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专题27.3位似八大题型（一课一讲）
（内容:位似图形及其应用）
【人教版】
题型一：位似图形的识别
【经典例题1】已知：，下列图形中， ABC与不存在位似关系的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】下面四个图中， ABC均与相似，且对应点交于一点；则 ABC与成位似图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-2】已知：，下列图形中， ABC与不存在位似关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】如图，在正方形网格中， ABC的位似图形可以是（ ）
A． BDE B． FDE C． D．
【变式训练1-4】下图所示的四种画法中，能使得 ABC与是位似图形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【变式训练1-5】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A．B． C．D．
题型二：判断位似中心
【经典例题2】如图，在平面直角坐标系中， ABC与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式训练2-2】如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点
【变式训练2-4】如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为 .
【变式训练2-5】如图，在方格图中， ABC的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与 ABC是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
(1)请在方格图中画出位似中心；
(2)请在方格图中将补画完整．
【变式训练2-6】如图，在直角坐标系中 ABC与是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ．
题型三：位似图形相关概念辨析
【经典例题3】如图，已知与 ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则下列说法错误的是（ ）
A． B．与周长比为
C． D．
【变式训练3-1】如图，已知与 ABC是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】下列说法正确的是（ ）
A．如果两个图形是相似图形，它们的周长比等于相似比的平方
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．相似图形一定是位似图形，位似图形不一定是相似图形
D．三角形的外心不一定在三角形内
【变式训练3-3】如图，以点O为位似中心，把 ABC放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A．
B．点C、点O、点三点在同一直线上
C．
D．
【变式训练3-4】如图，以点为位似中心，把 ABC放大为原图形的2倍得到，以下说法正确的是（ ）
A． B．
C．点A，O，三点在同一条直线上 D．
题型四：求两个位似图形的相似比
【经典例题4】平面直角坐标系中， ABC与位似，位似中心是点，若点A坐标是，其对应点D的坐标是，那么 ABC与的相似比是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，已知 ABC与位似，位似中心为，且 ABC的面积与的面积之比是，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】如图，以点O为位似中心，将 ABC放大得到．若 ABC与的周长之比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式训练4-3】如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】如图， ABC与是位似图形，点为位似中心， ABC与的面积之比为，则 ．
【变式训练4-5】如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为 ．
【变式训练4-6】在平面直角坐标系中， ABC与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，，则 ABC与的相似比为 ．
题型五：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【经典例题5】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和．
(1)把 ABC先向上平移1个单位，再向右平移4个单位，得到；
(2)以图中的O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到．
【变式训练5-1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中建立平面直角坐标系， ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，，，点落在格点上．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______．
(2)将 ABC向右平移4个单位长度得到，画出．
(3)以点为位似中心，将 ABC放大为原来的2倍．得到．画出．
【变式训练5-2】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．
(1)画出 ABC向上平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度后的．
(2)以点为位似中心，将 ABC放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出．
【变式训练5-3】如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹．
(1)以O为位似中心，在网格中作，且 ABC与的位似比为．
(2)在线段上作点P，使．
【变式训练5-4】如图，在网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度， ABC的顶点均在格点上．
(1)画出 ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的；
(2)以点为位似中心，将按相似比放大，画出放大后的，直接写出的面积．
【变式训练5-5】如图， ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，．
(1)画出 ABC关于轴对称的；
(2) ABC内部有一点，直接写出经过（）中对称变换后的对应点的坐标________；
(3)以点为位似中心，在点的下方画出，使与 ABC位似，且位似比为．
题型六：求位似图形的对应坐标
【经典例题6】在平面直角坐标系中，，，现以原点O为位似中心画出，使与相似比为，则A的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式训练6-1】如图，正方形和正方形是位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是 （ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式训练6-2】如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，，．若，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式训练6-4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式训练6-5】如图， AOB的顶点A的坐标为，现以原点O为位似中心，画一个三角形与 AOB位似，相似比为，则点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
题型七：求坐标系中两个位似图形的相似比、周长比和面积比
【经典例题7】已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)在图中画出 ABC沿x轴翻折后的；
(2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为；
(3)点的坐标___________； ABC与的周长比是___________， ABC与的面积比是___________．
【变式训练7-1】如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】在平面直角坐标系中， ABC与位似，位似中心是原点O．若对应点坐标分别为，，则 ABC与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-3】如图， ABC与是位似图形，位似中心为点O．若， ABC的周长为9，则的周长为（ ）
A．18 B．27 C．32 D．36
【变式训练7-4】在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型八：位似图形综合应用
【经典例题8】在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点的坐标；
(2)的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标．
【变式训练8-1】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1， ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)以点为位似中心，在网格内作出 ABC的位似图形，若 ABC与的位似比为， ABC与的面积比是____________；
(2)将 ABC绕点逆时针旋转后得到图形，则点的运动路径长为_________；
(3)若为图中 ABC的外接圆，则圆心的坐标为________．
【变式训练8-2】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为．
(1)将 ABC向左平移5个单位长度得到，画出；
(2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的网格中画出；
(3)若点是 ABC内的一点，经过（1）、（2）两次变换，点D的对应点的坐标是________．（用含a，b的代数式表示）
【变式训练8-3】 ABC在坐标系的位置所示，三点的坐标分别为、、，请按要求完成任务：
(1)以坐标原点为位似中心，相似比为，在轴下方将 ABC放大得到．
(2)在（1）中，点的坐标为________；若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标为________．
(3)在（1）中，若点，分别是线段，的中点，则线段在中对应线段的长度为________．
【变式训练8-4】在平面直角坐标系中， ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1．
(1)在图（1）的第一象限内，对 ABC进行位似变换，以原点O为位似中心画出（点A，B，C分别应点D，E，F），且 ABC与的相似比为，线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______．
(2)在图（2）画出一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件：①与 ABC有公共角；②与 ABC相似但不全等．
【变式训练8-5】如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为．
(1)以O为位似中心，画出的位似图形，相似比为，且位于位似中心异侧；
(2)在x轴上找一点E，使得的面积，求点E的坐标．
【变式训练8-6】如图， ABC在带有网格的平面直角坐标系中的位置．
(1)以点O为位似中心，在y轴右侧作出 ABC的位似图形，使得放大后的与 ABC的位似比为．
(2)若点P在 ABC内部， 且坐标为，写出按（1）变化后的对应点的坐标 ．
(3)在图中找到点M，使得， 写出点M的坐标 ．
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专题27.3位似八大题型（一课一讲）
（内容:位似图形及其应用）
【人教版】
题型一：位似图形的识别
【经典例题1】已知：，下列图形中， ABC与不存在位似关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．
根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．
【详解】解：A、 ABC与是位似关系，故此选项不合题意；
B、 ABC与是位似关系，故此选项不合题意；
C、 ABC与是位似关系，故此选项不合题意；
D、 ABC与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-1】下面四个图中， ABC均与相似，且对应点交于一点；则 ABC与成位似图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形.
根据位似的定义判断即可得出答案．
【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的 ABC与成位似图形，
图3中、不平行，即 ABC与不成位似图形，
故选；C．
【变式训练1-2】已知：，下列图形中， ABC与不存在位似关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．
【详解】解：A、 ABC与是位似关系，故此选项不合题意；
B、 ABC与是位似关系，故此选项不合题意；
C、 ABC与是位似关系，故此选项不合题意；
D、 ABC与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-3】如图，在正方形网格中， ABC的位似图形可以是（ ）
A． BDE B． FDE C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．先证明 ABC与相似，再根据位似图形的概念判断．
【详解】解：根据网格信息可知： ABC的三边长分别为1，2，，
的三边长分别为2，4，，
ABC与的三边对应成比例，
∴ ABC与相似，
∵ ABC与对应点连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，
∴ ABC与是位似图形，
故选∶D．
【变式训练1-4】下图所示的四种画法中，能使得 ABC与是位似图形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【答案】A
【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可．
【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形；
图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形；
图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形；
图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形，
故选：A．
【变式训练1-5】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可．
【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形，
故选：C．
题型二：判断位似中心
【经典例题2】如图，在平面直角坐标系中， ABC与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识．
根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可．
【详解】解：如下图，
点即为所求的位似中心．
故选：D．
【变式训练2-1】下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键．根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可．
【详解】解：如图，连接对应点，交于点P，则点即为位似中心．
故选：A．
【变式训练2-2】如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接，交轴于点，则点为位似中心，先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点的坐标即可．解决本题的关键是借助相似比求出线段长度．
【详解】解：连接，交轴于点，则点为位似中心，
矩形与矩形是位似图形，，，
，，，，，
，
，
，
即，
，
故位似中心的坐标为．
故选：A．
【变式训练2-3】如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
根据三角形中位线定理得到，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答．
【详解】解：点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，
各对应点的连线交于点，，
位似中心是点，
∵与是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，
∴与位似比是．
故选：D．
【变式训练2-4】如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为 .
【答案】
【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标．
【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为，
∴，
∵矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，
∴，
∴，
∴点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
【变式训练2-5】如图，在方格图中， ABC的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与 ABC是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
(1)请在方格图中画出位似中心；
(2)请在方格图中将补画完整．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心．
（1）连接对应点并延长，交点即为位似中心；
（2）由（1）可知，，则连接并延长，使，再连接即可．
【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心；
（2）解：补全如图所示：
【变式训练2-6】如图，在直角坐标系中 ABC与是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置．
【详解】解：如图所示：位似中心点P的坐标为．
故答案为：．
题型三：位似图形相关概念辨析
【经典例题3】如图，已知与 ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则下列说法错误的是（ ）
A． B．与周长比为
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换得到，，，则，，与 ABC周长比为，，即可得到答案．
【详解】解：与 ABC是以点О为位似中心的位似图形，位似比为，
，，，
∴，，与周长比为，
，
∴
故选项A、B、C正确，选项D错误，
故选：D．
【变式训练3-1】如图，已知与 ABC是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念、相似三角形的性质“对应点的连线都经过同一点；对应边平行”进行判断即可．
【详解】解：A、与 ABC是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确，本选项不符合题意；
B、与 ABC是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误，本选项符合题意；
C、与 ABC是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确，本选项不符合题意；
D、与 ABC是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确，本选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练3-2】下列说法正确的是（ ）
A．如果两个图形是相似图形，它们的周长比等于相似比的平方
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．相似图形一定是位似图形，位似图形不一定是相似图形
D．三角形的外心不一定在三角形内
【答案】D
【分析】此题主要考查了相似图形与位似图形、垂径定理的推论，三角形的外心，正确掌握相关定义与性质是解题关键．直接利用相似图形与位似图形、垂径定理的推论，三角形的外心分别分析得出答案．
【详解】解：A．如果两个图形是相似图形，它们的周长比等于相似比，故此选项错误；
B．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项错误；
C．相似图形不一定位似图形，故此选项错误；
D．三角形的外心不一定在三角形内，比如钝角三角形的外心在三角形的外部，故此选项正确．
故选：D．
【变式训练3-3】如图，以点O为位似中心，把 ABC放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A．
B．点C、点O、点三点在同一直线上
C．
D．
【答案】D
【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把 ABC放大为原图形的2倍得到，
∴ ABC与是位似图形，
∴，A选项说法正确，不符合题意；
点C、点O、点三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意；
，C选项说法正确，不符合题意；
，D选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式训练3-4】如图，以点为位似中心，把 ABC放大为原图形的2倍得到，以下说法正确的是（ ）
A． B．
C．点A，O，三点在同一条直线上 D．
【答案】BCD
【分析】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质；解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方；位似比等于相似比；位似图形对应点和位似中心三点共线；位似图形对应边平行或在同一直线上．据此逐个判断即可．
【详解】解：A．根据题意可得，相似比为，
∴，故A不正确，不符合题意；
B．∵相似比为，，
∴，故B正确，符合题意；
C．根据位似的性质可得点A，O，三点在同一条直线上，故C正确，符合题意；
D．根据位似的性质可得，故D正确，符合题意；
故选：BCD．
题型四：求两个位似图形的相似比
【经典例题4】平面直角坐标系中， ABC与位似，位似中心是点，若点A坐标是，其对应点D的坐标是，那么 ABC与的相似比是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换．熟练掌握位似的性质是解题的关键．
由题意知，根据 ABC与的相似比为，计算求解即可．
【详解】解：∵ ABC与位似，位似中心是点，点A坐标是，其对应点D的坐标是，
∴ ABC与的相似比为，
故选：A．
【变式训练4-1】如图，已知 ABC与位似，位似中心为，且 ABC的面积与的面积之比是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求两个位似图形的相似比，相似三角形的判定与性质综合等知识点，熟练掌握位似图形的性质以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据位似图形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，进而可证得，于是可得，设，则，，据此即可得出答案．
【详解】解：与位似，位似中心为，
，，
的面积与的面积之比是，
与的相似比是，
即：，
，
，
，
设，则，，
，
故选：．
【变式训练4-2】如图，以点O为位似中心，将 ABC放大得到．若 ABC与的周长之比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比．
根据题意求出 ABC与的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比．
【详解】解：∵将 ABC放大得到，
∴，，
∵ ABC与的周长之比为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练4-3】如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．
【详解】解：延长交于点E，如图．
∵在正方形中，，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴正方形与正方形的相似比是．
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．
【变式训练4-4】如图， ABC与是位似图形，点为位似中心， ABC与的面积之比为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查位似图形，根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解．
【详解】解：∵ ABC与是位似图形，点为位似中心， ABC与的面积之比为4：1，
∴，，
∴ ABC与的面积之比为，
∴
故答案为：．
【变式训练4-5】如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为 ．
【答案】
【分析】先由勾股定理算出，，再结合位似的性质进行列式代入数值，进行计算即可作答．本题考查位似变换，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵点的坐标为，点A的坐标为，
∴，，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，
∴，
∴相似比为，
故答案为：．
【变式训练4-6】在平面直角坐标系中， ABC与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，，则 ABC与的相似比为 ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了位似变换，根据题意得出位似比是解题关键．利用位似图形的性质，结合对应点的坐标得出位似比，即可得出答案．
【详解】解：∵ ABC与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，，
∴ ABC与的相似比为．
故答案为：．
题型五：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【经典例题5】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和．
(1)把 ABC先向上平移1个单位，再向右平移4个单位，得到；
(2)以图中的O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了位似变换以及平移变换，根据题意确定对应点位置是解题关键．
（1）利用平移的性质分别作出对应点位置，再连线即可；
（2）直接利用位似图形的性质作出对应点位置，再连线即可．
【详解】（1）解：如图所示．为所求；
（2）解：如图所示．为所求．
【变式训练5-1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中建立平面直角坐标系， ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，，，点落在格点上．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______．
(2)将 ABC向右平移4个单位长度得到，画出．
(3)以点为位似中心，将 ABC放大为原来的2倍．得到．画出．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图﹣位似变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，平移变换的性质．
（1）根据坐标系直接写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可；
（3）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可．
【详解】（1）解：根据坐标系可得：；
（2）解：如图所示，为所求；
（3）解：如图所示，为所求．
【变式训练5-2】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．
(1)画出 ABC向上平移6个单位长度，再向右平移4个单位长度后的．
(2)以点为位似中心，将 ABC放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图 位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
（1）先作出平移后点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可；
（2）以点B为位似中心，将 ABC放大为原来的2倍，得到即可．
【详解】（1）解：为所求三角形；
（2）解：根据题意画出图形，为所求三角形．
【变式训练5-3】如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹．
(1)以O为位似中心，在网格中作，且 ABC与的位似比为．
(2)在线段上作点P，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-位似变换：
（1）延长到使，延长到使，点在C点，则满足条件；
（2）点向右4格的点与点向左2格点连接起来与交点即为点P，此时根据平行可得，即得到．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
（2）解：如图，点P即为所求．
【变式训练5-4】如图，在网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度， ABC的顶点均在格点上．
(1)画出 ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的；
(2)以点为位似中心，将按相似比放大，画出放大后的，直接写出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，的面积为10
【分析】本题考查了作图-位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了平移变换．
（1）把点A、B、C分别先向上平移4个单位长度，再向右平移4个单位得到对应的点，从而得到；
（2）延长到点使，延长到点使，延长到点使，从而得到，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）如图，为所作，
的面积
【变式训练5-5】如图， ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，．
(1)画出 ABC关于轴对称的；
(2) ABC内部有一点，直接写出经过（）中对称变换后的对应点的坐标________；
(3)以点为位似中心，在点的下方画出，使与 ABC位似，且位似比为．
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)作图见解析
【分析】（）根据轴对称的性质作图即可；
（）根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数即可求解；
（）根据位似图形的性质作图即可；
本题考查了作轴对称图形，作位似图形，坐标与图形，掌握轴对称图形和位似图形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵点和点关于轴对称，
∴点的坐标，
故答案为：；
（3）解：如图所示，即为所求．
题型六：求位似图形的对应坐标
【经典例题6】在平面直角坐标系中，，，现以原点O为位似中心画出，使与相似比为，则A的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的A的横纵坐标都乘以或得到A的对应点的坐标．
【详解】解：∵以原点O为位似中心画出，使与相似比为，
而，
∴A的对应点的坐标为或，
即或．
故选：C．
【变式训练6-1】如图，正方形和正方形是位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是 （ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是和是对应顶点，和是对应顶点．本题考查位似变换，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决交点问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
【详解】解：正方形和正方形中和点的坐标分别为，，
、、，
（1）当和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点，
设所在直线的解析式为，
，
解得：，
此函数的解析式为，
当时，则，
与的交点坐标是；
（2）当和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点，
设所在直线的解析式为，
，
解得，
故此一次函数的解析式为①，
同理，设所在直线的解析式为，
，
解得：，
故此直线的解析式为②，
联立①②得，
解得，
故与的交点坐标是．
综上所述：位似中心的坐标是：或．
故选：D．
【变式训练6-2】如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，，．若，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，位似的性质．连接，由题意易得出为等腰直角三角形，根据位似得出为等腰直角三角形，再根据位似比得出，则，由直角三角形斜边中线的性质得出，最后结合即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴为等腰直角三角形．
∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，
∴为等腰直角三角形，且，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【变式训练6-3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
【详解】解：∵，以点O为位似中心，相似比为3，将放大，
∴点的坐标为或，
故选：C．
【变式训练6-4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算．
【详解】解：∵原点O为位似中心，相似比为，把缩小，，
∴点B的对应点的坐标为或，即或．
故选：D．
【变式训练6-5】如图， AOB的顶点A的坐标为，现以原点O为位似中心，画一个三角形与 AOB位似，相似比为，则点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分别讨论 AOB的位似图形在位似中心的同侧和异侧两种情况，结合位似的性质可得答案．
本题考查了坐标系中位似，正确分类，活用位似性质是解题的关键．
【详解】解：当 AOB的位似图形在位似中心的同侧时，位似对应点坐标为
故点A的对应点的坐标为；
当 AOB的位似图形在位似中心的异侧时，位似对应点坐标为
横坐标为，纵坐标为，
故点A的对应点的坐标为．
综上所述，点A的对应点的坐标为或．
故选：C．
题型七：求坐标系中两个位似图形的相似比、周长比和面积比
【经典例题7】已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)在图中画出 ABC沿x轴翻折后的；
(2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为；
(3)点的坐标___________； ABC与的周长比是___________， ABC与的面积比是___________．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)，，
【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与位似：
（1）根据轴对称的性质，画出即可；
（2）根据位似的性质，画出即可；
（3）直接写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）由图可知，，
∵翻折，
∴，
∵与的相似比为
∴与 ABC的相似比为，
∴ ABC与的周长比是，与的面积比是；
故答案为：，，．
【变式训练7-1】如图，四边形与四边形位似，点是它们的位似中心，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形及位似图形的性质，利用位似图形及相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形和位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形与四边形位似，
∴，
∴，
∴，
∴四边形与四边形的面积比为，
故选：．
【变式训练7-2】在平面直角坐标系中， ABC与位似，位似中心是原点O．若对应点坐标分别为，，则 ABC与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了位似的定义，勾股定理，相似三角形的性质，由勾股定理得，，由位似的定义得，由相似三角形的性质，即可求解；理解位似的定义，掌握勾股定理，相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
ABC与位似，
，
；
故选：C．
【变式训练7-3】如图， ABC与是位似图形，位似中心为点O．若， ABC的周长为9，则的周长为（ ）
A．18 B．27 C．32 D．36
【答案】D
【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．利用位似图形，相似三角形的性质求解．
【详解】解：与是位似图形，点是位似中心，
，，
，
，
，
，
的周长为9，
的周长为36．
故选：D
【变式训练7-4】在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的几何意义，可得，的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，根据面积比等于相似比的平方，即可求解，
本题考查了，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质性质，将面积比转化为相似比，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的几何意义．
【详解】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、，
∴
∴
点在反比例函数上，点在上，
∴，，
又∵，
∴
，
，
∴，
∴，
故选：．
题型八：位似图形综合应用
【经典例题8】在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点的坐标；
(2)的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标．
【答案】(1)点P的坐标为，点的坐标为；
(2)点在中的对应点的坐标为．
【分析】本题考查作图—位似变换及位似变换的性质．
（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心；
（2）设点在中的对应点的坐标为，根据中点的性质，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，点为所作；
；
点P的坐标为，点B的对应点的坐标为；
（2）解：设点在中的对应点的坐标为，
∵位似中心P的坐标为，点M的坐标为，
∴，，
解得，．
∴点在中的对应点的坐标为．
【变式训练8-1】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1， ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)以点为位似中心，在网格内作出 ABC的位似图形，若 ABC与的位似比为， ABC与的面积比是____________；
(2)将 ABC绕点逆时针旋转后得到图形，则点的运动路径长为_________；
(3)若为图中 ABC的外接圆，则圆心的坐标为________．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
(3)
【分析】题目主要考查位似图形的作法及旋转图形，外接圆圆心的确定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键．
（1）根据位似图形的作法作图即可，然后根据相似三角形的性质求解即可；
（2）根据旋转图形的作法作图即可，然后利用弧长公示求解即可；
（3）找出边的中垂线，交点即为外接圆的圆心，即可得出结果．
【详解】（1）解：如图所示即为所求，
∵ ABC与的位似比为，
∴ ABC与的面积比是，
故答案为：
（2）解：即为所求；
由网格得：，
∴，
故答案为：；
（3）如图所示，为图中 ABC的外接圆，由图得，圆心的坐标为，
故答案为： ．
【变式训练8-2】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， ABC的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为．
(1)将 ABC向左平移5个单位长度得到，画出；
(2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的网格中画出；
(3)若点是 ABC内的一点，经过（1）、（2）两次变换，点D的对应点的坐标是________．（用含a，b的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】
本题考查作图位似变换、作图平移变换，，解题的关键是：
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据位似的性质作图即可．
（3）根据平移和位似的性质作图可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）经过（1）变换，点的对应点的坐标是，
经过（2）变换，点的对应点的坐标是．
故答案为：．
【变式训练8-3】 ABC在坐标系的位置所示，三点的坐标分别为、、，请按要求完成任务：
(1)以坐标原点为位似中心，相似比为，在轴下方将 ABC放大得到．
(2)在（1）中，点的坐标为________；若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标为________．
(3)在（1）中，若点，分别是线段，的中点，则线段在中对应线段的长度为________．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形的相似比是解题的关键．
（1）根据以坐标原点为位似中心，相似比为，得到三角形的顶点，依次连接即可；
（2）由点，以坐标原点为位似中心，相似比为，可得；
（3）点，分别是线段，的中点，则线段，相似比为，即可得：．
【详解】（1）解：∵ ABC三个顶点的坐标分别为、、，且以坐标原点为位似中心，相似比为，
∴三个顶点的坐标分别为、、，
依次连接三个顶点可得，如下图所示：
；
（2）解：由（1）得，
点的对应点的坐标为，
故答案为：；；
（3）解：∵点，分别是线段，的中点，
∴是 ABC的一条中位线，
∴，
∵相似比为，
∴，
故答案为：．
【变式训练8-4】在平面直角坐标系中， ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1．
(1)在图（1）的第一象限内，对 ABC进行位似变换，以原点O为位似中心画出（点A，B，C分别应点D，E，F），且 ABC与的相似比为，线段上一点经过变换后对应的点的坐标为______．
(2)在图（2）画出一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件：①与 ABC有公共角；②与 ABC相似但不全等．
【答案】(1)图见解析，
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画位似图形，相似三角形的判定，勾股定理，：
（1）把A、B、C的横纵坐标分别除以2得到其对应点D，E，F的坐标，描出D，E，F，再顺次连接D，E，F即可；把G的横纵坐标都除以2，即可得到其对应点坐标；
（2）取格点D，则即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
线段上一点经过变换后对应的点的坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求；
可证明，再由，可证明．
【变式训练8-5】如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为．
(1)以O为位似中心，画出的位似图形，相似比为，且位于位似中心异侧；
(2)在x轴上找一点E，使得的面积，求点E的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)点E的坐标为或．
【分析】本题考查了位似变换作图，三角形的面积，坐标与图形，解题的关键是掌握位似变换的性质正确作出图形是解题的关键．
（1）利用位似变换的性质分别作出A，B，D的对应点，，，顺次连接，，得出，即可解题；
（2）根据建立等式，求出的长，进而即可得到点E的坐标．
【详解】（1）解：所作如图所示：
（2）解：，
，
解得，
点A的坐标为，
点E的坐标为或．
【变式训练8-6】如图， ABC在带有网格的平面直角坐标系中的位置．
(1)以点O为位似中心，在y轴右侧作出 ABC的位似图形，使得放大后的与 ABC的位似比为．
(2)若点P在 ABC内部， 且坐标为，写出按（1）变化后的对应点的坐标 ．
(3)在图中找到点M，使得， 写出点M的坐标 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了作图位似变换，位似图形的性质，线段垂直平分线的性质；
（1）根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点、、的横纵坐标都乘以2得到点、、的坐标，然后描点即可；
（2） ABC每一个点纵坐标都乘以2得到得到内对应点，据此求点的坐标．
（3）找到，的垂直平分线交点即为点，观察图形写出点M的坐标．
【详解】（1）解：如图即为所求：
（2）解： ABC每一个点纵坐标都乘以2得到得到内对应点，
∴按（1）变化后的对应点的坐标，
故答案为：；
（3）解：找到，的垂直平分线交点即为点，由图形可得，
故答案为：．
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