湖南省益阳市沅江市两校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（含答案）

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沅江市两校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
（考试范围：必修1第一章～第四章）
时量：120分钟满分：150分
一、选择题
1. “，”的否定是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 集合，，则（）
A. B.
C. D.
3. 三个数的大小顺序是
A. B.
C. D.
4. 若函数是上的单调函数，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
5. “函数在区间上单调递增”充分必要条件是（）
A. B. C. D.
6. 如图，点为坐标原点，点，若函数及的图象与线段分别交于点，，且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足．
A. B. C. D.
7. 已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C D.
8. 函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（）
A B. C. D.
二、选择题
9. 下列函数既是偶函数，又在区间上是减函数的是（）
A. B.
C. D.
10. 下列叙述正确的是（）
A当时，
B. 当时，的最小值是5
C. 函数的最大值是0
D. 函数在区间上单调递增，则的取值范围是
11. 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（）
A. 对任意，都有
B. 对任意，都存在，
C. 若，，则有
D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形
12. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　）
A.
B.
C. 在上的最大值是10
D. 不等式的解集为
三、填空题
13. 计算：______.
14. 已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
15. 已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为______
16. 已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是______．
四、解答题
17. 已知函数，其中，.
（1）求函数的解析式；
（2）已知方程的解集.
18. 已知函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）解不等式
19. 已知函数，.
（1）当时，解不等式；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
20. 已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有.
（1）判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）若对所有，恒成立，求实数的取值范围.
21. 某公司研发了一款新型的洗衣液，其具有“强力去渍、快速去污”的效果.研发人员通过多次试验发现每投放克洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.
（1）若一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（2）如果第一次投放4克洗衣液，4分钟后再投放4克洗衣液，写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度（克/升）与时间（分钟）的函数关系式，其中表示第一次投放的时长，并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污.
22. 我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.
（1）已知函数，求该函数图象的对称轴方程；
（2）若函数的图象关于直线对称，且当时，.
①求的解析式；
②求不等式的解集.
沅江市两校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
一、选择题
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3.
【答案】D
4.
【答案】D
5.
【答案】C
6.
【答案】A
7.
【答案】A
8.
【答案】D
二、选择题
9.
【答案】BC
10.
【答案】ACD
11.
【答案】BC
12.
【答案】ACD
三、填空题
13.
【答案】##
14.
【答案】(－3，＋∞)
15.
【答案】
16.【答案】8
四、解答题
17.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出、的值，即可得出函数的解析式；
（2）分、、三种情况解方程，即可得出原方程解集.
【小问1详解】
解：因为，则，
所以，，解得，
，可得，故.
【小问2详解】
解：因为.
当时，由，可得，舍去；
当时，由，可得；
当时，由，可得.
综上所述，方程的解集为.
18.
【解析】
【分析】（1）判断出函数为奇函数，再利用函数奇偶性的定义证明即可；
（2）由已知可得出且，可得出且，结合指数函数的单调性可得出的取值范围，即可得解.
【小问1详解】
解：函数为奇函数，证明如下：
对任意的，，故函数的定义域为，
，故函数为奇函数.
【小问2详解】
解：由，可得且，
即且，可得且，
解得或，
因此，不等式的解集为.
19.
【解析】
【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法可得出不等式的解集；
（2）由参变量分离法可知，，使得，令，可得出，利用单调性求出函数上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，，由可得，解得或，
故当时，不等式的解集为或.
【小问2详解】
解：因为，使得，
因为，则，
令，则，则，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，则，
故.
20.
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在[﹣1，1]上是的增函数；
（2）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式≤m2﹣5mt-5进行转化，结合二次函数性质即可求实数m的取值范围．
【详解】（1）函数在[－1，1]上是增函数.
设
∵是定义在[－1，1]上的奇函数，∴.
又，∴，
由题设有，即，
所以函数在[－1，1]上是增函数.
（2）由（1）知，∴对任意恒成立，
只需对]恒成立，即对恒成立，
设，则，
解得或，
∴的取值范围是．
21.
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，分类讨论，列出不等式，即可求解；
（2）根据题意，求得当时，，当时，，结合基本不等式求得最小值，即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
当时，由，解得；
当时，由，解得；
综上可得，所以一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达4分钟.
【小问2详解】
由（1）知，当时，可得，
当时，可得，
综上所述，
当时，，
当且仅当即时，等号成立，
因为，所以接下来的4分钟能够持续有效去污.
22.
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义推导出函数为偶函数，即可得出结果；
（2）①当时，可得出，即可得出函数的解析式；
②分析函数在上的单调性，由，可得出，不等式两边平方，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
解：因为，
因为，
令，则该函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，
因此，函数图象的对称轴方程为.
【小问2详解】
解：①因为函数的图象关于直线对称，且当时，
当时，，则，
所以，.
②当时，，因为函数、在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，则，
不等式两边平方可得，即，解得，
因此，不等式的解集为.
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