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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，在 ABC中，，，．动点N从点C出发，以每秒的速度沿向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止运动．连接，设移动时间为t（单位：秒）．
(1)当的面积为时，求t的值．
(2)若以B，M，N为顶点的三角形与 ABC相似，求t的值．
【答案】(1)3
(2)或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）如图，过点M作于点D．根据勾股定理求出．证明，根据相似三角形的性质求出，再根据列方程求解即可．
（2）分两种情况讨论：①当时，，②当时，，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点M作于点D．
在中，，，，
根据勾股定理，得．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
∵，
解得：，
∴t的值为3．
（2）解：分两种情况讨论：
①当时，，
此时，即，
解得：；
②当时，，
此时，即，
解得：．
综上所述，t的值为或．
【题组训练2】如图，在中，，，，动点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动，同时点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点，移动的时间为秒．当为何值时，与 ABC相似？
【答案】当为 或 时，与相似．
【分析】先利用勾股定理求出，由题意得，，，则，分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】解：在△中，，，，
，
由题意得，，，
，
当时，，
，
，
解得；
当时，，
，
，
，
当为 或 时，经检验，它们都符合题意，此时与 ABC相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，函数关系式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【题组训练3】如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是．
(1)几秒后与 ABC相似？
(2)设的面积为， ABC的面积为；在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)秒或秒后与相似
(2)存在，10秒或15秒
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确解出一元二次方程是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．
（1）分和两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可；
（2）用t分别表示出，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设y秒后与相似，则，
所以；
当时，，
即，
解得， ，
当时，，
即，
解得， ，
答：秒或秒后与 ABC相似；
（2）解：由题意，，则CQ=；
的面积为，
ABC的面积为，
由题意得，，
解得，，
答：运动10秒或15秒时，．
【题组训练4】如图，在中，，，．动点从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点A、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截 ABC得到的小三角形绕点旋转，得到，设点的运动时间为秒．
(1)求的长．
(2)用含的代数式表示线段的长．
(3)当点在边上时，连结，当线段的最小时，求的值．
(4)在点运动过程中，当点落在斜边中线上时，直接写出的值．
【答案】(1)3
(2)或
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）直接由勾股定理求解即可；
（2）分两种情况：当点Q在上时，，当点Q在上时，，分别求长即可；
（3）过点M作于N，求得，，由勾股定理得，利用二次函数最值，求得当时 ， 有最小值，有最小值．
（4）设斜边的中线为，则，根据，得，即，求出t值即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴．
（2）解：当点Q在上时，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
当点Q在上时，
同理可得：，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
综上，线段的长为：或．
（3）解：过点M作于N，如图，
由旋转可得：．
∵，
∴四边形为矩形
∴．，
∴．
由（2）知：，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴当时，有最小值，有最小值．
（4）解：设 ABC斜边的中线为．
∴．
由旋转可知：四边形为平行四边形，
∴，．
当点落在上，
，
∴．
由（2）知：，
∴．
∴．
∴当点落在 ABC斜边中线上时t的值为．
【题组训练5】在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
(1)当t为多少时，的长度等于？
(2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与 ABC相似？
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了由动点产生的相似三角形问题．熟练掌握勾股定理，相似三角形性质是解题的关键．
（1）利用勾股定理得出，列方程，解方程，即可得出结论；
（2）根据，分和两种情况，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵中，，，，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
，或，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴当与相似时，
一种情况是
，
∴，
∴；
另一种情况是
，
∴，
∴，
故当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与 ABC相似．
【题组训练6】如图1，四边形是矩形，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度匀速运动，当点运动到点时，点停止运动，设运动时间为秒．
(1)尺规作图：沿过点的直线将矩形折叠，使得点与点重合，在图1中作出该折痕；
(2)在（1）的条件下，该折痕分别与，相交于点，点，连接，，求四边形的周长；
(3)过点作的垂线，是否存在某一时间，使得该直线被矩形的边所截得的线段长为，若存在，求的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意，作出的垂直平分线，即可求解；
（2）先证明，得出得出四边形是平行四边形，根据垂直平分，即可证明四边形是菱形，进而在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质求得周长，即可求解；
（3）分情况讨论，根据相似三角形的性质求得的长，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵沿过点的直线将矩形折叠，使得点与点重合，
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分，
∴，
∴四边形是菱形，
∵四边形是矩形，
∴，
设，
∵，，
∴，
在中，
∴
解得：，即
∴四边形的周长为
（3）解：如图所示，当在上
∵，
∴，
又∵四边形是矩形，，，
∴，
∴，
∴，，
依题意，，
∴，，
∴，
如图所示，当在上，
同理可得，则，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，作垂线，垂直平分线的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【题组训练7】如图，在矩形中，cm，cm，动点、分别从点、同时出发，点以3cm/的速度沿折线向终点运动，点以2cm/的速度沿向终点运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)当________时，四边形的面积为cm2；
(2)当点在边上运动时，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)设的面积为，求关于的函数关系式；
(4)当 BPQ是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)3
(2)不存在，见解析
(3)当时，；当时，
(4)或
【分析】（1）由题意得：，，据此表示出四边形的面积，即可求解；
（2）作，可推出，得，进而得，判断该方程有无实数根即可；
（3）分类讨论当时，当时，两种情况，画出对应图形即可求解；
（4）分类讨论时，时，两种情况，画出对应图形即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：3
（2）解：当点在边上运动时，即，
作，如图所示：
若，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴不存在一个时刻，使得；
（3）解：当时，
；
当时，
;
综上所述：当时，；当时，
（4）解：时，作，如图所示：
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
即：，
解得：；
时，
∵，
∴，
解得：（舍）
综上所述：或
【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论的数学思想是解题关键．
【题组训练8】如图，在 ABC中，，动点P以的速度从点C出发，沿向点A移动，同时动点Q以的速度从点B出发，沿边向点C移动，当有一点到达终点时，两点停止运动．设P，Q两点同时移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，与 ABC相似；
(2)当t为何值时， CQP的面积为．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由勾股定理求得，由题意得：，则，那么当与相似时，或，代入求解即可；
（2）过点作于点，则求出，那么，解方程即可，注意舍解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
由题意得：，
则，
∵，
∴与相似时，
∴或，
∴或，
解得：或
∴当或时，与相似；
（2）解：过点作于点，则
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
化简得：，
解得：或
∵点从点到点用时，点从点到点用时，
∴，
∵
∴舍，
∴，
即当时，的面积为．
【题组训练9】在 ABC中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动．
(1)若以B、P、N 为顶点的三角形与 ABC相似，求t的值；
(2)当是等腰三角形时，求t 的值；
【答案】(1)或
(2)2或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，等腰三角形的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）根据勾股定理．根据相似三角形的性质得到结论；
（2）分三种情况：①当时，得到，②当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，则，，根据，得到比例式即可得到结果；③当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，由，得到比例式，即可得到结果，（不合题意，舍去）；
【详解】（1）解：在中，，，．
根据勾股定理，得．
∵以B、P、N为顶点的三角形与相似
∴当时，，
此时，即，解得，
当时，
此时，即，解得
答：当、时，B、P、N为顶点的三角形与 ABC相似；
（2）解：是等腰三角形，
①当时，即，
解得：，
②当时，
如图1，过作的垂线交于，
则，，
∴，，
，
，即，
解得：，
③当时，
如图2，过作的垂线交于，
则，，
，
，
，
即：，
解得：，（不合题意，舍去），
综上所述：当，或时，是等腰三角形．
【题组训练10】如图，在矩形中，点E是边上一动点（不与点A，D重合），连接，过点E作交边于点F．随着E点位置的变化，F点的位置随之发生变化．
(1)在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；
(2)若．
①当点F是线段的中点时，求线段AE的长；
②过点B作交射线于点G，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)①或；②1或
【分析】（1）由矩形的性质得，再证，即可得出结论；
（2）①设，则，由相似三角形的性质得，即可解决问题；
②设长为，则长为，证，进而得，，然后分与两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
，
∵四边形是矩形，
，
∵点F是线段的中点，
，
设，则，
由（1）可知，，
∴，
即，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
即的长为或；
②如图2，
设长为m，则长为，
，，
，
，．
分两种情况：
a、当时，则，
，
过点E作于点H，则，
又，
∴，
，
，
．
，
，
．
又，，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
b、当时，则，
．
，
，
即，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，的长为1或．
【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
【题组训练11】如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到．设点的运动时间为秒．
(1)的长为________．
(2)直接写出线段的长．（用含的代数式表示）
(3)当边中点在内部时，求的取值范围．
(4)在点运动过程中，直接写出射线平分时的值．
【答案】(1)
(2)线段的长或
(3)
(4)或
【分析】本题考查相似三角形的综合，涉及动点问题，勾股定理，一元一次方程，等腰三角形的判定，熟练根据题意画出正确图形，并熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）分两种情况：当点在上时，利用列式求解；当点在上时，利用列式求解；
（3）先确定位置，当点在上时，在右侧，又点刚好在边上时，通过相似可知此时点还没在内部，则当点刚好在上时，才开始进入内部，通过列式求解；当点在上时，在左侧，
点不可能在内部；
（4）分两种情况：当点在上时，过点作于点，可知，通过求出和，列式求解；当点在上时，过点作于点，可知，通过，求出和，列式求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
（2）解：当点在上时，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在上时，
当点到达点时，，得，
则此时，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，线段的长为或；
（3）解：由题可得当点在上时，在右侧，
随着点的运动，当点刚好在边上时，
由旋转得，，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
此时，
则此时点不在内部，
则当点刚好在上时，才开始进入内部，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
当点在上时，在左侧，如图，
点不可能在内部；
综上，点在内部时，的取值范围为；
（4）解：①当点在上时，如图，
过点作于点，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
由旋转得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
∴，
解得：；
②当点在上时，如图，
过点作于点，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
由旋转得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
∴，
解得：；
综上，或．
【题组训练12】 如图， 在△ABC中， ． 动点P从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿以相同的速度向终点C运动，当点P到点A时，点Q同时停止运动． 连结，以为边作平行四边形． 设点P的运动时间为t秒（） ．
(1)当点H落在边上时， 求t的值．
(2)当平行四边形是菱形时，求t的值．
(3)沿过点Q 且垂直于 的直线将平行四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，直接写出所有符合上述条件的t值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定：
（1）根据勾股定理可得的长，根据题意得：，则，再由四边形是平行四边形，可得，从而得到，即可求解；
（2）过点P作于点D，根据，可得，从而得到，然后根据勾股定理解答，即可；
（3）过点Q作，交直线于点F交直线于点G，分两种情况：当点G在线段上时，当点G在线段的延长线上时，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵
∴，
根据题意得：，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：；
（2）解：如图，过点P作于点D，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴或，
∴，
在中，，
在中， ，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，解得：或5（舍去），
（3）解： 如图，过点Q作，交直线于点F交直线于点G，
当点G在线段上时，
∵，
∴，
只有当时，可以拼成三角形，
∴，
∴，解得：；
当点G在线段的延长线上时，
∵，
∴，
只有当时，可以拼成三角形，
∴，
∴，解得：；
综上所述，t的值为或．
【题组训练13】如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上（点在点的左侧），且点、的横坐标是方程的解，点为轴正半轴上一动点，连接，与的垂直平分线交于点．
(1)求点的坐标；（用含的代数式表示）
(2)点是点关于轴的对称点，连接，，是否存在这样的值，使与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】（1）利用因式分解法解出的值，得到点与点左边，进而得到的垂直平分线，再根据点的坐标设直线为，求出直线解析式，即可得到点的坐标；
（2）利用对称得到点，作轴，轴，，，证明，得到，根据与相似，分以下两种情况①，②，结合勾股定理，以及相似三角形性质和判定求解，即可解题．
【详解】（1）解：
解得，，
点在点的左侧，
，，
的垂直平分线为，
直线为，
点，
设直线为，
有，解得，
直线为，
当时，，
点的坐标为；
（2）解：点为轴正半轴上一动点，且点，点是点关于轴的对称点，
点，
，
，
作轴，轴，，，如图所示：
，，
点是点关于轴的对称点，
，
，即，
，
，，，，
，
为直角三角形，
与相似，即也为为直角三角形，
①，
，
，
即，
解得；
②，
，
，
，
即，
解得或（舍去）；
综上所述，存在这样的值，使与相似，或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于利用分类讨论的思想方法解决问题．
【题组训练14】如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么：
(1)当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？
(2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与 AOB相似？
【答案】(1)当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27
(2)的值为秒或3秒
【分析】（1）当，四边形是梯形，此时易证，根据三角形相似得到，即，即可得到t，利用梯形的面积的面积的面积求面积；
（2）讨论：当，即，此时，由（1）得；当，则，，即可得到t．
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
当，四边形是梯形，
，
∴，即，
∴，
∴，
∴梯形的面积的面积的面积
，
当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27；
（2）解：，
当，则，
，
由（1）得；
当，则，
∴，即，
∴，
当的值为秒或3秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与 AOB相似．
【点睛】本题考查了坐标与图形，梯形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握分类讨论思想的运用以及三角形的相似的判定定理是解题的关键．
【题组训练15】如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接．
(1)线段__________，线段__________（用含有的代数式表示）．
(2)当 BPQ与 ABC相似时，求的值；
(3)连接、交于点，若点是线段的中点，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，综合性较强，理解题意，熟知相关知识，根据题意进行分类讨论是解题关键．
（1）根据题意得到，，问题得解；
（2）先求出，再分和两种情况讨论，问题得解；
（3）过点作，则，进而可知，求得，再证，得，即，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意可知，，，
则，
故答案为：，；
（2）解：依题意知，在中，，
若 BPQ与 ABC相似，因为,
∴分两种情况讨论：
当时，有，即，解得；
当时，有，即，解得．
∴若 BQP与 ABC相似，或；
（3）解：过点作，则，
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
∵，，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：（负值舍去），
即：点是线段的中点，的值为．
【题组训练16】如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、．
(1)若 BDE与 ABC相似，求动点的运动时间；
(2)在运动过程中，当时，求动点的运动时间；
(3)在运动的过程中，能否为 ABC的中位线？说明理由．
【答案】(1)秒或秒
(2)秒
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握知识点，找到相似三角形是解题的关键．
（1）已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间；
（2）当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间；
（3）若若为的中位线，则，则，求出，此时，，故，故不能为的中位线．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得
设经过运动时间为t秒时，与相似．
则，，，；
①当，即时，
；
，即，
．
②当，即时，
，
，即，
．
和都符合，
当动点运动秒或秒时，与相似；
（2）解：如图，过点E作于F，
设经过运动时间为t秒时，，
则，，，；
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（秒）．
（3）解：不能，理由如下：
如图，
若为的中位线，则，
则，
∴，
解得：，
此时，，
∴，
∴不可能为的中位线．
【题组训练17】如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为，连接．
(1)发现：________，________（用含t的式子来表示）
(2)猜想：若，则t的值为________；
(3)探究：是否存在符合条件的t，使与 ABC相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)秒
(3)或秒
【分析】本题是相似综合题目，考查了相似三角形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识点，综合性较强，掌握相似三角形的性质是解题的关键，
（1）利用路程等于速度乘以时间即可得出结论；
（2）利用建立方程求解即可得出结论；
（3）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）解：在中，，
，
，
，
由运动知，．
，
故答案为：；
（2）解：∵，
，
秒．
（3）解：∵与相似，
当时，
秒；
当时，
，
秒；
即：满足条件的的值为或秒．
【题组训练18】如图，在 ABC中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）．
(1)求证： FCG∽ DEF；
(2)设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围；
(3)连接，若与相似，直接写出的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）根据垂直的定义及同角的余角相等得出，即可证明；
（2）利用勾股定理求出，根据，，得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，，根据，利用相似三角形的性质求解，即可解题；
（3）根据与相似，分以下两种情况：当时，过点F作于H，当时，结合全等三角形性质和判定，矩形的判定与性质，以及相似三角形性质和判定求解，即可解题．
【详解】（1）证明：在中，，点D是上一点，过点D作，垂足为E，
，，，
，
；
（2）解：在中，点D是上一点，且，点F是边上的一个动点，交线段于点G（不与点B、C重合），
，
，
，，，
，
，，
，
，
，即，
解得：，，
，，
，，
，
，即，
整理得：，
，，
，
；
（3）解：如图1，当时，过点F作于H，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
由（2）可知：，
，
解得：，
，
．
如图，当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
．
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及勾股定理，平行线性质和判定，以及求函数解析式，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
【题组训练19】在矩形中，，，G，H分别是，中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
(1)当时，判断四边形的形状，说明理由．
(2)若四边形为矩形，求t的值；
(3)若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，直接写出t的值．
【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析
(2)2或8
(3)
【分析】（1）先证得，再得，，然后根据“等角的补角相等”即可证明；
（2）先证得四边形是矩形，再根据四边形为矩形，可得，再利用勾股定理即可求解；
（3）根据“对角线互相平分且垂直是菱形”可得，再利用，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
当时，
则，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵G，H分别是，中点，
∴，，
在和中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：连接交于点O，连接，如图，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵G，H分别是，中点，
∴，，
∴四边形是矩形，
在和中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴一定过点O，
∵四边形是矩形，
∴，
∴若四边形为矩形，则，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
当点E运动到点F处时，此时四边形为矩形，
∴，
综上所述，或8时，四边形为矩形．
（3）解：若四边形为菱形，
则，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用．
【题组训练20】如图 1，在矩形中，，E 是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点 D 恰好落在边上点 F 处，延长交的延长线于点G．
(1)求线段的长；
(2)如图 2，M，N 分别是线段上的动点（与端点不重合）， 求证四边形 为菱形；
(3)在（2）条件下，设且，是否存在这样的点 N，使是直角三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在， 请说明理由．
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)或2
【分析】（1）由翻折可知：．，设，则．在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再根据邻边相等推出四边形是菱形．
（3）是直角三角形，，只有或．分两种情形画出图形分别求解即可．
【详解】（1）解：如图1中，
四边形是矩形，
，，
，
由翻折可知：．，设，则．
在中，，
，
在中，则有：，
，
．
（2）证明：如图2中，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（3）解：是直角三角形，，
只有或．
如图中，当时，
，
∴，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
如图中，当时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或2．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，在 ABC中，，，．动点N从点C出发，以每秒的速度沿向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止运动．连接，设移动时间为t（单位：秒）．
(1)当的面积为时，求t的值．
(2)若以B，M，N为顶点的三角形与 ABC相似，求t的值．
【题组训练2】如图，在中，，，，动点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动，同时点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点，移动的时间为秒．当为何值时，与 ABC相似？
【题组训练3】如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，速度是，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是．
(1)几秒后与 ABC相似？
(2)设的面积为， ABC的面积为；在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．
【题组训练4】如图，在中，，，．动点从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点A、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截 ABC得到的小三角形绕点旋转，得到，设点的运动时间为秒．
(1)求的长．
(2)用含的代数式表示线段的长．
(3)当点在边上时，连结，当线段的最小时，求的值．
(4)在点运动过程中，当点落在斜边中线上时，直接写出的值．
【题组训练5】在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
(1)当t为多少时，的长度等于？
(2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与 ABC相似？
【题组训练6】如图1，四边形是矩形，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度匀速运动，当点运动到点时，点停止运动，设运动时间为秒．
(1)尺规作图：沿过点的直线将矩形折叠，使得点与点重合，在图1中作出该折痕；
(2)在（1）的条件下，该折痕分别与，相交于点，点，连接，，求四边形的周长；
(3)过点作的垂线，是否存在某一时间，使得该直线被矩形的边所截得的线段长为，若存在，求的值，若不存在，说明理由．
【题组训练7】如图，在矩形中，cm，cm，动点、分别从点、同时出发，点以3cm/的速度沿折线向终点运动，点以2cm/的速度沿向终点运动，当点停止运动时，点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)当________时，四边形的面积为cm2；
(2)当点在边上运动时，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)设的面积为，求关于的函数关系式；
(4)当 BPQ是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
【题组训练8】如图，在 ABC中，，动点P以的速度从点C出发，沿向点A移动，同时动点Q以的速度从点B出发，沿边向点C移动，当有一点到达终点时，两点停止运动．设P，Q两点同时移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，与 ABC相似；
(2)当t为何值时， CQP的面积为．
【题组训练9】在 ABC中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动．
(1)若以B、P、N 为顶点的三角形与 ABC相似，求t的值；
(2)当是等腰三角形时，求t 的值；
【题组训练10】如图，在矩形中，点E是边上一动点（不与点A，D重合），连接，过点E作交边于点F．随着E点位置的变化，F点的位置随之发生变化．
(1)在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；
(2)若．
①当点F是线段的中点时，求线段AE的长；
②过点B作交射线于点G，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出线段的长．
【题组训练11】如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到．设点的运动时间为秒．
(1)的长为________．
(2)直接写出线段的长．（用含的代数式表示）
(3)当边中点在内部时，求的取值范围．
(4)在点运动过程中，直接写出射线平分时的值．
【题组训练12】 如图， 在△ABC中， ． 动点P从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿以相同的速度向终点C运动，当点P到点A时，点Q同时停止运动． 连结，以为边作平行四边形． 设点P的运动时间为t秒（） ．
(1)当点H落在边上时， 求t的值．
(2)当平行四边形是菱形时，求t的值．
(3)沿过点Q 且垂直于 的直线将平行四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，直接写出所有符合上述条件的t值．
【题组训练13】如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上（点在点的左侧），且点、的横坐标是方程的解，点为轴正半轴上一动点，连接，与的垂直平分线交于点．
(1)求点的坐标；（用含的代数式表示）
(2)点是点关于轴的对称点，连接，，是否存在这样的值，使与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【题组训练14】如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么：
(1)当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？
(2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与 AOB相似？
【题组训练15】如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接．
(1)线段__________，线段__________（用含有的代数式表示）．
(2)当 BPQ与 ABC相似时，求的值；
(3)连接、交于点，若点是线段的中点，求的值．
【题组训练16】如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、．
(1)若 BDE与 ABC相似，求动点的运动时间；
(2)在运动过程中，当时，求动点的运动时间；
(3)在运动的过程中，能否为 ABC的中位线？说明理由．
【题组训练17】如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为，连接．
(1)发现：________，________（用含t的式子来表示）
(2)猜想：若，则t的值为________；
(3)探究：是否存在符合条件的t，使与 ABC相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
【题组训练18】如图，在 ABC中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）．
(1)求证： FCG∽ DEF；
(2)设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围；
(3)连接，若与相似，直接写出的长度．
【题组训练19】在矩形中，，，G，H分别是，中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
(1)当时，判断四边形的形状，说明理由．
(2)若四边形为矩形，求t的值；
(3)若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，直接写出t的值．
【题组训练20】如图 1，在矩形中，，E 是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点 D 恰好落在边上点 F 处，延长交的延长线于点G．
(1)求线段的长；
(2)如图 2，M，N 分别是线段上的动点（与端点不重合）， 求证四边形 为菱形；
(3)在（2）条件下，设且，是否存在这样的点 N，使是直角三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在， 请说明理由．
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