13.4最短路径问题 教案 人教版数学八年级上册

人教版八年级数学上
13.4课题学习最短路径问题教学设计
教学目标
经历最短路径问题的探究过程,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;
感悟几何图形相互转化的数学思想.
2、在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
3、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.
教学重难点
重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.
教学过程
一、创设情景 引入课题
师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究最短路径问题
(板书或课件展示)课题
学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.
二、自主探究 合作交流 建构新知
追问1:观察思考,抽象为数学问题
这是一个实际问题,你打算首先做什么
活动1:思考画图、得出数学问题
将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗
师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).
强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”
活动2:尝试解决数学问题
问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小
追问1　你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗
问题2　如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小
师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充
如果学生有困难,教师可作如下提示
作法:
(1)作点B 关于直线l 的对称点B';
(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.
如图所示:
问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗
教师展示:证明:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.
由轴对称的性质知,
BC =B'C,BC'=B'C'.
∴AC +BC= AC +B'C = AB',
AC'+BC'= AC'+B'C'.
在△AC'B'中,
AC'+B'C'>AB',
∴当只有在C点位置时,
AC+BC最短.
方法提炼:
将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.
三、综合综合灵活运用或探究
教材93页15题
学生进一步探究：造桥选址问题
在探究过程中引导学生分析、相互交流,,也可以阅读教材86-87页的内容，配合几何画板演示或适当指导学生的疑惑问题
小结
1、在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
2、理论依据
①两点的所有连线中，线段最短
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短