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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，四边形内接于为直径，于．
(1)求的半径；
(2)求四边形的面积；
(3)E是线段上一点，，连接并延长交于F，求的长．
【题组训练2】如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，．
(1)求证：；
(2)如果．
①求的长；
②若，求的长．
【题组训练3】已知，如图，，为射线上一点，，，，射线、相交于；
(1)如图，①求证：；
②若，，求的值；
(2)如图，若，，直接写出的值．
【题组训练4】如图，平行四边形中，与相交于点O，点P为中点，交于点E，连接，．
(1)求证：平行四边形为菱形；
(2)求的值；
(3)若，，求平行四边形的面积．
【题组训练5】如图， ABC内接于，是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径和的长．
【题组训练6】如图，为的直径，点C是弧的中点，过点C作射线垂线，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，，求的长．
【题组训练7】在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，过点作，且，连接．
(1)如图①，连接与，交于点．
①求证：；
②求证：；
(2)如图②，当时，求证：，，三点在同一条直线上．
【题组训练8】如图，在中，，是的直径，与边交于点，为的中点，连接，与交于点．
(1)若，求的大小；
(2)求证：；
(3)若，，求的面积．
【题组训练9】如图，点、分别在的边、上，且，，连接，点是线段的中点，的延长线与的延长线交与点G，交于H．
(1)求证：；
(2)填空：
①若，则________；
②若，则_______．
【题组训练10】如图，正方形中，对角线相交于点O，E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F，交于点M，连接交于点N，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【题组训练11】在 ABC中，，点是上一点，过点作于点．
(1)如图1，证明：；
(2)已知平分，点是上一点，与交于点，，．
①如图2，当时，求的值；
②如图3，当点为的中点时，求的值．
【题组训练12】如图，已知是的直径，弦于点，弦于点，与交于点，，的延长线交于点．连接，．
(1)直接写出图中所有与相等的角；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【题组训练13】如图， ABC为锐角三角形，以为直径的圆O交于点E，交于点与交于点F．
(1)若，求的长；
(2)若，求的值．
【题组训练14】如图，点H是正方形对角线延长线上一点，，，射线交于点G，交延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长度．
【题组训练15】如图，点E，F分别是正方形的对角线所在直线上的两点，连接，，，，且．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若G为的中点，连接交于点O，，求的比值．
【题组训练16】如图，在菱形中，对角线交于点O，点E是的中点，连接并延长到点F，使得．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)连接，若，，求
【题组训练17】已知：在正方形中，M在上，点N在上，把正方形沿翻折，使点B落在边上的点E处，点C的对应点为P，交于F．
(1)连，求证：平分；
(2)过点B作交于点G，连接交与点H．
①求证：；
②若，求的值．
【题组训练18】如图，等腰内接于，．点是劣弧上的动点，连接，与相交于点．
(1)如图1，若，，
①求的度数；
②若，求的值．
(2)如图2，当刚好过圆心，且，时，求的长．
【题组训练19】如图，在锐角 ABC中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点，连接．的平分线交于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)试探究线段之间的数量关系；
(3)若，求的长．
【题组训练20】已知，如图，在中，，，点为延长线上一点，连接，过点C作于点F，交、于M、N两点．
(1)若线段、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
①求证：；
②求证：；
(2)若，，求的长．
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，四边形内接于为直径，于．
(1)求的半径；
(2)求四边形的面积；
(3)E是线段上一点，，连接并延长交于F，求的长．
【答案】(1)5
(2)32
(3)
【分析】（1）连接，设半径为r，由勾股定理求出的半径即可；
（2）过B作，交延长线于点G，利用角平分线性质和三角形全等求出和长，再代入数据计算即可；
（3）连接DF，过C作于点G，则，由勾股定理求出，，然后分别证明，，最后根据性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，设半径为r，
在中，，由勾股定理得：
，
解得：，
∴的半径为5；
（2）如图，过B作，交延长线于点G，
∵，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，连接DF，过C作于点G，则，
∵，，
∴OH=3，
∴，同理得：，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理及推论，圆周角定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【题组训练2】如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，．
(1)求证：；
(2)如果．
①求的长；
②若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①；②5
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线截线段成比例等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明得到，再等量代换即可得证；
（2）①求出，，证明得到，再证明得到，从而得到，从而求出，从而得到；
②利用平行线截线段成比例得到，从而得到，利用得到，代入已知求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，即．
（2）①解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴
∴
∴
解得：(舍去负值)
∴
②解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【题组训练3】已知，如图，，为射线上一点，，，，射线、相交于；
(1)如图，①求证：；
②若，，求的值；
(2)如图，若，，直接写出的值．
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)
【分析】（）①由等腰直角三角形的性质可得，设，，，则，由等腰三角形的性质可得，得到，同理得到，根据可得，即得到，即可求证；②设，可得，由勾股定理得，进而得到，得到，，即得，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（）同理（）解答即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴，
设，，，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
②设，由①得，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【题组训练4】如图，平行四边形中，与相交于点O，点P为中点，交于点E，连接，．
(1)求证：平行四边形为菱形；
(2)求的值；
(3)若，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)平行四边形的面积为．
【分析】（1）先利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到，再根据菱形的判定可证得结论；
（2）利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例得到，设，则，，则有，进而求解即可；
（3）设，则，利用勾股定理列方程求解x值，再根据、，进一步计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：∵平行四边形对角线的交点为O，
，，，
，
，
∵P为的中点，
，
设，
则，，
，
解得：，
，
，
；
（3）解：设，则，，
在中，
，
在中，
，
，
解得：负值舍去，
，，
，，
菱形的面积．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
【题组训练5】如图， ABC内接于，是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径和的长．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析
(2)的半径为，
【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．
（1）直线与相切，理由是：连接，先证出，根据圆周角定理可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据圆的切线的判定即可得；
（2）设的半径为，则，在中，利用勾股定理即可得的值；再证出，根据相似三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得的长．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
又∵是的半径，
∴直线与相切．
（2）解：设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，
则的半径为，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
【题组训练6】如图，为的直径，点C是弧的中点，过点C作射线垂线，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，可证明，可得，进而可得出结论；
（2）连接，证明，得，即可求得长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理及推论，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
【题组训练7】在矩形中，，，点为边上一个动点，连接，过点作，且，连接．
(1)如图①，连接与，交于点．
①求证：；
②求证：；
(2)如图②，当时，求证：，，三点在同一条直线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．
（1）①根据，，可证明结论；
②根据①中相似得，则，，得，从而证明结论；
（2）过点作，交延长线于点，连接，，由形相似知，得，得，，证明，得，从而证明结论．
【详解】（1）证明：①四边形为矩形，，
，
，，，
，
∴，
；
②四边形为矩形，，
，
，
由①得，
，
又，
，
，
∴
又，
，
，
，
∴，
；
（2）证明：如图②，过点作，交延长线于点，连接，，
则，
四边形为矩形，，，
，，，
∴，
则，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∴；
，
，
，
，，三点在同一条直线上．
【题组训练8】如图，在中，，是的直径，与边交于点，为的中点，连接，与交于点．
(1)若，求的大小；
(2)求证：；
(3)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，圆周角定理及其推论，直角三角形两锐角互余求解即可；
（2）根据圆周角定理及其推论，三角形外角的性质证明，即可得出结论；
（3）连接，设，则，，证明，得，即，解得，又由勾股定理，得，即，解得：，则， ，，由勾股定理，得，得到，继而可求得，由（2）知，得出，然后根据三角形中线性质由求解即可．
【详解】（1）解：连接，如图，
，
∴，
∴，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴．
（2）解：如图，
，
∴
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
．
（3）解：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵
∴
，即，
∴
由勾股定理，得，即
解得：，
∴， ，，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知，
∴
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识．熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
【题组训练9】如图，点、分别在的边、上，且，，连接，点是线段的中点，的延长线与的延长线交与点G，交于H．
(1)求证：；
(2)填空：
①若，则________；
②若，则_______．
【答案】(1)见解析；
(2)①18；②1
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造平行四边形是解答本题的关键．
（1）先证明，推出，得到，得，可知，从而可证明；
（2）①由，推出，再证明，得到，然后利用相似三角形的性质即可求解；
②设，得到，，由，推出，列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：18；
②由①得，
设，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴，
解得，即，
故答案为：1．
【题组训练10】如图，正方形中，对角线相交于点O，E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F，交于点M，连接交于点N，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)的长为
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键。
（1）如图：连接，先利用正方形的性质可证得，再根据三角形中位线的性质可得、，易证，最后根据相似三角形的性质即可证明结论；
（2）先证明可得，进而得到，再结合、可证，再证明可得，然后结合正方形的性质即可证明结论；
（3）由勾股定理可得，再结合正方形的性质可得，再结合，运用相似三角形的性质即可解答。
【详解】（1）证明：如图：连接，
∵四边形是正方形，对角线相交于点O，E为边的中点，
，，，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴，
，
，
.
（2）证明：由（1）得，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，，且，
，
，
,
（3）解：，，
，
，
,
，
，
的长为.
【题组训练11】在 ABC中，，点是上一点，过点作于点．
(1)如图1，证明：；
(2)已知平分，点是上一点，与交于点，，．
①如图2，当时，求的值；
②如图3，当点为的中点时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①，②
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分的性质定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意可证，由此即可求证；
（2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得即，可证，由此即可求解；②根据，平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点作，与延长线交于点，如图，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
，
，即；
（2）解：①在中，，
平分，
，
，，
，即，
，
；
②，，平分，
，
又，，
，
，则，
由（1）可知，则，且，
，
解得，
过点作，与延长线交于点，如图，则，
，，
又点是的中点，即，
，
，
，则，
．
【题组训练12】如图，已知是的直径，弦于点，弦于点，与交于点，，的延长线交于点．连接，．
(1)直接写出图中所有与相等的角；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)有3个，分别是，，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由垂径定理推出垂直平分，因此，得到，由余角的性质得到，由圆周角定理得，即可证明；据此即可求解；
（2）由和，可证明；
（3）由，推出，令，则，得到，由勾股定理求出，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：直径，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴与相等的角有3个，分别是，，；
（2）证明：由（1）得，
∵，
∴；
（3）解：，，
，
，
令，则，
，
，
，
，
或，
，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，关键是由推出，由勾股定理列出关于的方程．
【题组训练13】如图， ABC为锐角三角形，以为直径的圆O交于点E，交于点与交于点F．
(1)若，求的长；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．
（1）先证，得，进而得，再由，得，计算可得答案；
（2）作的平分线交于点G，得，进而得，，再由平行线的性质得，设，则，再由，得，再由勾股定理得关于x的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∵，
∴，
解得，
，
∴，
∴，即，
；
（2）解：作的平分线交于点G，连接，
∴，
又∵，
∴，
，，
，
设，则，
又
，
，
即，
在中，，
在中，，
，
解得：，
．
【题组训练14】如图，点H是正方形对角线延长线上一点，，，射线交于点G，交延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，求得，又证明是等腰直角三角形，求得，再证明，推出，由等腰直角三角形的性质求得，据此即可证明结论成立；
（2）过点E作，设．利用（1）的结论求得，在中，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：过点E作，
则，
∴；
设．
∵，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，负值已舍去．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【题组训练15】如图，点E，F分别是正方形的对角线所在直线上的两点，连接，，，，且．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若G为的中点，连接交于点O，，求的比值．
【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）连接交于，根据正方形的性质可得，，即，再结合等腰三角形三线合一即可证明结论；
（2）在正方形中，，，求得，再证得，可知，，，即可求得，则，，即可求解．
【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下：
连接交于，
∵四边形是正方形，
∴，，即，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形；
（2）在正方形中，，，
则，
∵点为的中点，
∴，
又∵，则，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
则，，
∴．
【题组训练16】如图，在菱形中，对角线交于点O，点E是的中点，连接并延长到点F，使得．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)连接，若，，求
【答案】(1)四边形的形状为矩形，理由见解析
(2)
【分析】（1）由四边形为菱形可知O为的中点，又E为中点，故为的中位线．先证明四边形为平行四边形，再证明，又，从而得到四边形的对角线相等且互相平分证明为矩形；
（2）先证明．得比例式，即，解出即可．
【详解】（1）解：四边形的形状为矩形，理由如下：
∵四边形为菱形，
∴，对角线分别平分一组对角，
∴．
由菱形的性质可知O为的中点，
又∵E为中点，
故为的中位线，
∴，．
∵，
又，
∴．
∴，
∴．
故四边形为平行四边形．
∴，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又，
故四边形为矩形（对角线相等且互相平分的四边形为矩形）．
（2）解：如图所示，设相交于点G，
由（1）中可知，．
又∵，
即．
∴，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
即，
即，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【题组训练17】已知：在正方形中，M在上，点N在上，把正方形沿翻折，使点B落在边上的点E处，点C的对应点为P，交于F．
(1)连，求证：平分；
(2)过点B作交于点G，连接交与点H．
①求证：；
②若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）正方形的性质，推出，对称性得到，进而得到，即可得证；
（2）①过点B作交于点Q，则，证明，得到，再证明，得到，进而推出，根据对称，得到，进而求出即可；②证明，得到，证明，得到，过点作，交于点，证明，得到，推出，设，则，，得到，进一步求解即可．
【详解】（1）证明：正方形中，
∴
由对称性得
∴
∴平分
（2）①如图1，过点B作交于点Q，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴
②如图2，∵翻折，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
由①可知：，
过点作，交于点，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
设，则，
∴
∴．
【点睛】本题考查正方形与折叠，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等和相似三角形，是解题的关键．
【题组训练18】如图，等腰内接于，．点是劣弧上的动点，连接，与相交于点．
(1)如图1，若，，
①求的度数；
②若，求的值．
(2)如图2，当刚好过圆心，且，时，求的长．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用圆周角定理，三角形内角和定理即可得到各个角之间的关系，再由等腰三角形性质即可得到答案；②由①中的结论得到，，推出，由可设，，证明，得到，再证明，得到，最后根据，即可求解；
（2）延长至点，使，连接，设，则，根据勾股定理得到，利用圆周角定理，得到，根据相似三角形的性质得到，在中，应用勾股定理求出，进而表示出，在中，根据勾股定理列出等量关系式，求出的值，即可求解．
【详解】（1）解：①，，
，
，
，
，
；
②由①可知，，，
，
，
，
，
设，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
；
（2）延长至点，使，连接，
，，
设，则，
刚好过圆心，
，
在中，，
，，，
，
，即，
，
在中，，
，
在中，，
即，
解得：，
．
【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握圆的性质，灵活运用三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．
【题组训练19】如图，在锐角 ABC中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点，连接．的平分线交于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)试探究线段之间的数量关系；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用，得到，利用等角的余角相等，即可得证；
（2）过点作，交于点，证明，得到，进而推出线段，，之间的数量关系；
（3）证明，得到，利用，求出的长，进而求出的长，过点作，垂足为，证明，求出的长，进而求出的长，利用平行线分线段成比例，求出的长，进而求出的长，作，交于点，得到，求出的长，再证明，求出的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作，交于点，
则：，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
过点作，垂足为，
则：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作，交于点，
则：，
∴，即：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理．本题的综合性较强，难度较大，正确的添加辅助线证明三角形的全等和相似，是解题的关键．
【题组训练20】已知，如图，在中，，，点为延长线上一点，连接，过点C作于点F，交、于M、N两点．
(1)若线段、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
①求证：；
②求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)①详见解析②详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，
（1）①根据根的判别式，判断出；②由①可知，得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）由②可知，，根据相似三角形的性质得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案；
熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】（1）由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴一元二次方程有两个相等实根，
∴；
由①可知，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，即；
（2）由②可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
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