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期末专项01 三角形（十大模型）
题型01 认识三角形
题型02 三角形的三边关系
题型03 三角形的内角和定理与外角性质
题型04 定义与命题
题型05 全等三角形的判定（高频）
题型06 全等三角形的性质
题型07 全等三角形的判定与性质（综合）
题型08 全等三角形的应用
题型09 角平分线与线段垂直平分线的性质
题型10 尺规作图及其应用
题型01认识三角形
1．（2023秋 柯桥区期末）如图，在中，，．动点从点出发，沿边，向点运动．在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是
A．直角三角形等边三角形直角三角形等边三角形直角三角形
B．等腰三角形直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形
C．直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形
D．等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形
【答案】
【解析】在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形，
故选．
2．（2023秋 鄞州区校级期末）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，，都不是的边上的高，
故选．
3．（2023秋 义乌市期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
【答案】
【解析】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选．
4．（2023秋 衢州期末）如图，和分别是的角平分线和高线，已知，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
和分别是的角平分线和高线，
，，
，
；
故选．
5．（2023秋 路桥区期末）如图，在中，中线，交于点，连接，若的面积为2，则的面积是
A．20 B．24 C．28 D．32
【答案】
【解析】在中，中线，交于点，
，，
，（同高三角形的面积比等于底边的比），
，
是的中线，
；
故选．
6．（2023秋 奉化区期末）如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】
【解析】平分，平分，
，，
，
；
①当时
，
平分，
，
，
，
；
②当时，
，
，
此种情况不成立；
③当时，
设，
，
，
，
，
；
④当时，
设，
，
，
此种情况不成立；
综上所述，的度数为或；
故选．
7．（2023秋 江北区期末）如图，活动衣架可以伸缩自如，是利用了四边形的 不稳定 性质．
【答案】不稳定．
【解析】活动衣架可以伸缩自如，是利用了四边形的不稳定性质，
故答案为：不稳定．
8．（2023秋 奉化区期末）在△中，为边的中点，点在边上，，、交于点，若△的面积为26，则 3 ．
【答案】3．
【解析】点为的中点，
，
，
，
．
故答案为：3．
9．（2023秋 浦江县期末）如图，在中，是边上的中线，，，，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ．
【答案】．
【解析】是边上的中线，
，
，，，
，
即，
，
，
即与的长度之比是，
故答案为：．
题型02 三角形的三边关系
1．（2023秋 台州期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】
【解析】三角形两边的长分别是3和5，
第三边的取值范围为：第三边，即第三边，
符合题意．
故选．
2．（2023秋 柯桥区期末）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】
【解析】、，不能组成三角形，不符合题意；
、，不能组成三角形，不符合题意；
、，能组成三角形，符合题意；
、，不能组成三角形，不符合题意．
故选．
3．（2023秋 海曙区期末）现有长度分别是和的两根木棒，如果不改变木棒的长度，要将木棒首尾顺次相接钉成一个三角形木架，那么在下列长度的木棒中不能选取的是
A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒
【答案】
【解析】设第三根木棒的长为，
则，即．
故选．
4．（2023秋 桐乡市期末）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得 米，米，那么，间的距离不可能是
A．6米 B．8.7米 C．27米 D．18米
【答案】
【解析】由三角形三边关系定理得：，
，
，间的距离不可能是27米．
故选．
5．（2023秋 鄞州区期末）若一个三角形的两边长分别为3和6，则该三角形的周长可能是
A．18 B．15 C．12 D．10
【答案】
【解析】设这个三角形的第三边是，周长是，
，
，
，
，
该三角形的周长可能是15．
故选．
6．（2023秋 东阳市期末）一个三角形的两边长分别是7和5，则第三边长可以是 10 ．（只填一个即可）
【答案】10（答案不唯一，大于2且小于12之间的数均可）
【解析】设第三边长为，由题意得：
，
则，
故答案为：10（答案不唯一，大于2且小于12之间的数均可）．
题型03 三角形的内角和定理与外角性质
1．（2023秋 瓯海区校级期末）在△中，若，，则该三角形是
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】
【解析】，
又，，
，
△是直角三角形，
故选．
2．（2023秋 上城区期末）将一副三角板按照如图方式摆放，点、、共线，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
．
又是△的外角，
．
故选．
3．（2023秋 上虞区期末）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得：，
则，
故选．
4．（2023秋 樊城区期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】，
，
故选．
5．（2023秋 海曙区校级期末）已知，在△中，，则△是 直角 三角形．
【答案】直角．
【解析】，，
．
．
故答案为：直角．
6．（2023秋 镇海区校级期末）在△中，已知，那么△是 直角 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角” ．
【答案】直角．
【解析】设，则，，
，
，
，
，，，
故答案为：直角．
7．（2023秋 衢江区期末）在△中，，，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】，，
，
故答案为：．
8．如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 ．
【答案】．
【解析】如图，延长交于点，
，
，
．
故答案为：．
9．（2023秋 松阳县期末）用一副三角板拼出如图所示的图形，则的度数是 ．
【答案】．
【解析】是的外角，
．
故答案为：．
10．（2023秋 鄞州区期末）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】如图，连接，作于点，于点，于点，
平分，平分，
，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
将纸片沿折叠，
，
，
，
．
故答案为：．
11．（2023秋 路桥区期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，求的度数．
【答案】．
【解析】平分，，
，
，
，
．
12．（2023秋 义乌市期末）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点．已知，，求和的度数．
【答案】，．
【解析】，，
，即，
是边上的高线，
，
，
，
，
是平分，
．
13．（2023秋 滨江区期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．
（1）若，，求的度数．
（2）若，，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）．
【解析】（1）是的高线，
，
，，
，
，
是的角平分线，
，
；
（2）是的高线，
，
，，
，
，
是的角平分线，
，
．
题型04 定义与命题
1．（2023秋 金东区期末）下列说法正确的是
A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题
C．定理都是真命题 D．基本事实不一定是真命题
【答案】
【解析】、命题有真命题与假命题，所以选项错误；
、不正确的判断是假命题，所以选项错误；
、定理都是经过推论、论证得到的真命题，所以选项正确；
、基本事实是真命题，所以选项错误．
故选．
2．（2023秋 吴兴区期末）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】对于命题“若，则”，能说明它属于假命题的反例是，，，但，
故选．
3．（2023秋 开化县期末）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】结论：“若，则”是假命题，
理由：当时，，但是，
故选．
4．（2023秋 海曙区校级期末）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【解析】、是锐角，不符合题意；
、与是两个锐角，不符合题意；
、是锐角，不符合题意；
、是钝角，符合题意．
故选．
5．（2023秋 滨江区校级期末）下列命题的逆命题是真命题的是
A．若，则 B．等边三角形是锐角三角形
C．相等的角是对顶角 D．全等三角形的面积相等
【答案】．
【解析】、其逆命题是“若，则，错误，故是假命题；
、其逆命题是“锐角三角形是等边三角形”错误，故是假命题；
、其逆命题是“对顶角相等”正确，是真命题；
、其逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，错误，故是假命题．
故选．
6．（2023秋 宁波期末）下列命题的逆命题是假命题的是
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．对顶角相等
C．等边三角形的三个内角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【答案】．
【解析】、有两个角相等的三角形是等腰三角形的逆命题为等腰三角形的两底角相等，此逆命题为真命题；
、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；
、等边三角形的三个内角相等的逆命题为三个内角相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题；
、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题为到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，此逆命题为真命题．
故选．
7．（2023秋 吴兴区期末）命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是 假 命题（填“真”或“假”
【答案】假．
【解析】面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
8．（2023秋 海曙区期末）命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是 真 命题（填“真”或“假” ．
【答案】真．
【解析】命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，为真命题，
故答案为：真．
9．（2023秋 余姚市期末）说明“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是假命题，可举出的反例是 互补的两个角可以都是直角 ．
【答案】互补的两个角可以都是直角
【解析】互补的两个角可以都是直角，
说明“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是假命题，可举出的反例是“互补的两个角可以都是直角”．
10．（2023秋 宁波期末）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： 如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 ．
【答案】如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
【解析】因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
题型05 全等三角形的判定
1．（2023秋 婺城区期末）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定△△的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、添加，根据，能判定△△，
故选项不符合题意；
、添加时，不能判定△△，
故选项符合题意；
、添加，根据，能判定△△，
故选项不符合题意；
、添加，根据，能判定△△，
故选项不符合题意；
故选．
2．（2023秋 余姚市期末）如图，，点，分别在，上，补充下列一个条件后，不能判断的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、根据即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
、根据即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
、根据或即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
、不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故选．
3．（2023秋 滨江区期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是
A．， B．，
C．，， D．，，
【答案】
【解析】、中的条件没有边的长度，不能画出唯一的，故、不符合题意；
、只是知道两边的长度，还缺少两边的夹角或第三边的长度，不能画出唯一的，故不符合题意；
、已知两角和这两角的夹边，由判定能画出唯一的，故符合题意．
故选．
4．（2023秋 海曙区期末）工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺（图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】点、处的刻度相同，
，
，，
由判定．
故选．
5．（2023秋 浦江县期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是
已知：，，且，． 求证：． 证明：，， ， 又，， ， ◎．
A． B． C． D．
【答案】
【解析】证明：，，
，
，
，
在和中，
，
，
故选．
6．（2023秋 义乌市期末）如图，已知，下列条件中不能使的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
．添加，可得，根据能判定，故选项不符合题意；
．添加，利用能判定，故选项不符合题意；
．添加，利用能判定，故选项不符合题意；
．添加，只有两个条件，不能判定，故选项符合题意．
故选．
7．（2023秋 新昌县期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
【答案】
【解析】③，
．
、①②③根据“”可判断；
、②③④根据“”可判断；
、③④⑤根据“”可判断；
、①②④为两边与一边的对角对应相等，故不能判断；
故选．
8．（2023秋 建昌县期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在和中，
，
，
故选．
9．（2023秋 上城区期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
、，又，，由判定，故不符合题意；
、，和，分别是和的对角，不一定能判定，故符合题意；
、由，得到，而又，得到，由判定，故不符合题意；
、，又，，由判定，故不符合题意．
故选．
10．（2023秋 莲都区期末）如图，在与中，，，请添加一个条件： （答案不唯一） ，使．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】，，
添加条件，利用证明即可；
添加条件，得出，利用证明即可；
添加条件，利用证明即可；
故答案为：（答案不唯一）．
11．（2023秋 宁波期末）如图，点、在线段上，，，请只添加一个合适的条件使．
（1）根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ；
（2）请从（1）中选择一种，加以证明．
【解析】（1）根据“”，需添加的条件是，根据“”，需添加的条件是，
故答案为：，；
（2）选择添加条件证明，
证明：，
在和中，
，
．
12．（2023秋 婺城区期末）如图，在中，，是高和高的交点．
（1）求证：．
（2）写出图中的一对全等三角形，并给出证明．
【解析】（1）证明：是高和高的交点，
，
；
（2）解：，，
，
在与中，
，
．
题型06 全等三角形的性质
1．（2023秋 长兴县期末）如图，已知点在上，且，有同学在推出，后，还分别推出下列结论，其中错误的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，，，，，，
，
故选．
2．（2023秋 台州期末）如图，，边和在同一条直线上．若，，则长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
故选．
3．（2023秋 宁波期末）如图所示，，点与点，点与点是对应顶点，如果，，那么的度数为
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】，点与点，点与点是对应顶点，，
，
．
故选．
4．（2022秋 嘉兴期末）如图，△△，若，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】△△，，
，
在△中，，
，
故选．
5．（2022秋 鄞州区校级期末）如图，△△，，记，，当时，与之间的数量关系为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】△△，
，，
，
在△中，，
，
，
，
整理得，．
故选．
6．（2022秋 拱墅区期末）如图，，则下列说法错误的是
A． B．平行且等于
C． D．平行且等于
【答案】
【解析】，
，，，，，
，
即，
故选项不符合题意；
，
，
平行且等于，
故选项不符合题意；
没有足够的条件证明，
故选项符合题意；
，
，
平行且等于，
故选项不符合题意，
故选．
7．（2023秋 婺城区期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，，另一个三角形有一个角为，则 10 ．
【答案】10．
【解析】在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，，另一个三角形有一个角为，
或，
当，，
，
这种情况不存在，
当，，
，
故答案为：10．
8．（2023秋 衢江区期末）如图，，点恰好落在上，且，，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】，
，，，
，
．
故答案是：．
9．（2022秋 宁波期末）如图，若，且，，则 50 ．
【答案】50．
【解析】，，
，
，，
，
故答案为：50．
10．（2023秋 钱塘区期末）若，，，则 50 度．
【答案】50．
【解析】，
，
，
．
故答案为：50．
11．（2022秋 鄞州区校级期末）如图所示，已知△△，于．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长．
【解析】（1）证明：△△，
，
又，
，
；
（2）解：△△，
，
，，
，
．
题型07 全等三角形的判定与性质
1．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，在中，，，，分别为线段，上一点，且，连接、交于点，延长交于点．以下四个结论正确的是
①；
②若，则；
③连结，若，则；
④若平分，则．
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】
【解析】在和中，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中垂线上，
，
点在的中垂线上，
垂直平分，
，故①正确；
若，则，
，
，
，
又，
，故②正确；
如图，连接，
若，则，
，
，
，
又，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，故③正确，
若平分，
，
，，
，
点是角平分线的交点，
点到三边的距离为的长，
，，，
，
，
，
，故④正确；
故选．
2．（2023秋 东阳市期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则 ．
【答案】．
【解析】如图，
由图可知：，，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
3．（2023秋 衢江区期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 3 ；若，的面积为4，则的面积是 ．
【解析】且
由外角定理可得，
又，
，
在和中，
．
，
，
，
的面积为4，
，
，
的面积是
故答案为：3，．
4．（2023秋 长兴县期末）如图，已知在中，点，分别在边，上，过点作于点，，，若，则的长为 12 ．
【答案】12．
【解析】在上取一点，使得，连接，在上取一点，使得，连接．
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：12．
5．（2023秋 镇海区校级期末）在等腰直角中，，在斜边上取点，使得，为边上一动点，以为直角顶点，为直角边构造等腰直角在右侧），当最小时， 67.5 ．
【答案】67.5．
【解析】作于点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连结，
是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
如图1，则点在经过点，且与垂直的直线上运动，
当时，的值最小，
如图2，，则，延长交于点，连结，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：67.5．
6．（2023秋 海曙区校级期末）如图，点、、在同一条直线上，，，，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【解析】（1）证明：，，，
．
，．
．
在和中，
，
．
（2）解：，
，，
，
．
7．（2023秋 浦江县期末）如图，在四边形中，，点，分别在，上，，，求证：．
【解析】证明：如图，连接，
在和中，
，
，
，
，
．
8．（2023秋 北仑区期末）如图，，，，交于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【解析】（1）证明：在与中，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
又，
．
9．（2023秋 海曙区校级期末）如图，与相交于点，且，．
（1）求证：；
（2）直线过点，分别交，于点，，试判断与是否相等，并说明理由．
【解析】（1）证明：在与中，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）知，，
，，
在与中
，
，
．
10．（2023秋 北仑区期末）如图，已知，，，与交于点，点在上．
（1）求证：；
（2）若，．
①求的度数；
②求证：．
【解析】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）①解：，，
，
，
，
，
；
②证明：，
，
，，
在和中，
，
，
．
11．（2023秋 舟山期末）如何仅用刻度尺平分一个角？
【提出问题】仅用一把刻度尺，平分．
【设计方案】如图，已知，用刻度尺分别在，上取，，连结，相交于点，过点，作射线，则射线平分．
【解决问题】在和中，
①，
②，
，
，，
，
，，，
，
，
，，，
，
③，
即射线平分．
★请同学们在①、②、③处补全缺失的证明过程．
【解析】证明：在和中，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，，，
，
，
即射线平分，
故答案为：；；；；．
题型08 全等三角形的应用
1．（2023秋 南浔区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是．
故选．
2．（2023秋 开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“”重新配一块与原来全等的三角形玻璃．
故选．
3．（2023秋 路桥区期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点为、的中点．只要量出的长度．就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是
A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
【答案】
【解析】点为、的中点，
，，
由对顶角相等得，
在和△中，
，
△，
，
即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度，
故选．
4．（2023秋 武义县期末）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】
【解析】．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
．，，，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
．根据，，，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选．
5．（2023秋 东阳市期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，．若支杆需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等
A． B． C． D．
【答案】
【解析】平分．
，
在与中，
，
，
，
即所换长度应与的长度相等，
故选．
6．（2023秋 滨江区期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得，则工件内槽宽为 10 ．
【答案】10．
【解析】连接，如图，
点分别是、的中点，
，，
在和△中，
，
△．
，
，
，
故答案为：10．
7．（2023秋 台州期末）如图1，一款液压橱柜支撑杆可以将柜门停在任意角度，取物更方便．图2为示意图，为柜壁，为柜门，点，为支撑杆摆臂固定点，点为滚轮，，均为支撑杆摆臂，且．为使滚轮受力均匀，保障其使用寿命，安装时只需保证即可．
（1）求证：平分；
（2）因空间受限，在摆臂夹角任意角度下，柜门展开角均不能大于，则安装支撑杆时，长度至少为何值才能实现？
【解析】（1）证明：在和中，
，
，
，
平分；
（2）解：由题意，当时，的度数最大，
柜门展开角不能大于，
最大为，
当，时，如图：
由（1）知平分，
，
，
长度至少为才能实现．
8．（2023秋 滨江区期末）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处，测得河北岸的一棵树底部点恰好在点的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从点向正东走到点，此时恰好测得： 观测者从点向正东走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上
测量示意图
（1）第一小组认为，河宽的长度就是线段 的长度．
（2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得的长就是所求河宽的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
（3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽长，并说明方案的可行性．
【解析】（1），，
是等腰直角三角形，
，
河宽的长度就是线段的长度．
故答案为：；
（2）第二小组的方案可行，理由如下：
是中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
河宽的长度就是线段的长度．
（3）见表格，
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从点向正东走到点，此时恰好测得： 观测者从点向正东走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上 观测者从点向正西走到点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于，
测量示意图
只要测出的长，就能推算出河宽长，理由如下：
，
，
在和中，
，
，
，
河宽的长等于线段的长．
题型09 角平分线与线段垂直平分线的性质
1．（2023秋 台州期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的长为
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】
【解析】过点作于点，
是的角平分线，，
，
，
，
，
，
，
解得．
故选．
2．（2023秋 义乌市期末）如图，中，为的角平分线，交于点，交于点．若面积为，，，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】为的角平分线，，，
，
，
，
解得，
故选．
3．（2022秋 新昌县期末）如图，是的角平分线，是的中点，的面积为21，，，则的面积为
A． B．5 C．6 D．
【答案】
【解析】是的角平分线，
点到和的距离相等，
，
，
是的中点，
．
故选．
4．（2022秋 拱墅区校级期末）在中，边，的垂直平分线、相交于点，若，则的度数是 ．
A． B． C． D．
【答案】
【解析】连接、，
边，的垂直平分线、相交于点，
，，
，，，
，，
，
解得，，
，
，
故选．
5．（2023秋 江北区期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长是
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】
【解析】是的垂直平分线，，
，
．
故选．
6．（2023秋 宁波期末）如图，点是内一点，于，于，于，且，则点是
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线交点
【答案】
【解析】到三条距离相等，即，
连接、、，
，
是的角平分线，
同理、分别是，的角平分线，
故是角平分线交点，
故选．
7．（2022秋 上城区期末）如图，和分别是线段和的垂直平分线，若，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】连接，如图1，
，分别是线段，的垂直平分线，
，，
即，
，，
，
故选．
8．（2023秋 海曙区校级期末）如图，的边、的垂直平分线相交于点．连接、，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】连接，如图所示：
为线段的垂直平分线，
，
，
为线段的垂直平分线，
，
，，
，
又，
，
，
，
则．
故选．
9．（2022秋 宁波期末）如图，在中，，，平分，于，为边的垂直平分线且分别交、于点、，若，，则的长是
A．2 B． C． D．
【答案】
【解析】连接，如图，
，是斜边上的高线，
，，
，
，
，
是的角平分线，
，即，
是边的垂直平分线，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
故选．
10．（2023秋 玉环市期末）如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 15 ．
【答案】15．
【解析】过作于点，
平分，于点，
，
的面积，
故答案为：15．
11．（2023秋 海曙区校级期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，若的面积为5，则的长为 2 ．
【答案】2．
【解析】过作于，
是边上的高，平分，交于点，
，
，
，
，
故答案为：2．
12．（2023秋 温州期末）如图，是的角平分线，若，，则的面积为 5 ．
【答案】5．
【解析】过作于，
是的角平分线，，
，
，
的面积．
故答案为：5．
13．（2022秋 玉环市期末）如图，已知的周长是18，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是 27 ．
【答案】27．
【解析】过点作于点，过点作于点，连接，如图所示：
点为与的平分线的交点，且，
，
，的周长为18，
的面积
，
故答案为：27．
14．（2022秋 青田县期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，若的面积为9，则的长为 3 ．
【答案】3．
【解析】过作于，
是边上的高，平分，交于点，
，
，
，
，
故答案为：3．
15．（2023秋 台州期末）如图，在△中，的垂直平分线分别交、于点、点，连接．若，△的周长为，则△的周长为 26 ．
【答案】26．
【解析】是的垂直平分线，
，
△的周长为，
故答案为：26．
16．（2023秋 海曙区期末）如图，在中，，是的中垂线，分别交，于点，．已知，，则的周长是 14 ．
【答案】14．
【解析】，，，
，
是的中垂线，
，
的周长，
故答案为：14．
17．（2023秋 吴兴区期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，且，，则的长为 13 ．
【答案】13．
【解析】是边的垂直平分线，
，
又，
．
故答案为：13．
18．（2023秋 长兴县期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【解析】（1）证明：连接，
是的中点，，
平分，
，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
19．（2022秋 宁波期末）将一副三角板按如图方式叠放在一起，两直角顶点重合于点．
（1）求的度数；
（2）当的中点恰好落在的中垂线上时，求的度数．
【解析】（1），
；
（2）连接，
是的中垂线，
．
又是的中点，
，
，
．
20．（2022秋 金东区期末）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
（1）求证：．
（2）若，，
①求的面积．
②求的周长．
【解析】（1）证明：在中，，
，
又，，
，
；
（2）解：①在中，，
，
，
；
②在中，，，
由勾股定理可得，，
则的周长为．
题型10 尺规作图及其应用
1．（2023秋 莲都区期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】
【解析】由作图可知，作图正确的有①②，
故选．
2．（2023秋 东阳市期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在内部作一个角，下列作法中不等于的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．此选项是作直角的平分线，，不符合题意；
．此选项是作，由知，不符合题意；
．此选项是作的平分线，由知，符合题意；
．此选项是作和的平分线，，不符合题意；
故选．
3．（2023秋 婺城区期末）如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是
A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧
【答案】
【解析】根据作一个角等于已知角可得弧是以点为圆心，为半径的弧．
故选．
4．（2023秋 路桥区期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
由题意可知，是线段的垂直平分线，
，
，
．
故选．
5．（2023秋 鄞州区期末）如图，在中，，分别以点，为圆心、大于为半径画圆弧，两弧相交于点、，作直线分别交、于点、，连结、．在下列结论中：①；②；③；④，一定正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】由作图可知垂直平分线段，
，，
，
，故①④正确，
无法判断，，故②③错误．
故选．
6．（2023秋 南浔区期末）在△中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，连结，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在△中，，，
则，
根据线段垂直平分线的性质，得，
，
，
故选．
7．（2023秋 义乌市期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是
结论Ⅰ：；
结论Ⅱ：．
A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ错 C．Ⅰ错，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都错
【答案】
【解析】由尺规作图痕迹可知，
为的角平分线，为的垂线，
，为直角三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
故结论Ⅱ正确；
，
，
，
故结论Ⅰ正确，
故选．
8．（2023秋 海曙区校级期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的长为
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】．
【解析】过点作于点，
由作图方法可得出是的平分线，
，，
，
在和中，，
，
，
在中，，，
，
设，则，
故在中，
，
即，
解得：，
即的长为：6．
故选．
9．（2023秋 慈溪市期末）如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结交于点．若，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】过点作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作于，
，
由作图知，平分，
，
，
，
，
，
，
故选．
10．（2023秋 东阳市期末）在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线平分的是
A．图1和图2 B．图1和图3 C．图3 D．图2和图3
【答案】
【解析】在图1中，利用基本作图可判断平分；
在图2中，根据作法可知：
，，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
所以点到和的距离相等，
平分．
在图3中，利用基本作图得到点为的中点，则为边上的中线；
故选．
11．（2023秋 长兴县期末）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，与边，分别相交于点和点，再分别以这两个交点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．点为上一动点，则的最小值是 ．
【答案】．
【解析】设，
，，，
，
由作法得平分，
点到、的距离相等，
而，
点到的距离为，
，
，
解得，
点到的距离为，
的最小值为．
故答案为：．
12．（2023秋 宁波期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线及其外一点（如图．
求作：的平行线，使它经过点．
小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：
如图2所示：
（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；
（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点，沿这边作出直线，所以，直线即为所求．
老师说：“小凡的作法正确．”
请回答：小凡的作图依据是 内错角相等，两直线平行 ．
【解析】如图所示：
由平移的性质可知：．
又，
．
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
13．（2023秋 桐乡市期末）如图，在中．
（1）作的平分线．
（2）作线段的垂直平分线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【解析】（1）如图，射线即为所求；
（2）如图，直线即为所求．
14．（2023秋 滨江区期末）如图，已知和线段，，用直尺和圆规作，使，，，这样的三角形能作几个？（保留作图痕迹）
【解析】这样的三角形能作2个．
如图，和△为所作．
15．（2023秋 滨江区校级期末）
尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：、，线段．求作：，使，，．
【解析】如图，即为所求．
16．（2023秋 鄞州区校级期末）作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．
已知：如图，求作点，使点到、两点的距离相等，且到两边的距离也相等．
【解析】如图，每画对一个得（2分）．
17．（2023秋 宁波期末）如图，在中，是钝角．（保留作图痕迹）
（1）用无刻度的直尺和圆规作，的垂直平分线，分别交于点、；
（2）连结，，若，求的度数．
【解析】（1）如图，点、为所作；
（2），的垂直平分线，分别交于点、，
，，
，，
，，
，
，
，
．
18．（2023秋 东阳市期末）如图在的网格中，已知的顶点均在格点上，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图1中作的角平分线；（保留必要的作图痕迹）
（2）在图2中作边上的高线，垂足为点．（保留必要的作图痕迹）
【解析】（1）如图所示：
（2）解：如图所示：
第1页（共1页）中小学教育资源及组卷应用平台
期末专项01 三角形（十大模型）
题型01 认识三角形
题型02 三角形的三边关系
题型03 三角形的内角和定理与外角性质
题型04 定义与命题
题型05 全等三角形的判定（高频）
题型06 全等三角形的性质
题型07 全等三角形的判定与性质（综合）
题型08 全等三角形的应用
题型09 角平分线与线段垂直平分线的性质
题型10 尺规作图及其应用
题型01认识三角形
1．（2023秋 柯桥区期末）如图，在中，，．动点从点出发，沿边，向点运动．在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是
A．直角三角形等边三角形直角三角形等边三角形直角三角形
B．等腰三角形直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形
C．直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形
D．等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形
2．（2023秋 鄞州区校级期末）用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是
A． B．
C． D．
3．（2023秋 义乌市期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
4．（2023秋 衢州期末）如图，和分别是的角平分线和高线，已知，，则的度数为
A． B． C． D．
5．（2023秋 路桥区期末）如图，在中，中线，交于点，连接，若的面积为2，则的面积是
A．20 B．24 C．28 D．32
6．（2023秋 奉化区期末）如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为
A．或 B．或 C．或 D．或
7．（2023秋 江北区期末）如图，活动衣架可以伸缩自如，是利用了四边形的 性质．
8．（2023秋 奉化区期末）在△中，为边的中点，点在边上，，、交于点，若△的面积为26，则 ．
9．（2023秋 浦江县期末）如图，在中，是边上的中线，，，，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ．
题型02 三角形的三边关系
1．（2023秋 台州期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2023秋 柯桥区期末）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．（2023秋 海曙区期末）现有长度分别是和的两根木棒，如果不改变木棒的长度，要将木棒首尾顺次相接钉成一个三角形木架，那么在下列长度的木棒中不能选取的是
A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒
4．（2023秋 桐乡市期末）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得 米，米，那么，间的距离不可能是
A．6米 B．8.7米 C．27米 D．18米
5．（2023秋 鄞州区期末）若一个三角形的两边长分别为3和6，则该三角形的周长可能是
A．18 B．15 C．12 D．10
6．（2023秋 东阳市期末）一个三角形的两边长分别是7和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可）
题型03 三角形的内角和定理与外角性质
1．（2023秋 瓯海区校级期末）在△中，若，，则该三角形是
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．（2023秋 上城区期末）将一副三角板按照如图方式摆放，点、、共线，，则的度数为
A． B． C． D．
3．（2023秋 上虞区期末）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是
A． B． C． D．
4．（2023秋 樊城区期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于
A． B． C． D．
5．（2023秋 海曙区校级期末）已知，在△中，，则△是 三角形．
6．（2023秋 镇海区校级期末）在△中，已知，那么△是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角” ．
7．（2023秋 衢江区期末）在△中，，，则的度数为 ．
8．如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 ．
9．（2023秋 松阳县期末）用一副三角板拼出如图所示的图形，则的度数是 ．
10．（2023秋 鄞州区期末）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的度数为 ．
11．（2023秋 路桥区期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，求的度数．
12．（2023秋 义乌市期末）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点．已知，，求和的度数．
13．（2023秋 滨江区期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．
（1）若，，求的度数．
（2）若，，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）．
题型04 定义与命题
1．（2023秋 金东区期末）下列说法正确的是
A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题
C．定理都是真命题 D．基本事实不一定是真命题
2．（2023秋 吴兴区期末）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是
A．， B．， C．， D．，
3．（2023秋 开化县期末）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是
A． B． C． D．
4．（2023秋 海曙区校级期末）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是
A．， B．，
C．， D．，
5．（2023秋 滨江区校级期末）下列命题的逆命题是真命题的是
A．若，则 B．等边三角形是锐角三角形
C．相等的角是对顶角 D．全等三角形的面积相等
6．（2023秋 宁波期末）下列命题的逆命题是假命题的是
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．对顶角相等
C．等边三角形的三个内角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
7．（2023秋 吴兴区期末）命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是 命题（填“真”或“假”
8．（2023秋 海曙区期末）命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是 命题（填“真”或“假” ．
9．（2023秋 余姚市期末）说明“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是假命题，可举出的反例是 ．
10．（2023秋 宁波期末）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ．
题型05 全等三角形的判定
1．（2023秋 婺城区期末）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定△△的是
A． B． C． D．
2．（2023秋 余姚市期末）如图，，点，分别在，上，补充下列一个条件后，不能判断的是
A． B． C． D．
3．（2023秋 滨江区期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是
A．， B．，
C．，， D．，，
4．（2023秋 海曙区期末）工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺（图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是
A． B． C． D．
5．（2023秋 浦江县期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是
已知：，，且，． 求证：． 证明：，， ， 又，， ， ◎．
A． B． C． D．
6．（2023秋 义乌市期末）如图，已知，下列条件中不能使的是
A． B． C． D．
7．（2023秋 新昌县期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
8．（2023秋 建昌县期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是
A． B． C． D．
9．（2023秋 上城区期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是
A． B． C． D．
10．（2023秋 莲都区期末）如图，在与中，，，请添加一个条件： ，使．
11．（2023秋 宁波期末）如图，点、在线段上，，，请只添加一个合适的条件使．
（1）根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ；
（2）请从（1）中选择一种，加以证明．
12．（2023秋 婺城区期末）如图，在中，，是高和高的交点．
（1）求证：．
（2）写出图中的一对全等三角形，并给出证明．
题型06 全等三角形的性质
1．（2023秋 长兴县期末）如图，已知点在上，且，有同学在推出，后，还分别推出下列结论，其中错误的是
A． B． C． D．
2．（2023秋 台州期末）如图，，边和在同一条直线上．若，，则长为
A． B． C． D．
3．（2023秋 宁波期末）如图所示，，点与点，点与点是对应顶点，如果，，那么的度数为
A． B． C． D．
4．（2022秋 嘉兴期末）如图，△△，若，，则的度数为
A． B． C． D．
5．（2022秋 鄞州区校级期末）如图，△△，，记，，当时，与之间的数量关系为
A． B． C． D．
6．（2022秋 拱墅区期末）如图，，则下列说法错误的是
A． B．平行且等于
C． D．平行且等于
7．（2023秋 婺城区期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，，另一个三角形有一个角为，则 ．
8．（2023秋 衢江区期末）如图，，点恰好落在上，且，，则的度数为 ．
9．（2022秋 宁波期末）如图，若，且，，则 ．
10．（2023秋 钱塘区期末）若，，，则 度．
11．（2022秋 鄞州区校级期末）如图所示，已知△△，于．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长．
题型07 全等三角形的判定与性质
1．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，在中，，，，分别为线段，上一点，且，连接、交于点，延长交于点．以下四个结论正确的是
①；
②若，则；
③连结，若，则；
④若平分，则．
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
2．（2023秋 东阳市期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则 ．
3．（2023秋 衢江区期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为4，则的面积是 ．
4．（2023秋 长兴县期末）如图，已知在中，点，分别在边，上，过点作于点，，，若，则的长为 ．
5．（2023秋 镇海区校级期末）在等腰直角中，，在斜边上取点，使得，为边上一动点，以为直角顶点，为直角边构造等腰直角在右侧），当最小时， ．
6．（2023秋 海曙区校级期末）如图，点、、在同一条直线上，，，，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
7．（2023秋 浦江县期末）如图，在四边形中，，点，分别在，上，，，求证：．
8．（2023秋 北仑区期末）如图，，，，交于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
9．（2023秋 海曙区校级期末）如图，与相交于点，且，．
（1）求证：；
（2）直线过点，分别交，于点，，试判断与是否相等，并说明理由．
10．（2023秋 北仑区期末）如图，已知，，，与交于点，点在上．
（1）求证：；
（2）若，．
①求的度数；
②求证：．
11．（2023秋 舟山期末）如何仅用刻度尺平分一个角？
【提出问题】仅用一把刻度尺，平分．
【设计方案】如图，已知，用刻度尺分别在，上取，，连结，相交于点，过点，作射线，则射线平分．
【解决问题】在和中，
①，
②，
，
，，
，
，，，
，
，
，，，
，
③，
即射线平分．
★请同学们在①、②、③处补全缺失的证明过程．
题型08 全等三角形的应用
1．（2023秋 南浔区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是
A． B． C． D．
2．（2023秋 开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是
A． B． C． D．
3．（2023秋 路桥区期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点为、的中点．只要量出的长度．就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是
A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
4．（2023秋 武义县期末）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块，小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．（2023秋 东阳市期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，．若支杆需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等
A． B． C． D．
6．（2023秋 滨江区期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得，则工件内槽宽为 ．
7．（2023秋 台州期末）如图1，一款液压橱柜支撑杆可以将柜门停在任意角度，取物更方便．图2为示意图，为柜壁，为柜门，点，为支撑杆摆臂固定点，点为滚轮，，均为支撑杆摆臂，且．为使滚轮受力均匀，保障其使用寿命，安装时只需保证即可．
（1）求证：平分；
（2）因空间受限，在摆臂夹角任意角度下，柜门展开角均不能大于，则安装支撑杆时，长度至少为何值才能实现？
8．（2023秋 滨江区期末）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处，测得河北岸的一棵树底部点恰好在点的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从点向正东走到点，此时恰好测得： 观测者从点向正东走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上
测量示意图
（1）第一小组认为，河宽的长度就是线段 的长度．
（2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得的长就是所求河宽的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
（3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽长，并说明方案的可行性．
题型09 角平分线与线段垂直平分线的性质
1．（2023秋 台州期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的长为
A．1 B．1.5 C．2 D．3
2．（2023秋 义乌市期末）如图，中，为的角平分线，交于点，交于点．若面积为，，，则的长为
A． B． C． D．
3．（2022秋 新昌县期末）如图，是的角平分线，是的中点，的面积为21，，，则的面积为
A． B．5 C．6 D．
4．（2022秋 拱墅区校级期末）在中，边，的垂直平分线、相交于点，若，则的度数是 ．
A． B． C． D．
5．（2023秋 江北区期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长是
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2023秋 宁波期末）如图，点是内一点，于，于，于，且，则点是
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线交点
7．（2022秋 上城区期末）如图，和分别是线段和的垂直平分线，若，，则的度数为
A． B． C． D．
8．（2023秋 海曙区校级期末）如图，的边、的垂直平分线相交于点．连接、，若，则的度数是
A． B． C． D．
9．（2022秋 宁波期末）如图，在中，，，平分，于，为边的垂直平分线且分别交、于点、，若，，则的长是
A．2 B． C． D．
10．（2023秋 玉环市期末）如图，点是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ．
11．（2023秋 海曙区校级期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，若的面积为5，则的长为 ．
12．（2023秋 温州期末）如图，是的角平分线，若，，则的面积为 ．
13．（2022秋 玉环市期末）如图，已知的周长是18，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是 ．
14．（2022秋 青田县期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，若的面积为9，则的长为 ．
15．（2023秋 台州期末）如图，在△中，的垂直平分线分别交、于点、点，连接．若，△的周长为，则△的周长为 ．
16．（2023秋 海曙区期末）如图，在中，，是的中垂线，分别交，于点，．已知，，则的周长是 ．
17．（2023秋 吴兴区期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，且，，则的长为 ．
18．（2023秋 长兴县期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．（2022秋 宁波期末）将一副三角板按如图方式叠放在一起，两直角顶点重合于点．
（1）求的度数；
（2）当的中点恰好落在的中垂线上时，求的度数．
20．（2022秋 金东区期末）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
（1）求证：．
（2）若，，
①求的面积．
②求的周长．
题型10 尺规作图及其应用
1．（2023秋 莲都区期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2023秋 东阳市期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在内部作一个角，下列作法中不等于的是
A． B．
C． D．
3．（2023秋 婺城区期末）如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是
A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧
4．（2023秋 路桥区期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为
A． B． C． D．
5．（2023秋 鄞州区期末）如图，在中，，分别以点，为圆心、大于为半径画圆弧，两弧相交于点、，作直线分别交、于点、，连结、．在下列结论中：①；②；③；④，一定正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023秋 南浔区期末）在△中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，连结，则的度数是
A． B． C． D．
7．（2023秋 义乌市期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是
结论Ⅰ：；
结论Ⅱ：．
A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ错 C．Ⅰ错，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都错
8．（2023秋 海曙区校级期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的长为
A．8 B．7 C．6 D．5
9．（2023秋 慈溪市期末）如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结交于点．若，则的长为
A． B． C． D．
10．（2023秋 东阳市期末）在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线平分的是
A．图1和图2 B．图1和图3 C．图3 D．图2和图3
11．（2023秋 长兴县期末）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，与边，分别相交于点和点，再分别以这两个交点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．点为上一动点，则的最小值是 ．
12．（2023秋 宁波期末）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线及其外一点（如图．
求作：的平行线，使它经过点．
小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：
如图2所示：
（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；
（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点，沿这边作出直线，所以，直线即为所求．
老师说：“小凡的作法正确．”
请回答：小凡的作图依据是 ．
13．（2023秋 桐乡市期末）如图，在中．
（1）作的平分线．
（2）作线段的垂直平分线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
14．（2023秋 滨江区期末）如图，已知和线段，，用直尺和圆规作，使，，，这样的三角形能作几个？（保留作图痕迹）
15．（2023秋 滨江区校级期末）
尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：、，线段．求作：，使，，．
16．（2023秋 鄞州区校级期末）作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．
已知：如图，求作点，使点到、两点的距离相等，且到两边的距离也相等．
17．（2023秋 宁波期末）如图，在中，是钝角．（保留作图痕迹）
（1）用无刻度的直尺和圆规作，的垂直平分线，分别交于点、；
（2）连结，，若，求的度数．
18．（2023秋 东阳市期末）如图在的网格中，已知的顶点均在格点上，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图1中作的角平分线；（保留必要的作图痕迹）
（2）在图2中作边上的高线，垂足为点．（保留必要的作图痕迹）
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