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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，已知：点D在 ABC的边上，连接，点E在线段上，且．
(1)求证：；
(2)当E为的中点时，求证：．
【题组训练2】如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，．
(1)求证：；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，，，求的长．
【题组训练3】如图， ABC中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在、上，与的交点为，且矩形长是宽的3倍．
(1)求证：；
(2)试求矩形的周长．
【题组训练4】如图，在 ABC中，为边上一点，且，过点D作，交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【题组训练3】如图，在 ABC中，D是边上一点，且，
(1)求证：；
(2)若，，的面积为9，求的面积．
【题组训练6】如图，点D，E分别是 ABC边，上的点，点D在线段的垂直平分线上，，，
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
【题组训练7】如图，在 ABC中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为．
(1)求证：；
(2)当时，求x的值．
【题组训练8】如图，是正方形的边上一点，是的中点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为，，求的长．
【题组训练9】如图，在 ABC中，，是的平分线．在边上取一点E，连接，使得．
(1)求证：；
(2)作，交于点F，连接．求证：．
【题组训练10】如图，在四边形中，，点F，E分别在线段，上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【题组训练11】如图，在中，为直角，于D．在中，E是的中点．的延长线与的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【题组训练12】菱形中，对角线，相交于点O，E为边中点．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【题组训练13】已知： 如图， 在四边形中， ，．
求证：
(1)；
(2)．
【题组训练14】如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点．
(1)证明：；
(2)若，求的长．
【题组训练15】如图，在 ABC中，D是边上一点，且，延长到点E，使，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求证：点C是的中点；
(2)若，求的长．
【题组训练16】如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【题组训练17】如图，在 ABC中，是角平分线，点E在边上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【题组训练18】如图，在中，对角线相交于点，过点B作交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【题组训练19】如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，则 ．
【题组训练20】如图，已知：，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：四边形是菱形．
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，已知：点D在的边上，连接，点E在线段上，且．
(1)求证：；
(2)当E为的中点时，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
（1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由，推出，由，可得，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题组训练2】如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，．
(1)求证：；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）证明是的中位线，得，，继而推出，，根据相似三角形的判定即可得证；
（2）由（1）知：，根据平行四边形的判定即可得证；
（3）根据三角形中位线的性质推出，，继而得到，，由平行四边形的性质得，最后利用勾股定理可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴；
（2）由（1）知：，即，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（3）解：∵，，，
∴，
由（1）知：，，
∴，，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
在中，，
∴的长为．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
【题组训练3】如图， ABC中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在、上，与的交点为，且矩形长是宽的3倍．
(1)求证：；
(2)试求矩形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，
（1）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证；
（2）设设，，由相似三角形的性质可得，解方程求出即可求解；
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，，则，
∵；
∴，
解得，
这个矩形的周长；
【题组训练4】如图，在 ABC中，为边上一点，且，过点D作，交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
（1）根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证．
（2）由勾股定理求出，由已知可得根据得到，代入数值即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
【题组训练3】如图，在 ABC中，D是边上一点，且，
(1)求证：；
(2)若，，的面积为9，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)27
【分析】本题考查三角形相似的判定和性质．
（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出；
（2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为9，
∴，
∴的面积．
【题组训练6】如图，点D，E分别是 ABC边，上的点，点D在线段的垂直平分线上，，，
(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定，
对于（1），根据线段垂直平分线的性质得，再根据三角形内角和定理求出，可得结论；
对于（2），先根据“两角相等的两个三角形相似”得，可得，再结合等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）∵点D在线段的垂直平分线上，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴是等边三角形；
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴．
【题组训练7】如图，在 ABC中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为．
(1)求证：；
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)见解析
(2)，．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）根据等边对等角得，利用三角形外角和的性质得即有相似成立；
（2）利用第一问相似三角形的性质对应边的比相等，列方程即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，．
【题组训练8】如图，是正方形的边上一点，是的中点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据正方形的性质，垂线的定义，得到，同角的余角相等，得到，即可得证；
（2）勾股定理求出的长，中点求出的长，相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵正方形的边长为，，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
由（1）知：，
∴，即：，
∴，
∴．
【题组训练9】如图，在 ABC中，，是的平分线．在边上取一点E，连接，使得．
(1)求证：；
(2)作，交于点F，连接．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线定义，等腰三角形性质得，即得；
（2）根据三线合一性质可得，根据平行线的分线段性质得，，根据三角形中位线性质得，，即得．
【详解】（1）证明：（1）∵是的平分线，
∴，
∵，∴，
∴
∴.
（2）∵，是的平分线，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
同理，，，
∴，，为的中位线，
故，
∴.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线分线段性质，三角形中位线性质，相似三角形的判定，是解题的关键．
【题组训练10】如图，在四边形中，，点F，E分别在线段，上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）利用，可证明；
（2）证明，结合等量代换，证明即可．
本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题组训练11】如图，在中，为直角，于D．在中，E是的中点．的延长线与的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，
（1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得，可知，再根据，可得，接下来可根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案；
（2）根据相似三角形对应边成比例可得答案．
【详解】（1）在中，点E是的中点，
∴，
即，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
即．
∵，
∴，
解得．
【题组训练12】菱形中，对角线，相交于点O，E为边中点．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题主要考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据菱形的性质得出，进而利用相似三角形的判定与性质得出比例解答即可；
（2）根据菱形的性质得出，进而利用线段的关系解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴．
∴．
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴，
∴
∵菱形中，，
∴，
∴，
∴的长为2．
【题组训练13】已知： 如图， 在四边形中， ，．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；
（2）先根据相似三角形的性质，得出，，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．
【详解】（1），
，
即，
又，
（2），
，
，
又，
，
，
，
即，
，
，
即
【题组训练14】如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点．
(1)证明：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解答关键．
（1）根据题意证明，可得到三角形相似；
（2）根据菱形的性质易得到，，由勾股定理求出，进而得到和的关系，然后用（1）的结论来求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，．
∵，
∴，，
∴．
∵点为的中点，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴．
【题组训练15】如图，在 ABC中，D是边上一点，且，延长到点E，使，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求证：点C是的中点；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形相似：
（1）证明，利用相似比即可得出结论；
（2）证明，列出比例式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C是的中点；
（2）由（1）知：，点C是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题组训练16】如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）利用等角的余角相等，求得，即可证明；
（2）由得到，利用勾股定理求得，，过点B作，交的延长线于H，证明，求得，，证明，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵为的中线，
∴，
∴，
过点B作，交的延长线于H，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题组训练17】如图，在 ABC中，是角平分线，点E在边上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理：
（1）根据是的角平分线可得出，由可得出，进而即可证出；
（2）由可得出，根据三角形内角和定理及平角等于，即可得出，结合公共角相等可得出，再利用相似三角形的性质即可求出的长度即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题组训练18】如图，在中，对角线相交于点，过点B作交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证，得是菱形，再由菱形的性质得，可得，再由，可得，从而得出，然后证即可；
（2）由勾股定理得，由，得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
是菱形，
，
．
，
，
，
，
，
．
（2）解：是菱形，
，
，
，
，
即，
解得，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
【题组训练19】如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键．
（1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，，，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
【题组训练20】如图，已知：，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理，即可证得．
（2）连接，连接，交于点H，先证明四边形是平行四边形，再证得，即可证得，则得到，又由，即可证得四边形为菱形．
【详解】（1）解：证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：证明：连接，连接，交于点H，
如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平行四边形中，，
∴，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的判定以及平行线分线段成比例定理等．
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