 西湖区期末）在中，，点在上，且，取边上的中点，连接，则 ．
A．18 B．36 C．54 D．72
2．（2023秋 柯桥区期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是
A． B． C． D．
3．（2022秋 鄞州区校级期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，，则的面积是
A．10 B．5 C． D．
4．（2022秋 金华期末）如图，在中，过点作的角平分线的垂线，垂足为，交于点，若，则线段的长为 ．
5．（2022秋 德清县期末）如图1，已知平分，．
（1）求证：；
（2）作的平分线，分别交，于，两点（如图，若，，求的长．
6．（2023秋 东阳市期末）在中，是高，，是角平分线，交于点，，．
（1）求的大小；
（2）求证：．
7．（2023秋 长兴县期末）如图，在△中，，过的延长线上一点，作，垂足为，交边于点．
（1）求证：△是等腰三角形；
（2）若，，为的中点，求的长．
8．（2022秋 鄞州区校级期末）（1）如图1，中，作、的角平分线相交于点，过点作分别交、于、．
①求证：；
②若 的周长是25，，试求出的周长；
（2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点，连接，试探求 与的数量关系式．中小学教育资源及组卷应用平台
期末专项02 轴对称以及等腰三角形
题型01 轴对称图形的认识
题型02 轴对称的性质
题型03 轴对称变换（作图）
题型04 轴对称中的最短路线问题（难点）
题型05 等腰三角形的性质（常考）
题型06 等腰三角形的判定
题型07 等腰三角形的判定与性质（综合）
题型01 轴对称图形的认识
1．（2023秋 桐乡市期末）下列汽车标志中，不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选．
2．（2023秋 义乌市期末）以下是一部分运动项目的图片，其中属于轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．不是轴对称图形，故错误，不符合题意；
．是轴对称图形，故正确，符合题意；
．不是轴对称图形，故错误，不符合题意；
．不是轴对称图形，故错误，不符合题意．
故选．
3．（2023秋 松阳县期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】沿着一条直线折叠，直线两边的部分能完全重合的图形为轴对称图形，
为轴对称图形，
故选．
4．（2023秋 宁波期末）下列图形是轴对称图形的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】
【解析】这五个图形都是轴对称图形．
故选．
5．（2023秋 婺城区期末）下列“祝你成功”的首拼字母中，属于轴对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
．是轴对称图形，故本选项符合题意；
．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选．
6．（2023秋 镇海区校级期末）宁波以“书藏古今，港通天下”闻名中外，以下这些属于宁波的打卡点宣传图中，属于轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、、选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选．
题型02 轴对称的性质
1．（2023秋 嵊州市期末）如图，与△关于直线对称，，，则度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】和△关于直线对称，，
，
又，
，
故选．
2．（2023秋 上城区期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ．
【答案】．
【解析】与关于所在直线为对称，
，，
又，
，
．
故答案为：．
3．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，在中，点，分别在边，上，点与点关于直线对称．若，，，则的周长为 11 ．
【答案】11．
【解析】点与点关于直线对称，
，，，
，
，
，，，
，
的周长．
故答案为：11．
4．（2023秋 瓯海区校级期末）如图，点是外一点，点，分别是，上的点，点关于的对称点落在线段的延长线上，点关于的对称点恰巧落在上．若，，，则线段的长为 7 ．
【答案】7．
【解析】根据题意，得，，，
故，
故，
故答案为：7．
题型03 轴对称变换（作图）
1．（2023秋 台州期末）如图，在正方形网格中，点，，均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由．
（1）如图1，作出关于直线对称的图形；
（2）如图2，在直线上求作点，使得．
【解析】（1）如图所示，△即为所求；
（2）如图所示，点即为所求．
2．（2023秋 婺城区期末）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）．
【解析】如图，
3．（2023秋 舟山期末）如图，小李同学在学面直角坐标系后，在直角坐标系中画了一只可爱的“小猫”．
（1）请在这个直角坐标系中再画一只“小猫”，使得新画的“小猫”与原图案关于轴对称；
（2）分别写出新图案“小猫”耳尖位置的坐标．
【解析】（1）如图所示：
（2）由图可知：
新图案“小猫”耳尖位置的坐标为：，
4．（2023秋 衢州期末）如图，在单位长度1的正方形网格中有一个．
（1）请画出关于直线成轴对称的图形△．
（2）若此时的坐标为，则点的坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标．
【解析】（1）如图所示，△即为所求；
（2）如图，
由图可知：．
5．（2023秋 长兴县期末）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为：，，．
（1）画出关于轴对称的△；
（2）求的面积．
【解析】（1）如图，△即为所求．
（2）的面积为．
题型04 轴对称中的最短路线问题
1．（2023秋 宁波期末）如图，在中，，，，点为上一点，点、分别是点关于、的对称点，则的最小值是
A．2 B． C． D．4
【答案】
【解析】连接、、，
点、关于轴对称，
，
同理，，
，
点、、在以点为圆心、以为半径的圆上，
由对称轴可知：，
为等腰直角三角形，
，
点在上，
当取得最小值，即时，取得最小值，
当时， ，
的最小值是．
故选．
2．（2023秋 奉化区期末）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 ．
【答案】．
【解析】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，
，，
，
，
，
故答案为．
3．（2023秋 衢州期末）如图，在中，，、分别是线段和上的两个动点，则的最小值为 9 ．
【答案】9．
【解析】作点关于的对称点，过点作于点，
则，，
取得最小值，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，即的最小值为9，
故答案为：9．
题型05 等腰三角形的性质
1．（2023秋 滨江区期末）等腰三角形的一个外角是，则其底角等于
A． B． C． D．或
【答案】
【解析】等腰三角形的一个外角为，
相邻角为，
三角形的底角不能为钝角，
角为顶角，
底角为：．
故答案为：．
2．（2023秋 婺城区期末）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】
【解析】因为等腰三角形的周长为10，其腰长为4，
所以它的底边长为．
故选．
3．（2023秋 浦江县期末）已知等腰一边长为3，另一边长是化简的结果，则该三角形的周长是
A．15 B．21 C．15或21 D．15或12
【答案】
【解析】，
等腰三角形的一边长为3，另一边长为9，
有两种情况：
①3为底，9为腰，那么，
则三角形的周长；
②9为底，3为腰，那么，不符合题意，
该三角形的周长是21．
故选．
4．（2023秋 台州期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
又，
，
，
，
故选．
5．（2023秋 义乌市期末）已知一个等腰三角形的其中两边长分别为，，且满足，则这个等腰三角形的周长为
A．12 B．15 C．18 D．12或15
【答案】
【解析】，
，，
解得，，
当3为腰长，6为底边长时，三条边长为3，3，6，而，不符合三角形三边关系，即这种情况不存在；
当6为腰长，3为底边长时，三条边长为3，6，6，符合三角形三边关系，
周长为，
故选．
6．（2023秋 宁波期末）如图，在中，，，为延长线上一点，与的平分线相交于点．则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
的平分线与的平分线交于点，
，，
，
，
，
．
故选．
7．（2023秋 衢江区期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则该等腰三角形的周长为
A．15 B．12 C．12或15 D．9或15
【答案】
【解析】当腰为3时，，
、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，，
、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为．
故选．
8．（2023秋 温岭市期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，，
，
，
，
，
，
故选．
9．（2023秋 路桥区期末）如图，已知四边形的边长分别为3，4，2，2，当△为等腰三角形时，对角线的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【解析】△为等腰三角形，
可有或，
当时，△的三边长分别为2，2，3，符合题意；
当时，△的三边长分别为2，2，4，
，
不能构成三角形，不符合题意．
综上所述，对角线的长为3．
故选．
10．（2023秋 宁波期末）如图，在中，，，是边上的一个动点（不与顶点重合），则的度数可能是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】，
，
，
，
，
，
，
，
故选．
11．（2023秋 桐乡市期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
的垂直平分线交于，
，
，
，
．
故选．
12．（2023秋 柯桥区期末）等腰三角形中，则 或或 ．
【答案】或或．
【解析】已知等腰中，，
若是顶角，则，
所以；
若是顶角，则，
所以；
若是顶角，则．
故为或或，
故答案为：或或．
13．（2023秋 滨江区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是 或 ．
【答案】或．
【解析】（1）当顶角是锐角时，如图△．
是△的高线，
．
，，
．
即当顶角是锐角时，顶角的度数是．
（2）当顶角是钝角时，如图△．
为△的高线，
．
，，
．
即当顶角是钝角时，顶角的度数是．
综上可知，等腰三角形的顶角为或．
故答案为：或．
14．（2023秋 舟山期末）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则 ．
【答案】．
【解析】，，
，
垂直平分，
，
，
，
故答案为：．
15．（2023秋 嵊州市期末）如图，在中，，是边上的高线，若，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】，，
，
，
解得，
，
，
故答案为：．
16．（2023秋 北仑区期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为3，则的周长为 12或8 ．
【答案】12或8．
【解析】如果底边长是3，
若两腰的和是3的三倍，即为9，满足三角形三边关系定理，则的周长是，
若腰与底边的和是腰长的三倍，求出腰长是1.5，不满足三角形三边关系定理；
如果腰长是3，
若两腰的和是底边的三倍，底边长是2，满足三角形三边关系定理，则的周长是，
若腰与底边的和是腰长的三倍，求出底边长是6，不满足三角形三边关系定理，
的周长为12或8．
故答案为：12或8．
17．（2023秋 鄞州区校级期末）定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作，若等腰中，，则它的特征值 或 ．
【答案】或．
【解析】当为顶角时，则底角；
此时，特征值；
当为底角时，则顶角为；
此时，特征值；
故答案为：或．
18．（2022秋 上城区期末）如图，在中，，，是角平分线，，交于点，则 25 ．
【答案】25．
【解析】，，
，
是角平分线，
，
，
，
故答案为：25．
19．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，在中，，点在边上（不与，重合），连接，．
（1）设，．
①当时，求．
②请求出与的数量关系．
（2）若，，求的长．
【解析】（1）①，
，
，
，
，
；
②，
，
，
又，
，
，
，
即；
（2）过点作于点，于点，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
．
20．（2023秋 余姚市期末）如图，在中，，，点在边上，．（1）求的面积；
（2）求的长．
【解析】（1）过点作于点，
，，
是的中点，
，，
，
，
的面积；
（2）解法一：过点作于点，
，
，
的面积；
，
，
．
解法二：过点作于点，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
．
21．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，为中点，求的长．
【解析】（1）证明：，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，垂足为，
，
，，
，
为中点，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
的长为8．
题型06 等腰三角形的判定
1．（2023秋 西湖区期末）中，是中线，点到，的距离相等，则一定是
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】
【解析】是中线，
，
到，的距离相等，
，
一定是等腰三角形，
故选．
2．（2023秋 慈溪市期末）下列各组线段中，能构成等腰三角形的是
A．1，1，2 B．2，2，4 C．3，3，5 D．3，4，5
【答案】
【解析】对于选项，
，
长度为1，1，2的三条线段不能构成三角形，
故选项不符合题意；
对于选项，
，
长度为2，2，4的三条线段不能构成三角形，
故选项不符合题意；
对于选项，
，
长度为3，3，5的三条线段能构成等腰三角形，
故选项符合题意；
对于选项，
，，
长度为3，4，5的三条线段不能构成等腰三角形，
故选项不符合题意．
故选．
3．（2023秋 杭州期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是
A．12个 B．16个 C．20个 D．24个
【答案】
【解析】连接，，．
类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个．
故选．
4．（2023秋 开化县期末）在中，，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使为等腰三角形，下列作法不正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】对于选项，由尺规作图可知：，
为等腰三角形，
故选项的作法能使为等腰三角形，不符合题意；
对于选项，由尺规作图可知：点在线段的垂直平分线上，
，则为等腰三角形，
故选项的作法能使为等腰三角形，不符合题意；
对于选项，由尺规作图可知：点是线段的中点，
是直角三角形，且，
，则为等腰三角形，
故选项的作法能使为等腰三角形，不符合题意；
对于选项，由尺规作图可知：是的平分线，
只有当时，是等腰三角形，
故选项的作法不能使为等腰三角形，符合题意．
故选．
5．（2023秋 南浔区期末）如图，中，的角平分线交于点，过点作 交于点，
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
【解析】（1）证明：平分，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，，
，
平分，
，
由（1）知．
6．（2022秋 拱墅区期末）如图，在中，，，是的平分线交于点，
（1）求的度数；
（2）过点作，交的延长交于点．
①求证：是等腰三角形；
②判断：是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．
【解析】（1）解：，
，
是的平分线
，
；
（2）①证明：
，
，，
，
，
，
即是等腰三角形；
②解：结论：是等腰三角形．
理由：是的平分线，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
题型07 等腰三角形的判定与性质
1．（2023秋 西湖区期末）在中，，点在上，且，取边上的中点，连接，则 ．
A．18 B．36 C．54 D．72
【答案】
【解析】如图，
，
，，
，
，
，
，
，
，是边的中点，
，
，
，
故选．
2．（2023秋 柯桥区期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，，
，
，
，
，
．
故选．
3．（2022秋 鄞州区校级期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点，．若，，则的面积是
A．10 B．5 C． D．
【答案】
【解析】是边上的中线，
，
，
，
根据勾股定理得：，
的面积为，
是的中线，
，
，，，
，
是的中线，
，
，
，，
，
，
．
故选．
4．（2022秋 金华期末）如图，在中，过点作的角平分线的垂线，垂足为，交于点，若，则线段的长为 2 ．
【答案】2．
【解析】延长交于，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
5．（2022秋 德清县期末）如图1，已知平分，．
（1）求证：；
（2）作的平分线，分别交，于，两点（如图，若，，求的长．
【解析】（1）证明：，
，
平分，
，
，
．
（2）解：，平分，
，
，平分，
，
．
6．（2023秋 东阳市期末）在中，是高，，是角平分线，交于点，，．
（1）求的大小；
（2）求证：．
【解析】（1）解：，，
，
，分别是和平分线，
，，
；
（2）证明：，
，
，
，
．
7．（2023秋 长兴县期末）如图，在△中，，过的延长线上一点，作，垂足为，交边于点．
（1）求证：△是等腰三角形；
（2）若，，为的中点，求的长．
【解析】（1）证明：在△中，，
，
，
，，
，
又，
，
△ 是等腰三角形；
（2）为的中点，
，
△是等腰三角形，
，
，
，
答：的长为12．
8．（2022秋 鄞州区校级期末）（1）如图1，中，作、的角平分线相交于点，过点作分别交、于、．
①求证：；
②若 的周长是25，，试求出的周长；
（2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点，连接，试探求 与的数量关系式．
【解析】（1）①平分，
，
，
，
，
；
②的周长；
（2）解：延长，做，，，
平分，
，，
平分，
，，
，
，
，
，
．
