2023-2024学年江苏省扬州市仪征市九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省扬州市仪征市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中是关于的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是( )
A. B. C. D.
3.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
4.已知的半径为，若，则点与的位置关系是( )
A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断
5.已知，相似比为，且的周长为，则的周长( )
A. B. C. D.
6.如图，点、、在上，已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.在如图所示的正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是( )
A. B.
C. D.
8.甲、乙、丙、丁四人在一次数学测验中的成绩分别为、、、，下面是他们四人的一段对话：
甲对乙说：“我的成绩比你高．”
丙说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的中位数．”
丁说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的平均数．”
假设以上对话完全正确，则、、、的大小关系是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.一组数据，，，的极差为 ．
10.某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，则 填“”“”或“”
11.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ．
12.连续两次抛掷一枚均匀的硬币，两次都正面朝上的概率是 ．
13.如图，与四边形各边都相切．若，，，则长为 ．
14.南宋数学家杨辉所著田亩比类乘除捷法中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步．”译文：一块矩形田地的面积是平方步，它的长和宽共步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为步，根据题意可列方程为 ．
15.已知线段，点是的黄金分割点，且，那么的长度是 ___结果保留根号
16.已知，在二次函数的图像上，比较 填、或
17.若二次函数的图象如图所示，则关于的方程的实数根是 ．
18.已知实数、，使得关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解下列方程：
；
．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
我校举办了预防春季传染病知识竞答活动，学校随机抽取了九年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理，得到如下不完整的统计表：
组别 分数分 频数人 百分比
； ； ；
此次竞答活动得分的中位数落在 组；
已知该校九年级共有名学生，请估计九年级学生中竞答成绩高于分人数．
21.本小题分
为了促进“足球进校园”活动的开展，某市举行了中学生足球比赛活动，打算从、、三支获胜足球队中随机抽取球队到其他地区学校进行交流．
如果随机抽取一支球队参与交流，则抽取球队的概率为 ；
如果随机抽取两支球队参与交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽取、两支球队的概率．
22.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若是此方程的一个根，求代数式的值．
23.本小题分
已知二次函数的图象经过点，．
求二次函数的解析式；
填空：要使该二次函数的图象与轴只有一个交点，应把图象沿轴向上平移 个单位．
24.本小题分
如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．
求证：；
若，，求的长．
25.本小题分
如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心、长为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，．
试判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求涂色部分的面积结果保留和根号．
26.本小题分
超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为元市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过元，每天可售出件．根据市场调查发现，销售单价每增加元，每天销售量会减少件．设销售单价增加元，每天售出件．
请写出与之间的函数表达式；
当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润元？
27.本小题分
在平面直角坐标系中，设二次函数是实数．
当时，若点在该函数图象上，求的值．
小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？
已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
28.本小题分
【模型再现】
如图，四边形中，，为对角线，．
求证：平分；
若，，则________；
【模型应用】如图四边形中，，为对角线，，为的中点，连接、，与交于点若，，求的值；
【模型拓展】如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上，用无刻度的直尺作图．在图中上画出点点不与点重合，使．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.，
18.
19.【小题】
解：，
移项得，
配方得，即，
开方得，
解得，；
【小题】
解：．
移项得，
因式分解得，
或，
解得，．

20.【小题】
【小题】
【小题】
解：人，
估计九年级学生中竞答成绩高于分的人数为人．

21.【小题】
【小题】
解：画树状图得：

共有种等可能的结果，恰好抽取、两支球队的有种情况，
恰好抽取、两支球队的概率为．

22.【小题】
证明：关于的一元二次方程．
，
方程总有两个不相等的实数根；
【小题】
解：是此方程的一个根，
把代入方程中得到，
，
，
．

23.【小题】
由已知，得，即，解得
所求的二次函数的解析式为；
【小题】
，
二次项系数，
抛物线开口向上，
要使该二次函数的图象与轴只有一个交点，应把图象沿轴向上平移个单位．
故答案为：．

24.【小题】
解：证明：四边形是正方形，
，，，
，
又，
，
，
；
【小题】
，，，
，
是的中点，
，
，
，即，
．

25.【小题】
证明：连接，如图所示：
平分
直线与相切
【小题】
解：，
在中，，
，
由勾股定理得：
，
．

26.【小题】
解：根据题意得，；
【小题】
解：根据题意得，，
解得：，，
每件利润不能超过元，
，
答：当为时，超市每天销售这种玩具可获利润元．

27.【小题】
解：当时，
在函数图象上，
【小题】
解：由题意得，顶点是
当时，
顶点在直线上
【小题】
证明：，都在二次函数的图象上
对称轴是直线
，
，
，
把代入抛物线解析式，得
，
，
有最大值为，
．

28.【小题】
证明：，，
，
，
平分；
解：，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
【小题】
解：，点为的中点，
，
，
，
，
，
由知，
，
，
，
，
，
．
【小题】
解：如图，点即为所作．


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