2024-2025学年江苏省连云港市新海初级中学八年级（上）期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省连云港市新海初级中学八年级（上）期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下列说法正确的是( )
A. 的平方根是 B. 的平方根是
C. 没有平方根 D. 是的一个平方根
4.如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则( )
A. B. C. D.
5.如图，若，，则直接判定的理由是( )
A. B. C. D.
6.如图，已知平分，，若，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，是角平分线，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，边长为的等边三角形中，点在边上运动不与、重合，点在边的延长线上，点在边的延长线上，点在边上从至的运动过程中，周长变化规律为( )
A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.计算的结果为 ．
10.如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．
11.等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是 ．
12.如图，在中，，，，则的长是 ．
13.如图，，与相交于点，若，，则的长为 ．
14.如图，在长方形中，是对角线，将沿直线折叠，点落在点处，交边于点，若，则的度数为 ．
15.如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ．
16.如图，在直角中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：是等腰直角三角形；；≌；，其中正确结论是
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.
计算；
求式中的值．．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知的平方根为，的算术平方根为．
求，的值；
求的平方根．
19.本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示．
画出关于轴的对称图形点，，分别与点，，对应，并直接写出，，三点的坐标；
连接、，则的面积为
20.本小题分
如图，在中，，，点是边上一点，用直尺和圆规按要求作图不写作法，保留作图痕迹，并回答问题：
在边上作点，使得点到边的距离相等；
在射线上作点，使得点到点、点的距离相等；
若点是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点，的最小值是 ．
21.本小题分
如图，，，，，垂足分别为，，，．
证明：；
求的长．
22.本小题分
某工厂的大门如图所示，其中下方是高为米、宽为米的矩形，上方是半径为米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为米，宽为米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．
23.本小题分
如图，在中，点在边上，连接，，是的中点，是的中点，连接，求证：．
24.本小题分
我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示“赵爽弦图”边长为的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为，，斜边长为
如图，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法： ；
方法： ；
根据以上信息，可以得到等式： ；
小亮将“弦图”中的个三角形进行了运动变换，得到图，请利用图证明勾股定理；
如图，将图的个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
25.本小题分
如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，当点运动到点时运动结束，设出发的时间为秒．
出发秒时，求的长；
当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分；
当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
26.本小题分
我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”如下图，直线为的“美丽线．
如下图，在中，，，请利用直尺和量角器在图中画出的“美丽线”标出所得三角形的内角度数，不要求写画法．
在中，，若存在过点的“美丽线”，试探究与的关系，
下面是对这个问题的部分探究过程：
设为的“美丽线”，点在边上，则中各两个相等的内角．
探究
如下图，当时，因为，所以 ，且为锐角，则为钝角，所以中，，由此可以得到，与关系为 其中的取值范围 ．
探究
借助下面的图形，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系．
参考答案
1.
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15.
16.
17.【小题】
解：；
【小题】
，
，
．

18.【小题】
解：的平方根为，
，解得：，
的算术平方根为，
，
，
．
【小题】
，，
，
则的平方根为．

19.【小题】
解：如图所示，即为所求，、、．
【小题】

20.【小题】
解：点如图所示：
【小题】
解：点如图所示：
【小题】
解：点如图所示：
，
，
即在中，，
即，
即．

21.【小题】
证明：，，
，，
，
，
，
，
，
；
【小题】
解：，
，，
，，
，
故答案为：．

22.解：这辆货车不能通过这个大门，理由如下：
如图，设与矩形的宽的交点为，

，
，
，
这辆货车不能通过这个大门．

23.证明：连接，如图．
，是的中点，
，
，
是的中点，
．

24.【小题】

【小题】
解：，
即，
整理得，
故；
【小题】
解：如图，，
，，
，
则，
，
故阴影部分的面积为．

25.【小题】
解：，
，
，
；
【小题】
解：由勾股定理得：，
根据题意得：，，，
若能把的周长平分，则，
即，
解得：，
此时，
不合题意，
点在边上运动时，不可能把的周长平分；
【小题】
解：当时，如图所示

则，
，
，，
，
，
，
，
秒；
当时，如图所示：

则，
秒；
当时，如图所示：

过点作于点，
则，
，
，
，
秒，
由上可知，当的值为秒或秒或秒时，为等腰三角形．

26.【小题】
解：在中，，，
，
根据“美丽线”的定义可得，如图所示，
直线即为所求；
【小题】

【小题】
如图所示，是的“美丽线”，
，，
，，，
，整理得，；
如图所示，是三角形的“美丽线”，

，，
是的外角，
；
如图所示，当，是三角形的“美丽线”，

，，
；
综上所述，与的关系有或或．

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