沪科版八年级下册（新）第18章《18.1 勾股定理》教学设计

18.1 勾股定理
第1课时　勾股定理
学习目标
1．经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)
2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．(重点)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教学过程
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的 ( http: / / www.21cnjy.com )树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的证明
作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．求证：a2＋b2＝c2.
解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．
证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a＋ ( http: / / www.21cnjy.com )b，∴它们的面积相等．左边的正方形面积可表示为a2＋b2＋ab×4，右边的正方形面积可表示为c2＋ab×4.∵a2＋b2＋ab×4＝c2＋ab×4，∴a2＋b2＝c2.
方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第11题
探究点二：勾股定理
【类型一】 直接利用勾股定理求长度
如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB交AB于点D，求CD的长．
解析：先运用勾股定理求出AC的长，再根据S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，求出CD的长．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝5cm，BC＝3cm，∴由勾股定理得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝42，∴AC＝4cm.又∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，∴CD＝＝＝(cm)，故CD的长是cm.
方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】 利用勾股定理求面积
如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________．
解析：因为AE＝BE，∠E ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，所以S△ABE＝AE·BE＝AE2.又因为AE2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝AB2＝×32＝；同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又因为AC2＋BC2＝AB2，所以阴影部分的面积为AB2＋AB2＝AB2＝×32＝.故分别填，.
方法总结：求解与直角三角形三边有关的图 ( http: / / www.21cnjy.com )形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型三】 勾股定理与数轴
如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是(　　)
A.＋1　B．－＋1　C.－1　D.
解析：先根据勾股定理求出三角形的斜 ( http: / / www.21cnjy.com )边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为＝，∴－1到A的距离是.那么点A所表示的数为－1.故选C.
方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
【类型四】 利用勾股定理证明等式
如图，已知AD是△ABC的中线．求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC交BC于点E.在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．
证明：如图，过点A作AE⊥BC交B ( http: / / www.21cnjy.com )C于点E.在Rt△ABE、Rt△ACE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．
方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．
【类型五】 运用勾股定理解决折叠中的有关计算
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是(　　)
　　　
A．1.5　　　B．2　　　C．2.25　　　D．2.5
解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.
方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题
【类型六】 分类讨论思想在勾股定理中的应用
在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．
解析：应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．
解：当高AD在△ABC内部 ( http: / / www.21cnjy.com )时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60；
当高AD在△ABC外部时 ( http: / / www.21cnjy.com )，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结：题中未给出图形，作高构造直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
第2课时　勾股定理的应用
学习目标
1．会用勾股定理解决一些简单的实际问题；(重点)
2．通过对实际问题的探讨，培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学过程
一、情境导入
一个门框的宽为1.5m，高为2m，如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
二、合作探究
探究点：勾股定理的应用
【类型一】 勾股定理的直接应用
如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少(假设绳子是直的，结果保留根号)
解析：开始时，AC＝5m，BC＝13m，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．
解：在Rt△ABC中，BC＝13m，A ( http: / / www.21cnjy.com )C＝5m，则AB＝＝12m，6秒后，B′C＝10m，则AB′＝＝5m，则船向岸边移动距离为(12－5)m.
方法总结：本题直接考查勾股定理在直角三角形中的运用，求出6秒后AB的长度是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 利用勾股定理解决方位角问题
如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100m到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．
解析：根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．
解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠D ( http: / / www.21cnjy.com )AB＝60°.∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC中，AB＝100m，BC＝100m，∴AC＝＝＝200(m)，∴A、C两点之间的距离为200m.
方法总结：先确定是直角三角形，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题
【类型三】 利用勾股定理解决最短距离问题
如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
解：分三种情况比较最短距离：如图①所示， ( http: / / www.21cnjy.com )AM＝＝5(cm)；如图②所示，AM＝＝25(cm)；如图③所示，AM＝＝5(cm)．∵5cm>5cm＞25cm，∴第二种短些，此时最短距离为25cm.
答：需要爬行的最短距离是25cm.
方法总结：因为长方体的展开图不止一种 ( http: / / www.21cnjy.com )情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而进行比较取其最小值即可．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
【类型四】 勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用
如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.
解析：Rt△ABC中，∠B＝90°，则 ( http: / / www.21cnjy.com )满足AB2＋BC2＝AC2.设BC＝am，AC＝bm，AD＝xm，根据两只猴子经过的路程一样可得10＋a＝x＋b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高AB＝10＋x.
解：Rt△ABC中，∠B＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，设BC＝am，AC＝bm，AD＝xm，则10＋a＝x＋b＝15.∴a＝5，b＝15－x.又在Rt△ABC中，由勾股定理得(10＋x)2＋a2＝b2，∴(10＋x)2＋52＝(15－x)2，解得x＝2，即AD＝2m，∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(m)．
答：树高AB为12m.
方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题