2.2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课件(共21张PPT)2024-2025学年北师大版九年级数学下册

(共21张PPT)
北师版·九年级下册
第4课时 二次函数y=ax +bx+c的图象与性质
合作探究
问题1 怎样将 y=2x - 4x + 5化成 y = a(x h)2 + k 的形式？
想一想：配方的方法及步骤是什么？
y = 2x - 4x + 5
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示：配方后的解析式通常称为顶点式.
= 2(x - 2x) + 5
= 2(x - 2x + 1 - 1 ) + 5
= 2(x - 1) + 3
问题2 你能说出 y = 2(x - 1) + 3 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线 x = 1，顶点坐标是 (1，3).
问题3 二次函数 y = 2(x - 1) + 3 可以看作是由 y = 2x 怎样平移得到的？
答：平移方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 1 个单位得到的；
平移方法 2：先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 y = 2x - 4x + 5 的图象？
3
2
1
0
-1
x
解：先利用图形的对称性列表；
11
5
3
5
11
然后描点画图，得到图象
如右图.
y=2(x-1) +3
1
2
x
1
y
O
-1
-1
3
6
2
5
3
4
7
8
9
10
11
问题5 结合二次函数 y = 2x - 4x + 5 的图象，说出其增减性.
当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大.
1
2
x
1
y
O
-1
-1
3
6
2
5
3
4
7
8
9
10
11
典例精析
例1 已知二次函数 y＝x2﹣6x + 5．
(1) 将 y＝x2﹣6x + 5 化成 y＝a(x﹣h)2 + k 的形式；
(2) 求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
(3) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
(3) ∵ 抛物线的开口向上，对称轴是 x＝3，
∴ 当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小．
解：(1) y＝x2﹣6x + 5＝(x﹣3)2﹣4.
(2) 二次函数的图象的对称轴是 x＝3，顶点坐标是 (3，-4).
例2 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
y = ax2+bx+c
解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
∴对称轴是 ，顶点坐标为
归纳总结
因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是
对称轴是直线
，
.
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即
.
二次函数 y = ax2 + bx + c 的顶点式
y = ax2 + bx + c =
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值：
直线 x=3
直线 x=8
直线 x=1.25
直线 x= 0.5
最小值-5
最大值1
最小值
最大值
2
二次函数的图象与系数的关系
想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)
图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用.
开口方向
一般研究哪几种性质？
顶点坐标
对称轴
增减性
a 决定
a，b 共同决定
开口方向，对称轴
a，b 共同决定
c 决定什么？
合作探究
x
y
O
问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___0
b1 ___0
c1 ___0
a2 ___0
b2 ___0
c2 ___0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
x = 0 时
y = c.
y2 = a2x2 + b2x + c2
y1=a1x2+b1x+c1
x
y
O
a3 ___ 0
b3 ___ 0
c3 ___ 0
a4 ___ 0
b4 ___ 0
c4 ___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
x = 0时
y = c.
y4 = a4x2 + b4x + c4
y3 = a3x2 + b3x + c3
字母符号 图象的特征
a＞0 开口___________
a＜0 开口___________
b = 0 对称轴为_____轴
a、b 同号(ab＞0) 对称轴在 y 轴的____侧
a、b 异号(ab＜0) 对称轴在 y 轴的____侧
c = 0 经过原点
c ＞ 0 与 y 轴交于_____半轴
c ＜ 0 与 y 轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
二次函数图象与 a、b、c 的关系
O
y
x
–1
–2
3
已知二次函数 y = ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b 同号；
（2）当 x = –1和 x = 3 时，函数值相等；
（3） 4a+b = 0；
（4）当 y = –2 时，x 的值只能取 0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
链接中考
1. (浙江)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝-1，下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c；
③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b；
④若图象经过点(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0
的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5.
其中正确的结论的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　
　C．3　　　D．4
O
x = -1
1
x
y
【解析】解：①：由图象可知：a＜0，c＞0， ，
∴ b = 2a＜0，∴ abc＞0，故 ① 错误；
②：当 x = 1 时，y = a + b + c = a + 2a + c = 3a + c＜0，
∴3a＜-c，故 ② 正确；
③：∵ x = -1 时，y 有最大值，
∴ a - b + c≥am2 + bm + c ( m 为任意实数)，
即 a - b≥am2 + bm，即 a - bm≥am2 + b.
故 ③ 错误；
O
x = -1
1
x
y
④：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 图象经过点
(-3，-2)，方程 ax2＋bx＋c＋2 = 0 的两根
为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，
∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的一个交点
为 (-3，-2).
∵抛物线的对称轴为直线 x＝-1，
∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的
另一个交点为 (1，-2)，即 x1 = 1，x2 = -3.
∴2x1－x2 = 2－(-3) = 5，故 ④ 正确．
所以正确的是 ②④.
O
x = -1
1
x
y
顶点：
对称轴：
y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
课堂小结
课堂小结
谈一谈你的收获！
二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线.
顶点坐标公式
对称轴是 ，顶点坐标为
课后作业
课后练习
课后练习
1.确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
（1）y=－3x2+12x－3； （2）y=4x2－24x+26；
（3）y=2x2+8x－6； （4）y= x2－2x－1.

开口向上，
对称轴为x=3，
顶点为（3， － 10）.
开口向下，
对称轴为x=2，
顶点为（2，9）.
开口向上，
对称轴为x=－2
顶点为（ － 2， － 14）.
开口向上，
对称轴为x=2，
顶点为（2， － 3）.