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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，交于交于D，A，B，以下结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理推论，熟记并灵活运用平行线分线段成比例定理及推论是解题关键．
根据平行线分线段成比例定理推论逐项判断即可得．
【详解】解：由平行线分线段成比例定理推论得：，则A项正确；
由得：，
∴，即，
∴，则B项正确，C项错误；
由得：，
∴，即，
∴，则D项正确；
故选：C．
【题组训练2】如图：在 ABC中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键．
根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解．
【详解】解：∵，
∴，故A不合题意；
∵，
∴，故B不合题意；
∵，
∴，故C不合题意；
∵，
不能判断与平行，故D符合题意．
故选：D．
【题组训练3】如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点G，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应线段列出比例式是解题的关键．根据，，可得，，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【题组训练4】如图，在 ABC中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理．先过点作交于，由平行线分线段成比例可得，再根据，得出，最后根据，即可得出答案．
【详解】解：过点作交于，
是边上中线，
，即，
又，
，
，
；
故选：D
【题组训练5】如图，已知，若，，，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
故选：C．
【题组训练6】如图，，，，则的长为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，比较简单．
根据平行线分线段成比例定理得出，即可解答．
【详解】解：，
，
，，，
，
，
．
故选B．
【题组训练7】如图， ABC中，是边上的中线，是上一点，有，连接，并延长交于，则等于
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题目告诉的值，可以过点作的平行线，得到的中点，再根据平行线分线段成比例定理得到，可以求出的值．过点作的平行线，得到的中点，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值．
【详解】解：如图：过点作交于，
是边上的中线，
，
，
．
．
故选：C．
【题组训练8】如图，在 ABC中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
作与交于点，先得到，，再算出，进而知道，从而可知．
【详解】解：如图，作与交于点，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【题组训练9】如图，是 ABC的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线分线段成比例，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．取的中点H，连接，即可得出是的中位线，由中位线定理即可得出 ，由平行线分线段成比例即可得出，即可得出点F是的中点，进而可得出．
【详解】解：取的中点H，连接，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴．
∴点F是的中点，
∴，
∴，
故答案为：2．
【题组训练10】如图，直线，且直线分别截直线于点，截直线于点．
(1)若，，，求的长；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)6
(2)25
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．
（1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长；
（2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，，，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【题组训练11】如图，C为线段上一点，作等腰和等腰，，，．在线段上取一点F，使，连接，．
(1)求证：；
(2)若，的延长线恰好经过的中点G，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等腰三角形的性质得出，，证明出得出，再证明即可得证；
（2）由（1）得．作交于点H，，设，则，，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解．
【详解】（1）解：∵、是等腰三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2）解：由（1）得．
作交于点H，
，，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
解得（舍）或，
∴．
【题组训练12】如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值．
【答案】．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案．
【详解】解：如图，设与的交点为H，
∵点M是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题组训练13】如图，正方形边长为3，G，F是对角线的三等分点，点E在边上，，连接．
(1)求的长．
(2)试判断与之间的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理的逆定理等：
（1）过点F作于点M，于点N，先证四边形为正方形，根据得出，最后由勾股定理解即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，即可得出．
【详解】（1）解：过点F作于点M，于点N，
∵四边形为正方形，
∴，
∴
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵点F为三等分点，
∴，
∴，
又∵G为中点，，
∴，
∴，
在中，．
（2）解：，
理由：连接，
在中，，
由（1）知，
∴，
在中，，
∴，
∴为直角三角形，
∴．
【题组训练14】如图，在 ABC中，，，．连接交于点，求的值 ．
【答案】
【分析】本题主要考查比例线段的基本性质，根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段的比转化为面积的比是解题的关键．
【详解】解： 如图，连接、，
则，
，，，
，，，，
．
【题组训练15】如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线分线段成比例定理、切线长定理，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解此题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得出，从而得出，根据余角的性质得出，即可得出结论；
（2）先得出是的切线，根据切线长定理得出，从而得出，根据平行线分线段成比例定理得出，求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
∵，
∴，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
，为半径，
是的切线，
又是的切线，
，，
，
∵，
，
，
，
，
．
【题组训练16】如图，在中，对角线和相交于点，，，．
(1)求证：是菱形；
(2)延长至点，连接交于点，若．求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，则，即可得出结论；
（2）过点作，交于点，则，得，由菱形的性质得，，再证，得，然后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
是直角三角形，且，
，
是菱形；
（2）解：如图，过点作，交于点，
则，
，
由（1）可知，是菱形，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
【题组训练17】如图，是 ABC的中线．
(1)若为的中点，射线交于点，求；
(2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）过点作，交于点．由得出，结合是 ABC的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解；
（2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点作，交于点．
，，
，
又是 ABC的中线，
，
．
，
，
又为的中点，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，交于点．
，，
，
，
，即，
由（1）知，
，
，
．
【题组训练18】已知，如图，在中，，垂足为，，点为的中点，点为上的一点，连接、、，．
(1)若，，求长；
(2)证明：；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）求出，求出，根据勾股定理求出即可；
（2）直接用证即可；
（3）证，推出，求出为中点，得出等腰三角形，根据性质得出是的角平分线，即可得出答案．
【详解】（1）解：，点为的中点，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：；
（2）证明：在和中，
，
，
（3）证明：过作于，
，，
，
，
，，
，
，
即为中点，
，
∴
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，关键是证解答．
【题组训练19】如图，是的直径，C为上一点，连接，．平分，点D在上，连接，交于点E．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)2
(2)见解析
【分析】（1）过点O作于点F，利用垂径定理可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得，进而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，进行计算即可解答；
（2）利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，然后利用平行线分线段成比例可得，从而利用三角形的中位线定理即可解答．
【详解】（1）解：过点O作于点F，
∴，，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴的长为；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【题组训练20】如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在、上，且，、的延长线交于点M，、的延长线交于点N，连接．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为6，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证即可得到.
（2）过点O作于点H，由正方形的边长为6且，可知，，再根据勾股定理得，再由直角三角形性质知．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
，
，
，
（ASA），
；
（2）解：如图，过点O作于点H，
正方形的边长为6，
，
E为的中点，，
，
，
，
，
则，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角，以及全等三角形的性质．
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，交于交于D，A，B，以下结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练2】如图：在 ABC中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练3】如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点G，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【题组训练4】如图，在 ABC中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（ ）
A． B． C． D．
【题组训练5】如图，已知，若，，，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【题组训练6】如图，，，，则的长为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．无法确定
【题组训练7】如图， ABC中，是边上的中线，是上一点，有，连接，并延长交于，则等于
A． B． C． D．
【题组训练8】如图，在 ABC中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为 ．
【题组训练9】如图，是 ABC的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ．
【题组训练10】如图，直线，且直线分别截直线于点，截直线于点．
(1)若，，，求的长；
(2)若，，求的长．
【题组训练11】如图，C为线段上一点，作等腰和等腰，，，．在线段上取一点F，使，连接，．
(1)求证：；
(2)若，的延长线恰好经过的中点G，求的长．
【题组训练12】如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值．
【题组训练13】如图，正方形边长为3，G，F是对角线的三等分点，点E在边上，，连接．
(1)求的长．
(2)试判断与之间的位置关系，并说明理由．
【题组训练14】如图，在 ABC中，，，．连接交于点，求的值 ．
【题组训练15】如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，求的长．
【题组训练16】如图，在中，对角线和相交于点，，，．
(1)求证：是菱形；
(2)延长至点，连接交于点，若．求的值．
【题组训练17】如图，是 ABC的中线．
(1)若为的中点，射线交于点，求；
(2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ．
【题组训练18】已知，如图，在中，，垂足为，，点为的中点，点为上的一点，连接、、，．
(1)若，，求长；
(2)证明：；
(3)求证：．
【题组训练19】如图，是的直径，C为上一点，连接，．平分，点D在上，连接，交于点E．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
【题组训练20】如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在、上，且，、的延长线交于点M，、的延长线交于点N，连接．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为6，，求的长．
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