吉林省长春市第十七中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 吉林省长春市第十七中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 681.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-05 19:09:03 | ||
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文档简介
长春市第十七中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
（满分150分 时间120分钟）
一．单选题（本题共8道小题，每小题5分，满分40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A. 3，， B. 3，，
C. ，3， D. ，，3
4. 函数的图象恒过定点，则点的坐标为（ ）
A B. C. D.
5. 已知，，，则有（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 设是定义在上的函数，且对任意的恒成立，如图表示该函数在区间上的图象，则 =（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
8. 已知表示不超过实数的最大整数，例如：，，若函数其中，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题（本题共3道小题，每小题6分，答对部分得部分分，答错0分，满分18分）
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（ ）
A. B. C D.
10. 下列选项错误的是（ ）
A. 若，则
B. 已知，，则
C. 已知x，y为正实数，则
D. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是
11. 下列选项正确的有（ ）
A. 若，则
B 若函数满足，当时，，则
C. 若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是
D. 已知函数是上增函数，则实数的取值范围是
三．填空题（本题共3道小题，每小题5分，满分15分）
12. 函数的定义域为 _________
13. 已知实数满足且，则__________.
14. 若定义在上的奇函数满足：对任意，都有．若，则实数的取值范围为_________
四．解答题（本题共5道题，满分77分）
15. 计算：
（1）
（2）
16. 已知函数，其中均为实数．
（1）若函数的图像经过点，求的值；
（2）若，函数在区间上有最小值，求函数的值域.
17. 函数是定义在上的奇函数，已知当时，；
（1）求函数的解析式，并写出函数的单调增区间；
（2）若方程有个相异实数根，求实数的取值集合．
18. 已知幂函数是定义在上的偶函数.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围.
19. 设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．
（1）若函数为“函数”，求实数的值；
（2）证明：函数为“函数”；
（3）若函数为“函数”，求实数的取值范围．
答案
一．单选题（本题共8道小题，每小题5分，满分40分）
1. B
2. C．
3. A
4. D
5. D
6. B.
7. D
8. D
二．多选题（本题共3道小题，每小题6分，答对部分得部分分，答错0分，满分18分）
9. AC
10. AC．
11. ABD
三．填空题（本题共3道小题，每小题5分，满分15分）
12. 函数的定义域为 _________
【解】由题意，即，，故答案为：．
13. 已知实数满足且，则__________.
【解】由可知，
所以，即，
所以.
故答案为：
14. 若定义在上的奇函数满足：对任意，都有．若，则实数的取值范围为_________
【答案】
【解】对任意，都有,即，
设，则，
所以函数在上是增函数，
又是奇函数，则也是奇函数，(）,
所以在上递增，即在R上递增，
不等式化为，
即为，
，
所以，解得或．
故答案为：．
四．解答题（本题共5道题，满分77分）
15. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）11
【小问1详解】原式；
【小问2详解】原式．
16. 已知函数，其中均为实数．
（1）若函数的图像经过点，求的值；
（2）若，函数在区间上有最小值，求函数的值域.
【答案】（1）；
（2）．
【小问1详解】因为函数的图像经过点，
所以，解得；
【小问2详解】，时，，
，则是减函数，因此时，，解得，
则，
又，时，等号成立，
所以，
所以的值域是．
17. 函数是定义在上的奇函数，已知当时，；
（1）求函数的解析式，并写出函数的单调增区间；
（2）若方程有个相异的实数根，求实数的取值集合．
【答案】（1）；增区间是，．
（2）或或
【小问1详解】是奇函数，则，
又时，，，
所以，
所以,
作出的图象，如图，结合图象可知
增区间是，．
【小问2详解】方程有个相异的实数根，则的图象与直线有三个交点，
作出直线，由图象可得，满足题意的值为或或．
的取值集合为：或或．
18. 已知幂函数是定义在上的偶函数.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】因为是幂函数，所以，
解得或，又函数为偶函数，故，.
【小问2详解】由（1）知，，
则原题可等价转化为对恒成立，
分离参数得，因为对恒成立，则，
当时，，
当且仅当，即时取得最小值，即，
所以实数的取值范围为.
19. 设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．
（1）若函数为“函数”，求实数的值；
（2）证明：函数为“函数”；
（3）若函数为“函数”，求实数取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见详解； （3）
【小问1详解】由为“函数”，
得，即，
解得，故实数的值为；
【小问2详解】由，
则，，
令，得，
设，，
如图可知，两函数由一个交点，
即存在实数，使得成立，
所以函数为“函数”；
【小问3详解】函数有意义，则，定义域为
因函数为“函数”，
所以存在实数使得成立，
即存在实数使得，
所以存在实数使得成立，即，
所以当时，，满足题意；
当时，，即，
解得且，
所以实数a的取值范围是
（满分150分 时间120分钟）
一．单选题（本题共8道小题，每小题5分，满分40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A. 3，， B. 3，，
C. ，3， D. ，，3
4. 函数的图象恒过定点，则点的坐标为（ ）
A B. C. D.
5. 已知，，，则有（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 设是定义在上的函数，且对任意的恒成立，如图表示该函数在区间上的图象，则 =（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
8. 已知表示不超过实数的最大整数，例如：，，若函数其中，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题（本题共3道小题，每小题6分，答对部分得部分分，答错0分，满分18分）
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（ ）
A. B. C D.
10. 下列选项错误的是（ ）
A. 若，则
B. 已知，，则
C. 已知x，y为正实数，则
D. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是
11. 下列选项正确的有（ ）
A. 若，则
B 若函数满足，当时，，则
C. 若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是
D. 已知函数是上增函数，则实数的取值范围是
三．填空题（本题共3道小题，每小题5分，满分15分）
12. 函数的定义域为 _________
13. 已知实数满足且，则__________.
14. 若定义在上的奇函数满足：对任意，都有．若，则实数的取值范围为_________
四．解答题（本题共5道题，满分77分）
15. 计算：
（1）
（2）
16. 已知函数，其中均为实数．
（1）若函数的图像经过点，求的值；
（2）若，函数在区间上有最小值，求函数的值域.
17. 函数是定义在上的奇函数，已知当时，；
（1）求函数的解析式，并写出函数的单调增区间；
（2）若方程有个相异实数根，求实数的取值集合．
18. 已知幂函数是定义在上的偶函数.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围.
19. 设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．
（1）若函数为“函数”，求实数的值；
（2）证明：函数为“函数”；
（3）若函数为“函数”，求实数的取值范围．
答案
一．单选题（本题共8道小题，每小题5分，满分40分）
1. B
2. C．
3. A
4. D
5. D
6. B.
7. D
8. D
二．多选题（本题共3道小题，每小题6分，答对部分得部分分，答错0分，满分18分）
9. AC
10. AC．
11. ABD
三．填空题（本题共3道小题，每小题5分，满分15分）
12. 函数的定义域为 _________
【解】由题意，即，，故答案为：．
13. 已知实数满足且，则__________.
【解】由可知，
所以，即，
所以.
故答案为：
14. 若定义在上的奇函数满足：对任意，都有．若，则实数的取值范围为_________
【答案】
【解】对任意，都有,即，
设，则，
所以函数在上是增函数，
又是奇函数，则也是奇函数，(）,
所以在上递增，即在R上递增，
不等式化为，
即为，
，
所以，解得或．
故答案为：．
四．解答题（本题共5道题，满分77分）
15. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）11
【小问1详解】原式；
【小问2详解】原式．
16. 已知函数，其中均为实数．
（1）若函数的图像经过点，求的值；
（2）若，函数在区间上有最小值，求函数的值域.
【答案】（1）；
（2）．
【小问1详解】因为函数的图像经过点，
所以，解得；
【小问2详解】，时，，
，则是减函数，因此时，，解得，
则，
又，时，等号成立，
所以，
所以的值域是．
17. 函数是定义在上的奇函数，已知当时，；
（1）求函数的解析式，并写出函数的单调增区间；
（2）若方程有个相异的实数根，求实数的取值集合．
【答案】（1）；增区间是，．
（2）或或
【小问1详解】是奇函数，则，
又时，，，
所以，
所以,
作出的图象，如图，结合图象可知
增区间是，．
【小问2详解】方程有个相异的实数根，则的图象与直线有三个交点，
作出直线，由图象可得，满足题意的值为或或．
的取值集合为：或或．
18. 已知幂函数是定义在上的偶函数.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】因为是幂函数，所以，
解得或，又函数为偶函数，故，.
【小问2详解】由（1）知，，
则原题可等价转化为对恒成立，
分离参数得，因为对恒成立，则，
当时，，
当且仅当，即时取得最小值，即，
所以实数的取值范围为.
19. 设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．
（1）若函数为“函数”，求实数的值；
（2）证明：函数为“函数”；
（3）若函数为“函数”，求实数取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见详解； （3）
【小问1详解】由为“函数”，
得，即，
解得，故实数的值为；
【小问2详解】由，
则，，
令，得，
设，，
如图可知，两函数由一个交点，
即存在实数，使得成立，
所以函数为“函数”；
【小问3详解】函数有意义，则，定义域为
因函数为“函数”，
所以存在实数使得成立，
即存在实数使得，
所以存在实数使得成立，即，
所以当时，，满足题意；
当时，，即，
解得且，
所以实数a的取值范围是
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