2024-2025学年江苏省常州市实验中学、二十四中学等学校八年级（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年常州市实验中学、二十四中学等学校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组数据为勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下列说法错误的是( )
A. 是的平方根 B. 的平方根为
C. 的平方根为 D. 负数没有平方根
4.如图，和相交于点，若，不能证明的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，
若，则的度数是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在中，已知是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于( )
A. B.
C. D.
7.如图，和都是边长为的等边三角形，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则的长度是( )
A. B. C. D.
8.如图，点是射线上一个定点，点是射线上的一个动点，，以线段为边在右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是( )
；；
直线与射线所夹的锐角的度数不变；
随点的移动，线段的值逐渐增大．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9. ； ．
10.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了 路，却踩伤了花草
11.如图，点、、都在上，，若，则的度数是 ．
12.若，则 ．
13.若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的最长边上的高为 ．
14.如图，在中，，是中线，若，则的度数为 ．
15.如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 ．
16.如图，在中，，，垂足为，为边上的动点，若是等腰的底角，则的大小为 ．
17.如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若点到直线、的距离分别是，则称有序实数对是点的“距离坐标”特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为下列说法：“距离坐标”是的点只有点；“距离坐标”是的点只有个；“距离坐标”是的点共有个；正确的有 填序号．
18.如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边若是的中点，当取最小值时，的周长为 ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知：如图，，，点在上，，垂足为，，垂足为，求证：
是的平分线；
．
20.本小题分
如图，点、、都在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形的边长均为，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，并保留画图痕迹．
画出与关于直线对称的；
的面积为 ；
在直线上标出点，使最小，最小值________；
在直线上标出点，使点到、的距离相等．
21.本小题分
如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，请用尺规作图画出图形，并直接写出的长．
22.本小题分
如图，在中，，点在的右侧，的垂直平分线交于点，交于点，若点是中点．求证：．
23.本小题分
如图，是等边三角形，点在外部，且，连接，交于点．
求证：垂直平分；
在上取点，连接，交于点，若，试判断的形状，并说明理由．
24.本小题分
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图中的个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理．
把两个全等的直角和如图放置，其三边长分别为，，，，可得请用，，分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
若图中，，图中方格纸中的小正方形的边长为，请你用两种不同的方式将图中两个全等的直角三角形放入图的两个五边形中，并涂上阴影，则图中空白部分的面积为________，图中空白部分的面积为________，从而得到．
用中个全等的直角三角形拼成如图中的形状，则这个图形外围轮廓实线的周长为 ．
25.本小题分
【问题】在中，，为内一点，连接，，延长到点，使得．
如图，延长到点，使得，连接，若，求证：；
依题意补全图，连接，交的延长线于点，连接．若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【问题】如图，在中，，如果点为线段上一动点，点为线段上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值为 ．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

10.
11.
12.
13.
14.度
15.
16.或
17.
18.
19.【小题】
解：在和中，
，
，
是的平分线；
【小题】
解：由得是的平分线，
，，
．

20.【小题】
解：如图所示，即为所求；
【小题】

【小题】
解：如图，点即为所求．
点与点关于直线对称，
，
，根据两点之间线段最短，即可得到的最小值为．
此时即的最小值为．
故答案为：；
【小题】
解如图，点即为所求．
理由如下：连接，，
，
是的垂直平分线，
平分，
点到、的距离相等．

21.解：分三种情况：
如图所示：
当时，
由，可得；
如图所示：
当时，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
；
如图所示：
当时，
在中，，
，
；
综上所述：的长为或或．

22.解：连接、，如图，
，点是中点．
垂直平分线，
，
，，
，

23.【小题】
证明：是等边三角形，
，
，
点、在线段的垂直平分线上，
垂直平分；
【小题】
解：为等边三角形，理由如下：
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形．

24.【小题】
证明：由题意可知，，，，
，
，
，
，
；
【小题】
解：如图所示，

，，
图中空白面积；
图中空白面积．
；
【小题】

25.【小题】
证明：如图，延长交于点，
在和中，
，
，
，
，
；
【小题】
解：补全图形如下，
，理由如下：
如图：延长到，使，连接，，
，
，
为的垂平分线，
，
在和中，
，
，，
，
，
，，，
，
；
【小题】

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