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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（ ）．
A． B． C． D．
【题组训练2】鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（ ）
A． B． C． D．
【题组训练3】线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【题组训练4】如图，在一片树叶中，为的黄金分割点，如果的长度为，那么较短线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练5】如图，点是线段的黄金分割点)，则下列结论中正确的是( )
A． B．
C． D．
【题组训练6】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割数，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100厘米则其身高约是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练7】已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么C是线段的黄金分割点
B．如果，那么C是线段的黄金分割点
C．如果，那么C是线段的黄金分割点
D．如果，那么叫做黄金比
【题组训练8】已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练9】在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）．
A． B． C． D．3
【题组训练10】《几何原本》中有一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，延长至点F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【题组训练11】如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ）
A． B． C． D．
【题组训练12】唢呐是山西八大套的乐器之一．如图．一个中号唢呐的长约为．若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰．则该装饰与吹口的距离为（ ）
A．B． C． D．
【题组训练13】如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 ．（结果保留根号）
【题组训练14】黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为 ．
【题组训练15】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为 ．
【题组训练16】某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为5米，则车头与后视镜的水平距离约为 米．（提示：黄金分割比）
【题组训练17】如果一个矩形中，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形中，，分别为边上的点，若为黄金矩形，则 ．
【题组训练18】今年为庆祝建平西校建校周年，学校举办了一场大型的“”文艺汇演活动，汇演舞台的形状为矩形，宽度为米，如果主持人站立的位置是宽度的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿方向走到主持的位置至少需走 米
【题组训练19】（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）；
①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P．
（2）求证：点P是线段的黄金分割点．
【题组训练20】综合与实践．实践主题：黄金分割数．
(1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
(2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点是线段的黄金分割点是解答关键．
利用黄金分割的定义来进行计算求解．
【详解】解：为的黄金分割点，，
．
故选：C．
【题组训练2】鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点，进行判断即可．
【详解】解：∵P是的黄金分割点（），
∴；
故选A．
【题组训练3】线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查了黄金分割，设C点为的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当时，米；当时，米，则米，从而确定她至少走的路程．
【详解】解：设C点为的黄金分割点，
当时，如图，
根据黄金分割点的定义得，，
即，，
整理得，，
解得，，（舍去），
∴米；
当时，同理可得，米，
∴米，
∵
∴主持人至少走米才最理想．
故选：C．
【题组训练4】如图，在一片树叶中，为的黄金分割点，如果的长度为，那么较短线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可．
【详解】解：由题知，P为的黄金分割点，
又因为，
，
所以，
故选：D．
【题组训练5】如图，点是线段的黄金分割点)，则下列结论中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了黄金分割的定义：把线段分成两条线段和 ，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割点的定义，知为较长线段；则，进而判断即可．
【详解】解：因为点是线段的黄金分割点)，
所以，，
故选：C
【题组训练6】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割数，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100厘米则其身高约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割，列出比例式，进行求解即可．
【详解】解：设最美人体的头顶至肚脐的长度为，
由题意，得：，
∴，
∴人的身高为：；
故选B．
【题组训练7】已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么C是线段的黄金分割点
B．如果，那么C是线段的黄金分割点
C．如果，那么C是线段的黄金分割点
D．如果，那么叫做黄金比
【答案】D
【分析】本题属于概念理解类题目，解题的关键是掌握黄金分割的定义“若点C把线段分成两条线段和（），如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，且”；根据黄金分割的定义，分别对各个选项进行判断，问题即可得解．
【详解】解：根据黄金分割的定义可知A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意．
故选：D．
【题组训练8】已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了黄金分割：短线段与长线段的比等于长线段与整个线段的比，其比值为；据此逐项计算即可作出判断．
【详解】解：∵、是线段上的两个黄金分割点，其中，如图，
∴，，
故选项A正确，选项B错误；
∵，
∴，
∴，
故选项C正确；
∵，
∴，
∴；
故选项D正确；
故选：B．
【题组训练9】在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
根据点是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
【详解】解：∵点是的黄金分割点，即，
，
，
米，
故选：A．
【题组训练10】《几何原本》中有一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，延长至点F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，线段的黄金分割，熟记正方形的性质是解答此题的关键．
根据正方形的性质及黄金分割的定义的得，进而得到．
【详解】解：由题意得，，
∵是线段的黄金分割点，
∴，
∵，
∴．
故选：C ．
【题组训练11】如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相黄金分割，根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可．
【详解】解：∵点是的黄金分割点，
∴
∵四边形为正方形，
∴，
设，，
∴
∴（负值舍去）
∴
故选：B．
【题组训练12】唢呐是山西八大套的乐器之一．如图．一个中号唢呐的长约为．若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰．则该装饰与吹口的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了黄金分割点，根据黄金分割点得，进而可得出．
【详解】解： ∵点P为靠近点B的黄金分割点，
∴，即，
∴，
故选：A．
【题组训练13】如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割点的知识，理解并掌握黄金分割点的定义和性质是解题关键．设，则，利用黄金分割点可以得到成比例线段，可知，代入数值并整理，解方程即可获得答案．
【详解】解：∵两点都是线段的黄金分割点，
设，则，
∴，
∴，
整理可得，
解得，（舍去），
∴的长为．
故答案为：．
【题组训练14】黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握黄金比是解题的关键．设，则，根据黄金分割的定义可得，由此列出方程求解即可．
【详解】解：设，则，
由题意可得，，
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
．
故答案为：．
【题组训练15】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果．
【详解】解：设宽为，
∵宽与长的比是，
∴长为：，
由折叠的性质可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
变形得：，
∴，
故答案为∶．
【题组训练16】某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为5米，则车头与后视镜的水平距离约为 米．（提示：黄金分割比）
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割比，即可求解．
【详解】解：汽车后视镜设计为整个车身黄金分割点的位置，该车车身总长约为5米，
（米），
（米），
车头与后视镜的水平距离约为米，
故答案为：．
【题组训练17】如果一个矩形中，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形中，，分别为边上的点，若为黄金矩形，则 ．
【答案】
【分析】本题考查黄金分割定理，矩形的性质，由四边形为黄金矩形，则，求出，，则，然后由矩形的性质和线段和差即可求解，掌握黄金分割定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为黄金矩形，
∴，
∴
∴，，
∴，
∵四边形和为矩形，
∴，，
∴，即，
故答案为：．
【题组训练18】今年为庆祝建平西校建校周年，学校举办了一场大型的“”文艺汇演活动，汇演舞台的形状为矩形，宽度为米，如果主持人站立的位置是宽度的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿方向走到主持的位置至少需走 米
【答案】/
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．设主持的位置为点，根据黄金分割点的定义求出的长，再求出的长即可．
【详解】解：设主持的位置为点，
由题意可知，点为线段米的黄金分割点，且，
米，
米，
故答案为：
【题组训练19】（1）已知线段，请按照下面的作法画出符合条件的图形（保留作图痕迹）；
①过点B作；②在上截取，连接，③以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点N；④以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点P．
（2）求证：点P是线段的黄金分割点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】此题考查了基本作图、勾股定理、黄金分割点等知识．
（1）按照作图步骤作出图形即可；
（2）设长为x，则长为，勾股定理求出则，则，得到，则，即可证明结论．
【详解】（1）如图，即为所求，
（2）证明：设长为x，则长为，
，
．
，
，
，
，
即点P是线段的黄金分割点．
【题组训练20】综合与实践．实践主题：黄金分割数．
(1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
(2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键．
（1）根据比例的性质得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案．
（2）则令“千斤”下面一截琴弦长为，利用黄金分割数的定义，得出，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
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