6.3.1 二项式定理（导学案）（含答案）-高中数学人教A版（2019）选择必修三

6.3.1　二项式定理
［学习目标］　1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
一、二项式定理的正用与逆用
问题　在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+
a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢？
知识梳理
二项式定理
(a+b)n=______________________________，n∈N*.
(1)这个公式叫做二项式定理.
(2)展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，展开式中一共有　　　　　项.
(3)二项式系数：各项的系数(k=0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
(4)通项：(a+b)n展开式的第　　　项叫做二项展开式的通项，记作Tk+1=　　　　　　　　　　.
例1　(1)求的展开式.
(2)化简：(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
延伸探究　若将例1(2)中的式子变为“1-2+4-8+…+(-2)n”，求化简结果.
反思感悟　(1)(a+b)n的二项展开式有n+1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
跟踪训练1　(1)求的展开式.
(2)化简：(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
二、二项式系数与项的系数
例2　在二项式的展开式中，求：
(1)第4项的二项式系数；
(2)求展开式中x-1的系数.
反思感悟　正确区分二项式系数与项的系数
二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数是指，只与项数有关，与a，b的值无关，二项式系数的值恒为正；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，不仅与项数有关，还与a，b的值有关，系数的值可正可负.
跟踪训练2　已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含项的系数.
三、二项展开式中的特定项
例3　在二项式的展开式中，求：
(1)第4项；(2)常数项；
(3)有理项；(4)中间项.
反思感悟　(1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第k项，Tk=an-k+1bk-1(k∈N*，k≤n+1)；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项.
(2)求二项展开式的特定项的解题思路
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
跟踪训练3　已知在的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项.
1.知识清单：
(1)二项式定理的正用与逆用.
(2)二项式系数与项的系数.
(3)二项展开式中的特定项.
2.方法归纳：转化化归.
3.常见误区：二项式系数与系数的区别，an-kbk是展开式的第k+1项.
1.二项式(a+b)2n的展开式的项数是 (　　)
A.2n B.2n+1
C.2n-1 D.2(n+1)
2.(x-y)6的展开式的第3项是 (　　)
A.x4y2 B.x2y4
C.x3y3 D.-x3y3
3.(2024·天津)在的展开式中，常数项为　　　　.
4.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化简为　　　　.
答案精析
问题　从上述过程可以看到，(a+b)2是2个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有×=22项，而且每一项都是a2-kbk(k=0，1，2)的形式.而且a2-kbk相当于从2个(a+b)中取k个b的组合数.
知识梳理
an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn　(2)n+1　(4)k+1　an-kbk
例1　(1)解　方法一　
=(3)4+(3)3+(3)2+
(3+=81x2+108x+54++.
方法二　==(1+3x)4
=［1+(3x)+(3x)2+(3x)3+(3x)4］
=(1+12x+54x2+108x3+81x4)
=++54+108x+81x2.
(2)解　原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0
=［(2x+1)-1］5=(2x)5=32x5.
延伸探究　解　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，-2看成公式中的b，可得原式=(1-2)n=(-1)n.
跟踪训练1　(1)解　方法一　
=(2x)5+(2x)4·+(2x)3+
(2x)2+(2x)+
=32x5-120x2+-+-.
方法二　=
=［(4x3)5+(4x3)4(-3)+(4x3)3·(-3)2+(4x3)2(-3)3+(4x3)(-3)4+(-3)5］
=32x5-120x2+-+-.
(2)解　原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2·(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+(-1)n
=［(x+1)+(-1)］n=xn.
例2　解　(1)的展开式的通项是
Tk+1=(3)10-k
=310-k(k=0，1，2，…，10).
则展开式的第4项(k=3)的二项式系数为=120.
(2)令=-1，解得k=4.
所以展开式中x-1的系数为36=30 240.
跟踪训练2　解　(1) 因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为，，
所以=，即=，解得n=7.
(2)因为展开式的通项为
Tk+1=(3)7-k·=37-k，
当=-1时，k=3，
所以展开式中含项的系数为34=2 835.
例3　解　的展开式的通项为
Tk+1=x12-k·=(-1)k.
(1)令k=3，则T4=(-1)3=-220x8.
(2)令12-k=0，解得k=9，
所以常数项为(-1)9=-220.
(3)当k=0，3，6，9，12时，Tk+1是有理项，分别为T1=x12，T4=-x8=-220x8，T7=x4=924x4，
T10=-=-220，T13=x-4=.
(4)因为n=12，所以展开项共有13项，
所以中间项为第7项.
令k=6，得T7=(-1)6=924x4.
跟踪训练3　解　的展开式的通项为
Tk+1=(-3)k=(-3)k.
(1)∵第6项为常数项，∴当k=5时，有=0，
即n=10.
(2)令=2，得k=2，
∴所求项的系数为(-3)2=405.
(3)由题意得
令=t(t∈Z)，则10-2k=3t，
即k=5-t.
∵k∈N，∴t应为偶数.
令t=2，0，-2，则k=2，5，8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为405x2，-61 236，295 245x-2.
随堂演练
1.B　［展开式的项数比二项式的指数大1，故选B.］
2.A　［由题设，(x-y)6的展开式的通项为
Tk+1=x6-k(-y)k，
∴第3项为T3=x4y2.］
3.20
解析　因为的展开式的通项为
Tk+1=
=36-2kx6(k-3)，k=0，1，…，6，
令6(k-3)=0，可得k=3，所以常数项为30=20.
4.x4
解析　(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1
=(x+1)4+(x+1)3(-1)1+(x+1)2(-1)2+(x+1)(-1)3+(-1)4=［(x+1)-1］4=x4.