北京市三十五中学2024-2025学年第一学期九年级数学12月阶段检测（图片版，无答案）

24-25 第一学期初三数学十二月阶段检测
一、选择题（共 16 分，每题 2 分. 符合题意的选项只有一个）
1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）．
A.圆 B.平行四边形 C.直角三角形 D.等边三角形
2.抛物线 的顶点坐标是（ ）．
A.（1，2） B.（1， ） C. （ 1， ） D.（ 1， ）
3.以下事件为随机事件的是（ ）．
A.通常加热到 100°C 时，水沸腾
B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C.任意画一个三角形，其内角和是
D.半径为 2 的圆的周长是
4.如图，△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=74°，点 O 是△ABC 的内心.
则∠BOC 等于（ ）．
A.124° B.118° C.112° D.62°
5.下列所给方程中，没有实数根的是（ ）．
A. B.
C. D.
6.如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中 OA 边与⊙C 相切于点 P．
若∠AOB=90°，OP=4，则 OC 的长为 （ ）．
A．8 B． C． D．
7.将二次函数 用配方法化为 的形式，结果为（ ）．
A. B.
y
C. D.
B C
8.如图，在平面直角坐标系 中，⊙O 的半径为 2，与 x 轴， DE
y 轴的正半轴分别交于点 A，B，点 C（1，c），D（ ，d），
A xO
E（e，1），P（m，n）均为 上的点（点 P 不与点 A，B 重合），
若 m＜n＜ m，则点 P 的位置为（ ）．
A.在 上 B.在 上 C.在 上 D.在 上
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二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9.一元二次方程 x2 3x=0 的解为_____________.
10.如图，A，B，C 是⊙O 上的三个点，若∠AOB＝70°，则∠C 等
于____________.
11.已知抛物线 y = x2 x 3经过点 A(2，y1) ，B(3，y2 )，则 y1 ____ y2（填“＜”，
“=”或“ ＞”).
12.如图，将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到△A’OB’，
若∠AOB=15°，则∠AOB’等于_______．
13.圆心角是 270°的扇形的半径为 4 cm，则这个扇形的面积是 cm .
14.小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小 2 岁，小刚的年龄
比小明的年龄大 1 岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是 130. 你知
1
y y 2 21=x y2= x
道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为 x 岁，则可 4
A B C
列方程为_____________． 4
3
15.如图，过点 A（0，4）作平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 2
1
1
y 21 = x (x 0)与 y2 = x
2 ( x 0)于 B、C 两点，那么线段 BC 的 O x
4
长是 ．
16. 如图，以 G(0,3）为圆心，半径为 6 的圆与 x 轴交于 A，B 两
点，与 y 轴交于 C，D 两点，点 E 为⊙G 上一动点，CF⊥AE 于
F，点 E 在运动过程中，线段 FG 的长度的最小值为________．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27题和28题，
每题7分）
解方程： x217. 2x 2 = 0．
18.在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y = x2 2mx + 5m的图象经过点 (1, 2)．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
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19. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数 2 ，
2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数 5 ，m，5．小明和小刚进行摸
球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为 a；再从乙口袋
中随机取出一个球，其上的数记为 b．若 a＜b，小明胜；若 a＝b，为平局；若
a＞b，小刚胜．
（1）若 m= 2 ，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；
（2）当 m 为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的
整数 m 的值．
20.如图，在等腰直角△ABC 中， BAC = 90 ，D是BC边上任意一点（不与B，C重
合），将线段 AD绕点 A 逆时针旋转90 得到线段 AE，连接CE，DE ．
（1）求 ECD的度数；
（2）若 AB = 4，BD = 2 ，求DE 的长．
21.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且 CD⊥AB 于点 E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若 CD= 4 2 ，OE=1，求⊙O 的半径．
22.已知关于 x的一元二次方程 x
2 3x + 2a 1 = 0 有两个不相等的实数根．
（1）求 a的取值范围；
（2）若 a 为正整数，求方程的根．
23.某超市按每袋 20 元的价格购进某种软糖，在销售过程中发现，该种软糖每天的
销售量 w(袋)与销售单价 x(元)满足w = 2x +80 (20≤x≤40)，如果销售这种软糖每天
的利润为 y（元）.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当软糖销售单价定为每袋多少元时，销售这种软糖每天的利润最大？最大利
润是多少？
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24.已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点．以 BD 为直径作⊙O，
交边 AB 于点 P，连接 PC，交 AD 于点 E．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若 PC 是⊙O 的切线，BC = 8，求 PC 的长．
25. 排球场的长度为 18 m，球网在场地
中央且高度为 2.24 m. 排球出手后的运
动路线可以看作是抛物线的一部分，建
立如图所示的平面直角坐标系，排球运
动过程中的竖直高度 y (单位：m)与水平距离 x (单位：m) 近似满足函数关系
y＝a(x-h)2+k (a<0) ．
（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下：
水平距离 x/m 0 2 4 6 11 15
竖直高度 y/m 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 0.38
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系 y＝a(x-h)2+k (a<0)；
②判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由．
（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度 y (单位：m) 与水平
距离 x (单位：m) 近似满足函数关系 y＝-0.02(x-4)2+2.88，请问该运动员
此次发球是否出界，并说明理由．
26.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax2 + bx + a 2(a 0)的对称轴是
直线 x＝1.
（1）用含 a 的式子表示 b；
（2）若当-2≤x≤3时，y 的最大值是 7，求 a 的值；
（3）若点 A（-2，m），B（3，n）为抛物线上两点，
且 mn<0，求 a 的取值范围.
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27.如图，在等腰△ABC 中，∠BAC=90 ，点 D 在线段 BC 的延长线上，连接 AD，
将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AE，连接 CE，射线 BA 与 CE 相交于点
F．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段 BD 与 CE 的数量关系，并证明；
（3）若 F 为 CE 中点，AB = 2 ，则 CE 的长为______．
28.在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 在 x 轴上，以点 M 为圆心的圆与 x 轴交于 A
（1，0），B（4，0）两点，对于点 P 和⊙M，给出如下定义：若抛物线
y = ax2 + bx + c(a 0)经过 A，B 两点且顶点为 P，则称点 P为⊙M 的“图象关
联点”.
5 5
（1）已知 E（5，2），F（ ，- 4），G（3，1），H（ ，3），
2 2
在点 E，F，G，H 中，⊙M 的 “图象关联点”是__________；
5
（2）已知⊙M 的 “图象关联点”P 在第一象限，若OP = PM ，判断 OP 与⊙M
3
的位置关系,并证明；
（3）已知 C（4，2），D（1，2），当⊙M 的 “图象关联点”P 在⊙M 外且在四边
2
形 ABCD 内时，直接写出抛物线 y = ax + bx + c 中 a 的取值范围.
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