2024-2025学年浙江省义乌市绣湖中学九年级（上）数学期中试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省义乌市绣湖中学九年级（上）数学期中试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，是必然事件的是( )
A. 水中捞月 B. 水涨船高 C. 守株待兔 D. 百步穿杨
3.将抛物线向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
4.如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是( )
A. B. C. D.
5.一个不透明的盒子中装有个黄球，个黑球，个白球，个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是( )
A. 黄色 B. 黑色 C. 白色 D. 红色
6.若抛物线与直线交于，两点，则线段的长为( )
A. B. C. D.
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第个小孔成倒像的实验．并在墨经中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是( )
A. B. C. D.
9.在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，则以下说法不正确的是( )
A. 当时，与之间的函数表达式为
B. 石块的高度为
C. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是
D. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底
10.如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点连接、若，，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解： ．
12.从，，，，，这六个数中任意选取一个数，取到的数恰好是的整数倍的概率是 ．
13.若，则 ．
14.小明对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的函数图象如图所示为抛物线顶点，由此可知此次投掷的成绩是
15.已知关于的二次函数为常数若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为 ．
16.小明为了充分利用房子的空间，他计划在过道上放置一张折叠的桌子如图如图所示为小明初步的设计方案，已知厨房和过道的宽度分别为和，其中的矩形为固定餐桌，左侧紧靠墙壁，右侧是宽为厘米的可翻折矩形，边缘是拱高为的圆弧形，点为圆弧所在圆的圆心，点对准厨房门口的中央图中为厨房门框点，为门口中央，、为桌边中央两点．
圆弧所在圆的半径为 ．
为了保证餐桌在展开时，一个人还能挤得过去，使得过道右侧墙壁与桌子的距离不少于，试问图中的最多为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为
请画出绕点旋转的图形；
在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标．
19.本小题分
小亮、小明两人都握有分别标记为、、、的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每次各出一张牌，规定胜，胜，胜，胜，其他情况均无法分出胜负．
若小亮出“”牌，则小亮获胜的概率为 ；
求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率．
20.本小题分
“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径．
21.本小题分
如图，在中，点、分别在、上，与交于点，点在边上，，，，，．
求的长；
求的值．
22.本小题分
如图，平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，与双曲线交于点和点．
求，和的值；
直接写出时的取值范围；
如果平行四边形的对角线交双曲线于点，求点的坐标．
23.本小题分
已知二次函数
若点在抛物线上
求抛物线的对称轴；
若该二次函数与坐标轴有三个交点，则的取值范围；
已知点，，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
24.本小题分
【问题呈现】
如图，和都是等边三角形，连接，求证：．
【类比探究】如图，和都是等腰直角三角形，连接，则 ．
【拓展提升】如图，和都是直角三角形，，且连接，．
求的值；
延长交于点，交于点若，，求的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.或
16.【小题】
【小题】

17.解：
．

18.【小题】
解：如图所示，即为所求；
【小题】
解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，
点坐标为．

19.【小题】
【小题】
解：画树状图如下：

由树状图可得：一共有种等可能的情况，其中各出一次牌能分出胜负的有种情况，分别为、、、、，、、，
故小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率为．

20.解：设圆的半径为，
由题意可知，，，，
中，，即，
解得．
答：该门洞的半径为．

21.【小题】
解：，
，
，，，
，
，
解得；
【小题】
解：，
，，
，
，
，，
，
同理可得．
，
，
，
．

22.【小题】
解：双曲线过点和点，
，
，解得，
过点和点，
，解得
则，，；
【小题】
解：，
，
或；
【小题】
解：由得，令，解得，
点，
点，
点，
设直线的解析式为，则，解得，
直线的解析式为，
联立得，解得或舍去
点．

23.【小题】
解：点在抛物线上，
，
，
抛物线的对称轴为直线；
抛物线的图象与坐标轴有三个交点，
当时，，即抛物线的图象与轴交于点，
抛物线的图象与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，
，
，
，
解得：；
【小题】
当时，，
，
点在抛物线图象的下方，
抛物线与线段有一个公共点，
点的纵坐标大于等于时的函数值，
当时，，
，
，
令，
当时，或，
抛物线的开口向上，
当或时，，
的解集为：或，
当或时，抛物线与线段只有一个公共点．

24.【小题】
证明：和都是等边三角形，
，
，
，
，
；
【小题】
【小题】
解：，设，
．
，，
，
，
；
由得：，，，则，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
，
．

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