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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题27.3位似八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图 ABC与是位似图形，点O是位似中心，若，，求（ ）
A．1 B．2 C．8 D．16
2．如图，以点O为位似中心，将 ABC缩小后得到，已知，则与 ABC的周长比为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中， ABC与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．如图， ABC与位似，点是位似中心，若，，则为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
7．如图， ABC与位似，点为位似中心，且的面积是 ABC面积的9倍，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形中，对角线、相交于点O，M、N分别是边、的中点，连接、、，则下列叙述正确的是（ ）
A．和都是等边三角形
B．四边形和四边形都是菱形
C．四边形与四边形是位似图形
D．四边形和四边形都是平行四边形
9．如图，小雪利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置．她在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高，则蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图， AOB与关于点A位似，点C的坐标为，若 AOB与的面积比为，则点A的坐标为 ．
12．如图， ABC与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为 ．
13．三个顶点的坐标分别为、、，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且面积之比是，则点A的对应点的坐标是
14．如图，点是反比例函数图象上的一点，直线分别与轴，轴交于点和，轴于点，若与的位似比为， ABC的面积为，则值为 ．
15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ．
16．如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为
17．《墨子 天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．
18．在平面直角坐标系中，点，以点为位似中心，将线段放大为原来的2倍得到线段，均落在二次函数图像上，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为．
(1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与 ABC的相似比为；
(2)写出点的坐标．
20．按要求作图：如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的，写出点A的对应点的坐标；
(2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的，写出点B的对应点的坐标；
(3)若点是内任意一点，则它在内的对应点的坐标是 ．
21．已知 ABC与是位似图形，点A、B、、O共线，点O为位似中心．
(1)与平行吗？为什么？
(2)若，，求的长．
22．在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置，直接写出点P的坐标 ；
(2)以O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为；
(3)在的内部取一点，则点M在中的对应点的坐标为 ；
(4)判断能否看作是由经过某种变换后得到的图形，若是，请直接写出图形变换过程；否则，说明理由．
23．如图，，相交于点P，连接，，，，．
(1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由）
(2)若，，，求的长．
24．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， ABC的顶点都在格点上．
(1)将 ABC向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，请画出；
(2)以O为位似中心，画出的位似图形图形，使放大后的位似比为；
(3)点P是x轴上一动点，则的最小值是______．
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专题27.3位似八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常考考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图 ABC与是位似图形，点O是位似中心，若，，求（ ）
A．1 B．2 C．8 D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查了等式的性质，求两个位似图形的相似比，相似三角形的判定与性质综合等知识点，熟练掌握位似图形的性质以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据位似图形的性质得到，，由可得，由可得，于是可得，根据相似三角形的性质可得，据此即可得出答案．
【详解】解： 与是位似图形，点O是位似中心，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
2．如图，以点O为位似中心，将 ABC缩小后得到，已知，则与 ABC的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似图形一定相似，且相似比等于位似比，以及相似三角形的周长比等于相似比，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，且相似比为：，
∴与 ABC的周长比为；
故选A．
3．如图，在平面直角坐标系中， ABC与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ABC与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点是，
∴与 ABC的位似比2，
∴点的对应点的坐标是，
故选：D．
4．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，从而得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：OD=18，
故选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似的性质，将点的坐标乘以2或即可求解．
【详解】解：∵已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把放大，
∴点B的对应点的坐标为：或
即，或．
故选：C．
6．如图， ABC与位似，点是位似中心，若，，则为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似图形，熟练掌握位似图形的定义和性质是解题关键．首先根据题意可知，再结合位似图形的性质可得，结合解得的值，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵ ABC与位似，点是位似中心，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，
∴．
故选：C．
7．如图， ABC与位似，点为位似中心，且的面积是 ABC面积的9倍，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得到，，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：∵ ABC与位似，点为位似中心，且的面积是 ABC面积的9倍，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选；B．
8．如图，菱形中，对角线、相交于点O，M、N分别是边、的中点，连接、、，则下列叙述正确的是（ ）
A．和都是等边三角形
B．四边形和四边形都是菱形
C．四边形与四边形是位似图形
D．四边形和四边形都是平行四边形
【答案】C
【分析】根据菱形的性质、等边三角形的判定定理判断A；根据三角形中位线定理、菱形的判定定理判断B；根据位似变换的概念判断C，根据平行四边形的判定判断D．
【详解】解：∵不一定等于为，
∴和不一定都是等边三角形，A错误，不符合题意；
∵不一定等于，
∴四边形和四边形不一定都是菱形，B错误，不符合题意；
∵四边形为菱形，
∴，又，
∴，，
同理，，，
∴四边形与四边形是以A为位似中心的位似图形，C正确，符合题意；
，但不一定等于，四边形和四边形不一定是平行四边形，D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、位似变换的概念、等边三角形的判定、平行四边形的判定，掌握位似变换的概念和性质是解题的关键．
9．如图，小雪利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置．她在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高，则蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．连接，过点作于点，于点，先判定，得出，求出，即可得到答案．
【详解】解：连接，过点作于点，于点，，
由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，
根据题意可得：，
，
，
，
，
，
故选B．
10．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．延长交于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．
【详解】解：延长交于点E，如图．
∵在正方形中，，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴正方形与正方形的相似比是．
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图， AOB与关于点A位似，点C的坐标为，若 AOB与的面积比为，则点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查位似变换、相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，可得，则．根据位似的性质可得，进而可得．由题意可得，，即可得，，从而可得答案．
【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，．
∵ AOB与关于点A位似， AOB与的面积比为，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴点A的坐标为．
故答案为：．
12．如图， ABC与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为 ．
【答案】12.5
【分析】本题考查位似图形，根据两个位似图形一定相似，且相似比等于位似比，再根据两个相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可．
【详解】解：∵ ABC与位似，且，
∴，，
∴ ABC与的相似比为：，
∴ ABC与的周长比为：，
∵ ABC的周长为5，
∴的周长为12.5；
故答案为：12.5．
13．三个顶点的坐标分别为、、，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且面积之比是，则点A的对应点的坐标是
【答案】或
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，先根据面积比得到相似比，利用位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：与位似，且面积比是，即，
与的相似比为，
点A的坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为或点的横坐标为，纵坐标为，
∴点A的对应点的坐标是或，
故答案为：或．
14．如图，点是反比例函数图象上的一点，直线分别与轴，轴交于点和，轴于点，若与的位似比为， ABC的面积为，则值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是位似图形的概念、反比例函数的系数的几何意义，根据位似比求出是解题的关键．连接，根据位似比得到，求出，根据反比例函数的系数的几何意义解答即可．
【详解】解：连接，
与的位似比为，
，
，
，
，
故答案为：．
15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查位似图形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键求出正方形的边长．根据正方形的边长为和位似比求出，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
正方形与四边形是位似图形，
四边形是正方形，
，
是四边形的外接圆直径，
正方形的边长为，，
，
，
四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
16．如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为
【答案】/
【分析】本题考查了位似的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题关键．连接，根据平行四边形的性质先求出，由证得，求出，据此求解即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵四边形是平行四边形，面积为20，
∴，
∵和是以为位似中心的位似图形，且与原图形的位似比为，
∴点在同一条直线上，，，
∴，，
∴，
∴，
同理，
∴与的面积之和为．
故答案为：．
17．《墨子 天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了位似图形的性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的面积比为，则正方形的面积为8，得到正方形的边长为，用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵正方形与正方形是位似图形，，
∴正方形与正方形的面积比为，
∵正方形面积为2，
∴正方形的面积为8，
∴正方形的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形的外接圆的周长为，
故答案为：．
18．在平面直角坐标系中，点，以点为位似中心，将线段放大为原来的2倍得到线段，均落在二次函数图像上，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是位似的性质，二次函数的对称性，先求解，或，，再利用二次函数的对称性可得答案．
【详解】解：∵点，以点为位似中心，将线段放大为原来的2倍得到线段，
∴，或，，
当过，时，
∴，解得：，
当过，时，
∴，解得：，
综上：，
故答案为：
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为．
(1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与 ABC的相似比为；
(2)写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查位似图形作图及勾股定理．抓住位似比是解题关键．
（）由题意可知，分别为的中点，据此可确定的坐标，即可完成作图；
（）根据图形即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：点的坐标为．
20．按要求作图：如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的，写出点A的对应点的坐标；
(2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的，写出点B的对应点的坐标；
(3)若点是内任意一点，则它在内的对应点的坐标是 ．
【答案】(1)图见解析，；
(2)图见解析，；
(3)
【分析】此题考查了位似和平移的作图，坐标与图形、点的坐标等知识．
（1）找到点向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的对应点，顺次连接即可得到，再写出点A的对应点的坐标即可；
（2）找到点经过位似变换后的对应点，顺次连接即可得到，再写出点B的对应点的坐标即可；
（3）根据位似图形坐标的变化规律写出答案即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，点A的对应点的坐标为；
（2）如图，即为所求，点B的对应点的坐标为；
（3）若点是内任意一点，则它在内的对应点的坐标是，
21．已知 ABC与是位似图形，点A、B、、O共线，点O为位似中心．
(1)与平行吗？为什么？
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)15或5
【分析】此题考查了位似图形的性质．
（1）分两种情况画出图形，利用位似的性质进行证明即可；
（2）分两种情况画出图形，利用位似的性质进行求解即可．
【详解】（1）如图所示，与平行，理由：
∵ ABC与是位似图形，点A、B、、O共线，
∴
∴．
如图，
∵与是位似图形，点A、B、、O共线，
∴，
∴．
（2）如图．
∵，
∴，
∴的长为；
如图．
∵，
∴，
∴的长为；
综上所述，的长为15或5．
22．在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置，直接写出点P的坐标 ；
(2)以O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为；
(3)在的内部取一点，则点M在中的对应点的坐标为 ；
(4)判断能否看作是由经过某种变换后得到的图形，若是，请直接写出图形变换过程；否则，说明理由．
【答案】(1)，图见解析
(2)见解析
(3)
(4)是，将向左平移5个单位，再向下平移1个单位，即可得到
【分析】本题主要考查作图，位似变换，几何变换等，熟练掌握画图技巧是解题的关键．
（1）对应点的连线的交点即为位似中心，再写出坐标即可；
（2）根据位似变换的知识，找到变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可；
（3）结合图形，由位似变化的性质，即可求得点M在中的对应点的坐标；
（4）根据点的坐标变化求解即可．
【详解】（1）解：连接与交于点，点位置如图，点P的坐标为；
（2）解：根据位似比画出图形，得
；
（3）解：与的位似比为，
故在的内部取一点，则点M在中的对应点的坐标为；
（4）解：将向左平移5个单位，再向下平移1个单位，即可得到．
23．如图，，相交于点P，连接，，，，．
(1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由）
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)，与不是位似图形；
(2)6
【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；再根据位似图形的概念判断即可；
（2）根据相似三角形对应边成比例推出，进而证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴；
∵如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．与的对应点的连线不交于一个点，
∴与不是位似图形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
24．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， ABC的顶点都在格点上．
(1)将 ABC向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，请画出；
(2)以O为位似中心，画出的位似图形图形，使放大后的位似比为；
(3)点P是x轴上一动点，则的最小值是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和位似，勾股定理和轴对称最短路径问题：
（1）根据平移方式得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可；
（2）把三点的横纵坐标都乘以负2得到对应点的坐标，描出并顺次连接即可；
（3）作点B关于x轴对称的点G，连接交x轴于点P，则此时有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，作点B关于x轴对称的点G，连接交x轴于点P，则此时有最小值，最小值为的长，
∵，
∴
∵，
∴
∴的最小值为．
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