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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在足够长的四边形纸片中，，∠D=90°，．将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．连接．
独立思考：
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
深度探究：
(2)已知点是线段上的一点(不与端点重合)，希望小组将该纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在线段上，点的对应点落在线段上，折痕交于点，交于点，连接．在此基础上他们提出如下问题，请你解答：
①如图2，若点是的中点，猜想与的数量关系．并证明你的结论；
②若．且，请直接写出的值．
【题组训练2】【定义】
平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．
【初步感知】
如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值；
【深入探究】
如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值；
【拓展延伸】
在 ABC中，，，以 ABC为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值．
【题组训练3】【数学实验】
将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，将其中一张纸片绕这个顶点旋转，探究图形旋转的性质．如图1，已知直角三角形纸片和中，，，．
(1)【感知】
如图，在 ADE绕点旋转过程中，若连接，，求的值．
(2)【探究】
在 ADE绕点旋转过程中，当点恰好落在 ABC的中线上时，求的长．
(3)【拓展】在 ADE绕点旋转过程中，连接，，试探究 BDE与 ABC能否相似，若能，请求出此时 BDE的面积；若不能，请说明理由．
【题组训练4】【问题探究】
（1）如图1，在菱形中，，，为的中点，为边上的动点，则、两点之间的距离最小为 ；
（2）如图2，在 ABC中，，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边、的中点．求证：；
【问题解决】
（3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为千米，对角线为该基地内的一条小路，点为小路上一个采购点，且．管理人员计划在小路上确定一点（不与点、重合），连接，以线段为腰向右扩建一个等腰直角三角形区域（），用来种植新品有机蔬菜，为临时仓库，其中是线段的中点．现要沿修建蔬菜运输轨道，为节省成本，要使运输轨道的距离尽可能的短，请问运输轨道是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【题组训练5】【问题呈现】
如图①， ABC和 ADE都是等边三角形，连接．求证：．
【类比探究】
如图②， ABC和 ADE都是等腰直角三角形，，连接、．请直接写出 的值．
【拓展提升】
如图③， ABC和 ADE都是直角三角形，，且 连接．
（1）求 的值；
（2）延长交于点F，交于点G．求证：．
【题组训练6】如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，将绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现
①当时，______；②当时，______；
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)问题解决
当，旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段AD的长．
【题组训练7】新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如： ABC三边的长分别为，，．因为，所以 ABC是比例三角形．
【问题提出】
（1）已知 ABC中，，， 判断是否为比例三角形．
【问题探究】
（2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，．
①求证：；
②求证：是比例三角形．
【问题延伸】
（3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【题组训练8】如图，
(1)如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：；
(2)如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由；
(3)如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为 ．
【题组训练9】如图，，点在的角平分线上，于点．
(1)【操作判断】
如图①，过点作于点，在图①中画出，则四边形的形状是______；
(2)【问题探究】
如图②，点在线段上，连接、．过点作交射线于点．试猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值．
【题组训练10】如图，在中，为斜边上的高，在射线上有一点，连接，作交射线于点．
【问题发现】
（1）如图甲所示，如果，则与的数量关系______（填“>”“<”或“=”）；
【类比探究】
（2）如图乙所示，如果改变中两直角边的比例，使得，则与还存在图甲中的关系吗？说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图丙所示，在中，如果已知，试求的长．
【题组训练11】如图1，已知四边形是菱形，G是线段上任意一点时，联结交于点F，过点F作交于点H，可以证明结论成立（不必证明）．
(1)探究：如图2，上述条件，若点G在的延长线上，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
(2)计算：若菱形中，，点G在直线上，且，联结交所在的直线于点F，过点F作交所在直线于点H，求与的长．
(3)发现：通过上述过程，你发现G在直线上，结论是否仍然成立？为什么？
【题组训练12】【初识图形】
AI
（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则______．
（2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，，求的值．
【类比探究】
（3）如图3，中，分别为、边上的点，，，为中点，连接，作交于点，交于．直接写出的长为________．
【拓展迁移】
（4）在矩形中，，，点分别为线段和线段边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，得到四边形，直线和直线分别交直线于点和点，且，．
①请直接写出线段的长________．
②若点分别为线段和线段边上的动点，满足．且直线始终经过一个定点，求的最大值________．
【题组训练13】（1）发现：如图①所示，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，．求的值．
（2）探究：如图②，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，，E为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于H，且，直线交直线于点P，求的长．
【题组训练14】【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： ．
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长．
【题组训练15】综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．
如图1，在直角三角形中，，，边的长为2．
(1)操作发现
操作：分别取边、的中点、，连接，则的比值为________．
(2)变换探究
将 ADE绕点逆时针旋转得到，连接、，得到和，直线与直线相交于点，在旋转过程中的比值是否发生变化？直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请就图2说明理由．
(3)拓展应用
在 ADE旋转过程中，当 BCF为等腰三角形时，请直接写出 BCF的面积．
【题组训练16】在矩形中，点P在上，，．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交、于点E、F，连接（如图1）．
(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求的长；
(2)探究：将直尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在整个过程中，
①的值是否发生变化？请说明理由；② 直接写出线段的中点所经过的路线长．
【题组训练17】如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)探究与的关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
【题组训练18】类比探究题：
【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角 ABC，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系．
【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______．
【题组训练19】问题背景：如图，在矩形中，点分别是的中点，连接，求证：．
问题探究：如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：．
问题拓展：如图，在“问题探究”的条件下，若，，求出的值．
【题组训练20】综合与实践：已知矩形和矩形，点E在边上，矩形在边上方，且，连接．
(1)【特例发现】如图1，当时，求的值；（提示：在边上取一点M，使，连接）
(2)【类比探究】如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论，并证明你的结论；
(3)【拓展应用】如图3，当时，连接，若，且，求的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在足够长的四边形纸片中，，∠D=90°，．将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．连接．
独立思考：
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
深度探究：
(2)已知点是线段上的一点(不与端点重合)，希望小组将该纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在线段上，点的对应点落在线段上，折痕交于点，交于点，连接．在此基础上他们提出如下问题，请你解答：
①如图2，若点是的中点，猜想与的数量关系．并证明你的结论；
②若．且，请直接写出的值．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）①，证明见解析；②
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质、菱形等知识，
（1）证明，即可求解；
（2）①证明，则，设得到则，即可求解；
②证明，根据①的思路即可求解．
【详解】解：（1）∵是翻折而成的，
故，，
，则，
，
则，，
而，
，
四边形为菱形；
（2）①是的中点，则，
，，
，
则，设
则菱形的边长为
则
则；
②设
，，
四边形为平行四边形，
，
，
菱形的边长为，
，
，
，
，
，
．
【题组训练2】【定义】
平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．
【初步感知】
如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值；
【深入探究】
如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值；
【拓展延伸】
在 ABC中，，，以 ABC为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值．
【答案】[初步感知]；[深入探究]或；[拓展延伸]或或
【分析】[初步感知]证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可；
[深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可；
[拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可．
【详解】[初步感知]解：∵为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意知，，
∴，
解得，，
∴；
[深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H，
同理，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，，
∴，整理得，，
解得，或（舍去）；
∴；
[拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解；
当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以 ABC为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以 ABC为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，
同理，，，
设，则，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以 ABC为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
综上所述：的值为或或．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键．
【题组训练3】【数学实验】
将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，将其中一张纸片绕这个顶点旋转，探究图形旋转的性质．如图1，已知直角三角形纸片和中，，，．
(1)【感知】
如图，在 ADE绕点旋转过程中，若连接，，求的值．
(2)【探究】
在 ADE绕点旋转过程中，当点恰好落在 ABC的中线上时，求的长．
(3)【拓展】在 ADE绕点旋转过程中，连接，，试探究 BDE与 ABC能否相似，若能，请求出此时 BDE的面积；若不能，请说明理由．
【答案】(1)2
(2)2
(3)能，或
【分析】（1）连接，，由含角的直角三角形的性质得到，由旋转的性质得到，进而得到，再利用相似三角形的性质求解；
（2）因为，根据含角的直角三角形的性质得到，当点恰好落在的中线上时，点与重合，利用垂直平分线的性质求解；
（3）存在两种情况，当点与在中点重合时，点在的延长线上，分别来求解．
【详解】（1）解：如图1，连接，，
∵，，
∴．
由旋转得，，，
，
∴，
，
∴的值是2．
（2）解：如图2，∵，
∴．
∵是的斜边上的中线，
∴，
∴，
∴当点恰好落在的中线上时，点与重合．
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴的长是2．
（3）解： BDE与 ABC能相似，
当点与在中点重合时，如图2，
则，，，
，
∴．
∵，，，
∴．
点在的延长线上，连接，如图3，
∵，
∴，
∴．
在和中
，
，
∴，
∴三点在同一条直线上．
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
综上所述， BDE与 ABC能相似，此时 BDE的面积为或．
【点睛】本题重点考查旋转的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，理解相关知识是解答关键．
【题组训练4】【问题探究】
（1）如图1，在菱形中，，，为的中点，为边上的动点，则、两点之间的距离最小为 ；
（2）如图2，在 ABC中，，，是线段上一动点（不与、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边、的中点．求证：；
【问题解决】
（3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为千米，对角线为该基地内的一条小路，点为小路上一个采购点，且．管理人员计划在小路上确定一点（不与点、重合），连接，以线段为腰向右扩建一个等腰直角三角形区域（），用来种植新品有机蔬菜，为临时仓库，其中是线段的中点．现要沿修建蔬菜运输轨道，为节省成本，要使运输轨道的距离尽可能的短，请问运输轨道是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，运输轨道的最小值为千米
【分析】（1）由垂线段最短可得，当时，取得最小值，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解；
（2）连接，根据含30度角的直角三角形的性质得出，同理可得，，证明，即可求解．
（3）取对角线的中点，连接，则，，同（2）的方法证明得出，，则当时，最小，此时是等腰直角三角形，，即可求解．
【详解】解：依题意，当时，取得最小值，
如图所示，过点作，
∵在菱形中，，
∴
∴
∵，为的中点，
∴
在中，，
∴
∴
（2）证明：如图，连接，
∵，，
∴
∵，，
∴
∴，
∴，
同理可得，，
∴
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴
（3）∵是等腰直角三角形，
∴，
如图3，取对角线的中点，连接，则，，
∴
由正方形的性质可得，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在与成的射线上运动，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，最小，
此时是等腰直角三角形，，
即运输轨道的最小值为千米．
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，本题难度较大，作出合适的辅助线是解题的关键．
【题组训练5】【问题呈现】
如图①， ABC和 ADE都是等边三角形，连接．求证：．
【类比探究】
如图②， ABC和 ADE都是等腰直角三角形，，连接、．请直接写出 的值．
【拓展提升】
如图③， ABC和 ADE都是直角三角形，，且 连接．
（1）求 的值；
（2）延长交于点F，交于点G．求证：．
【答案】【问题呈现】见解析；【类比探究】 ；【拓展提升】（1）；（2）见解析
【分析】问题呈现：由等边三角形的性质易得，由证明，则得；
类比探究：由等腰直角三角形及勾股定理得，且得，证明，即可求得的值；
拓展提升：（1）由已知条件得，得，，继而得，即可求得结果；
（2）由得，由，由三角形内角和即可得要证结论．
【问题呈现】证明：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
【类比探究】∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
【拓展提升】
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
∵，
∴，
(2)证明：由(1)得：，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题是三角形的综合，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性，灵活运用这些知识是解题的关键．
【题组训练6】如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，将绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现
①当时，______；②当时，______；
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)问题解决
当，旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段AD的长．
【答案】(1)①2；②2
(2)当时，的大小无变化，见解析
(3)10或6
【分析】本题考查的主要内容是图形的旋转，三角形的相似、中位线等，勾股定理等知识的综合，通过画图是弄清楚旋转后图形的位置关系是解题的关键．
（1）①当时，证明，得到，②当时，如图所示：同理①可得；
（2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故：，，的大小无变化；
（3）当旋转右侧，，由，得：；当在左侧，此时，，是的中位线，，由勾股定理的即可求解．
【详解】（1）解：①当时，
，
，
，
，即，
；
故答案为：2；
②当时，如图所示：
则三点共线，
，
，
，
，，
即，
；
故答案为：2；
（2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，
即：，而，
，
，
故：当时，的大小无变化；
（3）当旋转到如图位置，，三点共线时右侧），
由题意得：，
由，得：，
由勾股定理得：，
，
当旋转到如图位置，，三点共线时左侧），
此时，，是 ABC的中位线，
，
由勾股定理得：，
，
故线段的长为10或6．
【题组训练7】新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如： ABC三边的长分别为，，．因为，所以 ABC是比例三角形．
【问题提出】
（1）已知 ABC中，，， 判断是否为比例三角形．
【问题探究】
（2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，．
①求证：；
②求证：是比例三角形．
【问题延伸】
（3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1） ABC是比例三角形；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能，
【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程．
（1）根据比例三角形的概念判断即可；
（2）①利用两角对应相等，证明即可；
②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解；
（3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴
∴ ABC是比例三角形，
（2）①证明：四边形是矩形，
，
，
又，
；
②证明：由①知，
，即．
∵，
，
平分，
，
，
，
，
是比例三角形；
（3）能，
当点C与点Q重合时，，
，
，
，
，
，
，，
；
在中，，即，
解得或（舍去），
．
【题组训练8】如图，
(1)如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：；
(2)如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由；
(3)如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为 ．
【答案】(1)见解析
(2)是定值，
(3)3
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可证明；
（2）过点作交延长线于点，首先证明四边形为矩形，易得，，再证明，由相似三角形的性质可得，然好由勾股定理解得，即可证明，即可获得答案；
（3）过点作于点，交于点，作于点，证明，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，设，则，由勾股定理可得，然后由角平分线的性质定理可得，结合，可求得，证明，列出比例式求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）是定值，
如下图，过点作交延长线于点，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴为定值；
（3）如下图，过点作于点，交于点，作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴，，
设，则，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
即，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形判定与性质、相似三角的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，综合性较强，属于压轴题，解题关键是正确作出辅助线，综合运用相似三角形的性质解决问题．
【题组训练9】如图，，点在的角平分线上，于点．
(1)【操作判断】
如图①，过点作于点，在图①中画出，则四边形的形状是______；
(2)【问题探究】
如图②，点在线段上，连接、．过点作交射线于点．试猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值．
【答案】(1)画图见解析，正方形
(2)猜想，证明见解析
(3)或
【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得到，即可证明四边形是正方形；
（2）过P作于C，由是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证；
（3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可
【详解】（1）解：如图，即为所求，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∵点在的角平分线上，，，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：猜想，证明如下：
如图所示，过P作于C，
由（1）知：四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴
，
在中，由勾股定理得
∴；
（3）解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G，
由（2）知，
设，则，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G
由（2）知：四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键．
【题组训练10】如图，在中，为斜边上的高，在射线上有一点，连接，作交射线于点．
【问题发现】
（1）如图甲所示，如果，则与的数量关系______（填“>”“<”或“=”）；
【类比探究】
（2）如图乙所示，如果改变中两直角边的比例，使得，则与还存在图甲中的关系吗？说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图丙所示，在中，如果已知，试求的长．
【答案】（1）=；（2）不存在，理由见解析；（3）
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得出，，结合同角的余角相等易证，即得出；
（2）由题意可得出，易证，得出，即．又可证，即得出，即；
（3）连接，由，可得出．易证，得出，从而可求出．设，则，，分别在中和在中，根据勾股定理列出关于x的等式求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴ ABC为等腰直角三角形．
∵为斜边上的高，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）不存在图甲中的关系，理由：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，
∴．
由（1）可知，
∴，
∴，即；
（3）解：连接，如图，
由（2）可知，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得：（舍），，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的应用等知识．解本题的关键是熟练掌握全等、相似三角形的判定和性质．
【题组训练11】如图1，已知四边形是菱形，G是线段上任意一点时，联结交于点F，过点F作交于点H，可以证明结论成立（不必证明）．
(1)探究：如图2，上述条件，若点G在的延长线上，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
(2)计算：若菱形中，，点G在直线上，且，联结交所在的直线于点F，过点F作交所在直线于点H，求与的长．
(3)发现：通过上述过程，你发现G在直线上，结论是否仍然成立？为什么？
【答案】(1)结论成立，见解析；
(2)；
(3)G在直线CD上时，结论还成立，理由见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，得到两组比例关系，再通过等量代换即可求解；
（2）根据题意判断点G在直线CD上分两种情况，针对每一种情况，都要利用菱形的性质，然后根据勾股定理计算BG的长，进一步利用平行线分线段成比例定理求得FH的值，再结合（1）中的结论可求得FG的长．
（3）根据题干与（1）中的结论，证明当G在的延长线上时结论也成立即可得出结论．
【详解】（1）解：结论成立．
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴
．
（2）解：∵G在直线上，
∴分两种情况讨论如下：
∵四边形是菱形，
∴
①点G在的延长线上时，，
如图，过B作于点Q，
由于四边形ABCD是菱形，，
，
，
∴，
，
又由，
∴，
∵是等边三角形，
，
∴即，
解得．
由（1）知，
；
②点G在的延长线上时，，如图，过B作于Q，
∵四边形是菱形，，
．
，
∴，
．
又由，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
，
．
（3）解：成立；
理由：由题干与小题（1）知点G在线段或的延长线上时都成立，
当G在的延长线上时，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴
成立．
结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论还成立．
【点睛】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识．添加合适的辅助线和分类讨论是解题的关键．
【题组训练12】【初识图形】
AI
（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则______．
（2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，，求的值．
【类比探究】
（3）如图3，中，分别为、边上的点，，，为中点，连接，作交于点，交于．直接写出的长为________．
【拓展迁移】
（4）在矩形中，，，点分别为线段和线段边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，得到四边形，直线和直线分别交直线于点和点，且，．
①请直接写出线段的长________．
②若点分别为线段和线段边上的动点，满足．且直线始终经过一个定点，求的最大值________．
【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）①或；②
【分析】[初识图形]（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解；
（2）如图，过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解；
[类比探究]（3）如图所示，过点作于点，运用勾股定理可得，，设，可证，得到，，
再证，求出，则，由此即可求解；
[拓展迁移]（4）①根据四边形是矩形，翻折的性质可得，分类讨论：第一种情况，如图所示，过点作于点，得到四边形是矩形，求出，可证，得到，由可解；第二种情况，如图所示，设与交于点，可证，得到，，再证，得到，由可解；
②根据，确定定点，由相似三角形可得，如图所示，以点为坐标原点，为正方向作横轴，方向为纵轴作平面直角坐标系，设，则，由点在线段上运动可得，即，根据两点之间的距离公式可得，令，可得随的增大而增大，当时，有最大值，且最大值为，由此即可求解．
【详解】解：[初识图形]（1）∵四边形是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：1；
（2）如图，过点作于点，
∵四边形是矩形，，,
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵于点，
，
，
，
，即，
∴，
，
故答案为：；
[类比探究]（3）如图所示，过点作于点，
∵是直角三角形，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在中，，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：；
[拓展迁移]（4）①∵四边形是矩形，
∴，，
∵四边形翻折，得到四边形，
∴，，，，
第一种情况，如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴；
第二种情况，如图所示，设与交于点，
同理，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
综上所述，的长为或；
②如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，直线始终经过一个定点，
∴延长交于点，
∴，
∴，且，
∴，
解得，，
如图所示，以点为坐标原点，为正方向作横轴，方向为纵轴作平面直角坐标系，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，即，
∴，
令，
∵，
∴函数图象开口向上，随的增大而增大，
∴当时，有最大值，且最大值为，
∴的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形与折叠的性质，二次函数图象的性质等知识的综合，掌握矩形的性质，构造相似三角形，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键．
【题组训练13】（1）发现：如图①所示，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，．求的值．
（2）探究：如图②，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，，E为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于H，且，直线交直线于点P，求的长．
【答案】（1）1；（2）；（3）．
【分析】（）根据正方形的性质得，，证明，根据全等三角形的判定可得，即可求解；
（）由四边形是矩形得，，由折叠性质可知，，设，由勾股定理得，推得，根据相似三角形的判定与性质得，求得，，根据平行线的性质可得∴，，从而有，即可求解；
（）过作于点，由折叠性质可得，，根据相似三角形的判定与性质得，求得，最后由勾股定理即可求解．
【详解】（）∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（）如图，
∵ 四边形是矩形，
∴，，
由折叠性质可知，，，，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）如图，过作于点，则，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
由折叠性质可知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
【题组训练14】【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： ．
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】（1）；（2）当时，（1）中的结论还成立，理由见解析；（3）的长为或
【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况：当D在线段上时，同（2）知，，故，得，根据勾股定理得，解得；当E在线段上时，，解得．
【详解】解：（1）如图，延长交于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
（2）成立；理由如下：延长交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
（3）当D在线段上时，如图：
同（2）可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍去）；
当E在线段上时，如图：
同理可得，
解得（舍去）；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
【题组训练15】综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．
如图1，在直角三角形中，，，边的长为2．
(1)操作发现
操作：分别取边、的中点、，连接，则的比值为________．
(2)变换探究
将 ADE绕点逆时针旋转得到，连接、，得到和，直线与直线相交于点，在旋转过程中的比值是否发生变化？直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请就图2说明理由．
(3)拓展应用
在 ADE旋转过程中，当 BCF为等腰三角形时，请直接写出 BCF的面积．
【答案】(1)
(2)不变，不变
(3)或
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，中点求出的长，进而求出比值即可；
（2）根据旋转的性质，证明，得到，，利用8字型图，求得，即可；
（3）分，两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵、分别为边、的中点，
∴，
∴；
（2）的比值不变；
∵旋转，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
设与交于点，
∴，
∵，
∴，
∴直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变；
（3）①当时，如图，过点作，则，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，过点作，设，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：，
∴．
综上： BCF的面积为或．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键．
【题组训练16】在矩形中，点P在上，，．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交、于点E、F，连接（如图1）．
(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求的长；
(2)探究：将直尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在整个过程中，
①的值是否发生变化？请说明理由；② 直接写出线段的中点所经过的路线长．
【答案】(1)
(2)①的值不变．理由见解析；②线段的中点所经过的路线长为
【分析】（1）勾股定理计算PE,利用计算线段的长；
（2）①作于，则，证明即可；
②当点与点重合时，点恰好与点重合时，的中点恰好是的中点M；当点与点A重合时，点恰好与点B重合时，的中点恰好是的中点N，中点运动的路径长恰好是线段的长度即三角形的中位线，计算即可．
【详解】（1）如图，在中，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
，即，
解得，即；
（2）①的值不变.
理由如下：如图，作于，则，
同理可证明，
；
②如上图，点为的中点，则，，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
如图，点点与点重合时，点在的中点处；
当点与点重合时，点在线段的中点处，
∵，
∴，
垂直平分，
∴，
而，
∴，
即线段的中点经过的路线长为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，线段的中点，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键．
【题组训练17】如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)探究与的关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定解答即可；
（2）利用证明，可得出，，结合三角形内角和与对顶角的性质可得出；
（3）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质可求出，，的长度，证明，利用相似三角形的性质求出的长度，证明，得出，即可求解．
【详解】（1）证明∶∵四边形是矩形，
∴，，，，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，理由：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵F是的中点，
∴，，，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴ CDM是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）知：，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，明确题意，正确的识别图形是解题的关键．
【题组训练18】类比探究题：
【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角 ABC，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系．
【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），
【分析】（1）证明即可证明；
（2）过作轴于点，证明，即可得到，，再根据求解即可；
（3）证明即可得到y与x的函数关系，然后根据关系式求最大值即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）过作轴于点，
∵点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，
∴，，，
∵以为直角边作等腰直角，使，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴y与x的函数关系为；
（3）∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵现将沿直线折叠，
∴，
∵过点P作的角平分线交于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得，
∵，，
∴当时，为最大值，
故答案为：，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角坐标系，二次函数最值，根据一线三垂直模型构造全等或相似是本题的关键．
【题组训练19】问题背景：如图，在矩形中，点分别是的中点，连接，求证：．
问题探究：如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：．
问题拓展：如图，在“问题探究”的条件下，若，，求出的值．
【答案】问题背景：证明见解析；问题探究：证明见解析；问题拓展：．
【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，，根据点分别是的中点，可得，即可求证；
问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证；
问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，设，则，，可得，，又可得垂直平分，得到，，即可证明，得到，，进而由（），可得，设，则，，即可由得到，即可证明，得到，即可得，进而即可求解．
【详解】解：问题背景：四边形是矩形，
∴，，
∵分别是的中点 ，
∴，
即，
∴；
问题探究：如图所示，取的中点，连接，
∵是的中点，是的中点，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴ ，
∴，
又∵，是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
问题拓展：如图所示，连接，过点作，则四边形是矩形，，
∵，，
∴设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的中点，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
由（）知，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【题组训练20】综合与实践：已知矩形和矩形，点E在边上，矩形在边上方，且，连接．
(1)【特例发现】如图1，当时，求的值；（提示：在边上取一点M，使，连接）
(2)【类比探究】如图2，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论，并证明你的结论；
(3)【拓展应用】如图3，当时，连接，若，且，求的长．
【答案】(1)
(2)不成立，新结论为，证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键
（1）在边上取一点M，使，连接，则，根据证明即可；
（2）（1）中结论不成立，在边上取一点M，使，连接，则，证明，即可得出绪论；
（3）过F作于H，证明和，求出，，再运用勾股定理求出
【详解】（1）解：如图1，在边上取一点M，使，连接，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：（1）中的结论不成立，新结论为（或）
理由：如图2，在边上取一点M，使，连接，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
（3）解：如图3，过F作于H，
∵，，
∴，
∵矩形和矩形，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
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