浙江省杭州高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
1．（2024高二上·上城期末）直线的倾斜角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·上城期末）若数列的通项公式为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·上城期末）若数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·上城期末）在空间四边形中，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二上·上城期末）以下四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则三点共线
B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C．
D．若，且，则
6．（2024高二上·上城期末）已知圆 ，圆 ，则两圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024高二上·上城期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（ ）
A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40
8．（2024高二上·上城期末）双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·上城期末）下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024高二上·上城期末）某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是（ ）
A．极差 B．中位数 C．平均数 D．方差
11．（2024高二上·上城期末）在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ）
A．平面
B．若是上的中点，则
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．存在点使直线与直线平行
12．（2024高二上·上城期末）在平面直角坐标系中，已知，若动点满足则（ ）
A．存在点，使得
B．面积的最大值为
C．对任意的点，都有
D．椭圆上存在个点，使得的面积为
13．（2024高二上·上城期末）在等差数列中，，则 .
14．（2024高二上·上城期末）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .
15．（2024高二上·上城期末）若函数在其定义域上单调递增，则实数a的取值范围是 .
16．（2024高二上·上城期末）高斯函数是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中表示不超过的最大整数，如.已知满足，设的前项和为，的前项和为.则（1） ；（2）满足的最小正整数为 ．
17．（2024高二上·上城期末）的内角的对边分别为，已知
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
18．（2024高二上·上城期末）如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19．（2024高二上·上城期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）已知时，直线为曲线的切线，求实数的值．
20．（2024高二上·上城期末）已知正项数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，的前项和为，求.
21．（2024高二上·上城期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点．
（1）若，求点的坐标；
（2）若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求.
22．（2024高二上·上城期末）已知双曲线的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，过点作直线（不与轴重合）与双曲线相交于两点，过点作直线的垂线为垂足．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）是否存在实数，使得直线过定点，若存在，求的值及定点的坐标；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：由可得，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：D.
【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值，再结合倾斜角的取值范围，从而得出直线的倾斜角的大小.
2．【答案】A
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：，
则.
故选：A.
【分析】利用数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合裂项相消求和的方法，从而得出的值.
3．【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：数列满足，，
，
，
，
，
，
是周期为的周期数列，
又因为，
故．
故选：A.
【分析】根据递推公式写出数列的前几项，再结合周期函数的定义判断出数量是周期为的周期数列，再结合数列的周期性，从而得出的值.
4．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
.
故选：C.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理，从而选出正确答案.
5．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；三点共线；空间向量基本定理；相等向量
【解析】【解答】解：对于A，若三点共线，
则，且，而，故A错误；
对于B，假设共面，
设，
因为为空间的一个基底，所以，
该方程组无解，假设不成立，故B正确；
对于C，设，
则，，故C错误；
对于D，由得，设与的夹角为，
所以，因为，所以，不一定有，故D错误.
故选：B.
【分析】根据向量三点共线定理，从而可判断选项A；假设共面，设，从而得出矛盾，进而判断选项B；举反例可判断选项C；利用数量积的运算法则和数量积的定义，从而结合判断出选项D，进而找出正确的命题.
6．【答案】B
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】因为圆 ，圆 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以两圆相交，
所以两圆的公切线的条数为2，
故答案为：B
【分析】根据圆的方程求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系，即可得到答案。
7．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比中项
【解析】【解答】解：由数列{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，
得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13，
所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，
即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列，
∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），
∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．
故选：D．
【分析】由数列{an}是等比数列，可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，再结合等比数列的定义，从而列方程组，进而求出S40的值．
8．【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，
则，，
由双曲线定义得，故，
由勾股定理得，即①，
连接，则，故，
由勾股定理得，即②，
由②得，代入①得，故.
故选：C.
【分析】根据双曲线定义和得到边长之间的关系，再结合勾股定理得到方程组，从而解方程组和双曲线的离心率公式，进而求出双曲线的离心率.
9．【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，因为，
所以，故D正确.
故选：BD.
【分析】根据函数的导数运算法则和复合函数的求导法则，从而逐一判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、去掉一个最低分，
所以，中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化.故B错误.
故选：ACD.
【分析】利用已知条件和平均数、中位数、方差的定义，从而逐项进行判断找出数字特征可能不同的选项.
11．【答案】A,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、
、、.
对于A，，易知平面的一个法向量为，
，则，又因为平面，
所以，平面，故A正确；
对于B，当是线段的中点时，，，
则，故B错误；
对于C，由选项A知，易知平面的一个法向量为，
则，故C正确；
对于D，设，其中，
，
假设存在点使直线与直线平行，则存在使，
即，无解，所以假设不成立，故D错误.
故选：AC.
【分析】利用已知条件，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系得出平面的一个法向量，从而得出线线垂直，进而得出平面，则判断出选项A；利用中点的性质和数量积的坐标表示，从而判断出选项B；利用两向量垂直数量积为0的等价关系得出平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而判断出选项C；利用向量共线定理和，再结合向量的坐标运算和 假设存在点使直线与直线平行，则存在使，从而建立方程组得出假设不成立，则判断出选项D，进而找出正确说法的选项.
12．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题知，点P的轨迹是，，焦点在轴上的椭圆，
则，椭圆方程为.
对于A：当点P为椭圆右顶点时，，故A正确；
对于B：当点为椭圆上、下顶点时，面积的取最大值，
且最大值为，故B错误；
对于C：，
因为，故C正确；
对于D：设使得的面积为的点坐标为，
由点，坐标知，，直线的方程为，
则，解得或，
联立，化简得，
则，因此存在两个交点，
同理可得，将直线与椭圆联立，化简得，
则，所以不存在交点；
综上所述，有且仅有2个点，使得的面积为，故D正确.
故选：ACD.
【分析】根据题意求得P的轨迹是椭圆，从而判断椭圆上是否存在点，使得，即可判断A；当点为椭圆上、下顶点时，面积取最大值，即可判断B；由椭圆定义知，即可判断C；利用的面积为的点坐标满足的关系，将直线与椭圆联立，再根据判别式法判断交点个数，从而可判断D，进而找出正确的选项.
13．【答案】9
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，，可得.
故答案为：9.
【分析】由题意，根据等差数列的性质求值即可.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】 【解答】设3名男同学为： 2名女同学为：
设选出的2名同学中至少有1名女同学的事件为A，
则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务的基本事件为：
共十种，
选出的2名同学中至少有1名女同学的基本事件为： 共七种，
利用古典概型求概率的公式，得：
【分析】根据实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率。
15．【答案】.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
因为函数在其定义域上单调递增，
所以在上恒成立，
则恒成立，
令，
因为，所以，
当是取得最大值，所以.
故填：.
【分析】利用函数的导函数结合函数在其定义域上单调递增，从而可得在定义域内恒成立，再结合函数的最值得出实数a的取值范围.
16．【答案】1；91
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题可知：，
则，且，
即为首项为2，公比为2的等比数列，
所以，则，
所以，
所以，
设，
则，
所以，
所以且k为正整数，所以，
所以，
，
所以，
所以满足的最小正整数为91．
故填：1；91．
【分析】利用构造法可得数列的通项公式，再由题意可得， ，再利用放缩法可得，从而得出，进而得出的值；再结合数列求和的方法和比较法得出满足的最小正整数的值.
17．【答案】（1）解：由已知及正弦定理得：，
即，
由，故，
，因为，所以.
（2）解：由已知得，，
又，，所以，
由余弦定理得：，
所以，从而，
即，
∴周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式化简计算即可；
（2）由面积可求出，利用余弦定理可求，即可得周长.
18．【答案】（1）证明：因为，，，
在中，由余弦定理可得，
于是，所以.
又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）解：因为四边形为正方形，所以，
又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
以A为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，
令，则，故，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，
令，则，故，
所以，
记平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角；解三角形
【解析】【分析】（1）由余弦定理和勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直.
（2）利用正方形的结构特征得出线线垂直，再结合面面垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）因为，，，
在中，由余弦定理可得，
于是，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以
（2）因为四边形为正方形，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
以A为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系.
，，，，，，
，，，.
设平面的一个法向量为，
所以，解得，令，则，故，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，令，则，故，
所以，
记平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
19．【答案】（1）解：，
令，得或．
若，则当时，；
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减；
若时，，在上单调递增；
若，则当时，；
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．
（2）解：当时，，
设切点，则切线方程为，
因为切线过原点， 故， 即，
解得或，
所以，或.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性.
（2）利用a的值得出函数的解析式，再根据导数的几何意义，设切点，从而求得切线方程，再根据切线过原点，从而计算出切点横坐标，进而得出实数k的值.
（1）．
令，得或．
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
若时，，在上单调递增；
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
时，在单调递增，在单调递减．
（2）当时，
设切点，则切线方程为
因为切线过原点， 故， 即，
解得或
所以或.
20．【答案】（1）解：①，
②，
①-②整理得，
数列是正项数列，，
当时，
数列是以2为首项，4为公差的等差数列，
.
（2）解：由题意知，，
故
.
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据与的关系和已知条件，再结合检验法和等差数列的定义，从而判断出数列 是以2为首项，4为公差的等差数列， 再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）中数列的通项公式和已知条件得出数列的通项公式，再结合分组求和的方式得出.
（1）①②
①-②整理得
数列是正项数列，
当时，
数列是以2为首项，4为公差的等差数列，
；
（2）由题意知，，
故
.
21．【答案】（1）解：由抛物线，可得焦点为，
由抛物线的定义可得，
而，所以，解得或，
当时，；当时，，
所以，点的坐标为或.
（2）解：
设，联立方程，得，
所以，即，且
由题知，，
整理得，
即，解得或，
当时，
当时，
综上所述：弦长的值为或.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的标准方程得出焦点坐标，再结合抛物线的定义和代入法得出点A的坐标.
（2）联立直线与抛物线方程，再结合韦达定理和数量积的坐标表示得出m的值，再结合分类讨论的方法和弦长公式得出弦长的值.
（1）由抛物线，可得焦点为，
由抛物线的定义可得，
而，所以，解得或.
当时，；当时，.
所以点的坐标为或.
（2）设，联立方程，得，
所以，即，
且
由题知，，
整理得，
即，解得或，
当时，；
当时，.
综上所述：弦长的值为或.
22．【答案】（1）解：将焦点到渐近线的距离转化为求直线的距离，
则，
因为渐近线方程，所以，
所以，双曲线方程为.
（2）解：
假设存在实数，使得直线过定点，
设直线，则，
联立，消得，
则，
直线，令，得：
，
又因为，
，
当时，即时，为定值，
所以，存在实数，使得直线过定点.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将焦点到渐近线的距离转化为求直线的距离，再结合点到直线的距离公式得出b的值，再利用双曲线的渐近线方程得出a的值，从而得出双曲线的标准方程.
（2）假设存在实数，使得直线过定点，从而设出直线AB的方程和点A，B的坐标，进而设出点E的坐标，再联立直线与双曲线的标准方程，再结合韦达定理得出，再设出直线EB的方程和赋值法和韦达定理得出点P的坐标与t的关系式，进而得出的值及定点的坐标.
（1）焦点到渐近线的距离不妨求直线的距离，渐近线方程，得
所以双曲线方程为；
（2）假设存在实数，使得直线过定点，
设直线，则．
联立，消得
则．
直线，令得：
又
当即时，为定值
所以存在实数，使得直线过定点.
1 / 1浙江省杭州高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
1．（2024高二上·上城期末）直线的倾斜角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：由可得，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：D.
【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值，再结合倾斜角的取值范围，从而得出直线的倾斜角的大小.
2．（2024高二上·上城期末）若数列的通项公式为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：，
则.
故选：A.
【分析】利用数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合裂项相消求和的方法，从而得出的值.
3．（2024高二上·上城期末）若数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：数列满足，，
，
，
，
，
，
是周期为的周期数列，
又因为，
故．
故选：A.
【分析】根据递推公式写出数列的前几项，再结合周期函数的定义判断出数量是周期为的周期数列，再结合数列的周期性，从而得出的值.
4．（2024高二上·上城期末）在空间四边形中，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
.
故选：C.
【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理，从而选出正确答案.
5．（2024高二上·上城期末）以下四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则三点共线
B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C．
D．若，且，则
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；三点共线；空间向量基本定理；相等向量
【解析】【解答】解：对于A，若三点共线，
则，且，而，故A错误；
对于B，假设共面，
设，
因为为空间的一个基底，所以，
该方程组无解，假设不成立，故B正确；
对于C，设，
则，，故C错误；
对于D，由得，设与的夹角为，
所以，因为，所以，不一定有，故D错误.
故选：B.
【分析】根据向量三点共线定理，从而可判断选项A；假设共面，设，从而得出矛盾，进而判断选项B；举反例可判断选项C；利用数量积的运算法则和数量积的定义，从而结合判断出选项D，进而找出正确的命题.
6．（2024高二上·上城期末）已知圆 ，圆 ，则两圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】因为圆 ，圆 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以两圆相交，
所以两圆的公切线的条数为2，
故答案为：B
【分析】根据圆的方程求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系，即可得到答案。
7．（2024高二上·上城期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（ ）
A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比中项
【解析】【解答】解：由数列{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，
得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13，
所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，
即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列，
∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），
∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．
故选：D．
【分析】由数列{an}是等比数列，可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，再结合等比数列的定义，从而列方程组，进而求出S40的值．
8．（2024高二上·上城期末）双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设，
则，，
由双曲线定义得，故，
由勾股定理得，即①，
连接，则，故，
由勾股定理得，即②，
由②得，代入①得，故.
故选：C.
【分析】根据双曲线定义和得到边长之间的关系，再结合勾股定理得到方程组，从而解方程组和双曲线的离心率公式，进而求出双曲线的离心率.
9．（2024高二上·上城期末）下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，因为，
所以，故D正确.
故选：BD.
【分析】根据函数的导数运算法则和复合函数的求导法则，从而逐一判断即可.
10．（2024高二上·上城期末）某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是（ ）
A．极差 B．中位数 C．平均数 D．方差
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、去掉一个最低分，
所以，中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化.故B错误.
故选：ACD.
【分析】利用已知条件和平均数、中位数、方差的定义，从而逐项进行判断找出数字特征可能不同的选项.
11．（2024高二上·上城期末）在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ）
A．平面
B．若是上的中点，则
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．存在点使直线与直线平行
【答案】A,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、
、、.
对于A，，易知平面的一个法向量为，
，则，又因为平面，
所以，平面，故A正确；
对于B，当是线段的中点时，，，
则，故B错误；
对于C，由选项A知，易知平面的一个法向量为，
则，故C正确；
对于D，设，其中，
，
假设存在点使直线与直线平行，则存在使，
即，无解，所以假设不成立，故D错误.
故选：AC.
【分析】利用已知条件，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系得出平面的一个法向量，从而得出线线垂直，进而得出平面，则判断出选项A；利用中点的性质和数量积的坐标表示，从而判断出选项B；利用两向量垂直数量积为0的等价关系得出平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而判断出选项C；利用向量共线定理和，再结合向量的坐标运算和 假设存在点使直线与直线平行，则存在使，从而建立方程组得出假设不成立，则判断出选项D，进而找出正确说法的选项.
12．（2024高二上·上城期末）在平面直角坐标系中，已知，若动点满足则（ ）
A．存在点，使得
B．面积的最大值为
C．对任意的点，都有
D．椭圆上存在个点，使得的面积为
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题知，点P的轨迹是，，焦点在轴上的椭圆，
则，椭圆方程为.
对于A：当点P为椭圆右顶点时，，故A正确；
对于B：当点为椭圆上、下顶点时，面积的取最大值，
且最大值为，故B错误；
对于C：，
因为，故C正确；
对于D：设使得的面积为的点坐标为，
由点，坐标知，，直线的方程为，
则，解得或，
联立，化简得，
则，因此存在两个交点，
同理可得，将直线与椭圆联立，化简得，
则，所以不存在交点；
综上所述，有且仅有2个点，使得的面积为，故D正确.
故选：ACD.
【分析】根据题意求得P的轨迹是椭圆，从而判断椭圆上是否存在点，使得，即可判断A；当点为椭圆上、下顶点时，面积取最大值，即可判断B；由椭圆定义知，即可判断C；利用的面积为的点坐标满足的关系，将直线与椭圆联立，再根据判别式法判断交点个数，从而可判断D，进而找出正确的选项.
13．（2024高二上·上城期末）在等差数列中，，则 .
【答案】9
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，，可得.
故答案为：9.
【分析】由题意，根据等差数列的性质求值即可.
14．（2024高二上·上城期末）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】 【解答】设3名男同学为： 2名女同学为：
设选出的2名同学中至少有1名女同学的事件为A，
则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务的基本事件为：
共十种，
选出的2名同学中至少有1名女同学的基本事件为： 共七种，
利用古典概型求概率的公式，得：
【分析】根据实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率。
15．（2024高二上·上城期末）若函数在其定义域上单调递增，则实数a的取值范围是 .
【答案】.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
因为函数在其定义域上单调递增，
所以在上恒成立，
则恒成立，
令，
因为，所以，
当是取得最大值，所以.
故填：.
【分析】利用函数的导函数结合函数在其定义域上单调递增，从而可得在定义域内恒成立，再结合函数的最值得出实数a的取值范围.
16．（2024高二上·上城期末）高斯函数是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中表示不超过的最大整数，如.已知满足，设的前项和为，的前项和为.则（1） ；（2）满足的最小正整数为 ．
【答案】1；91
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题可知：，
则，且，
即为首项为2，公比为2的等比数列，
所以，则，
所以，
所以，
设，
则，
所以，
所以且k为正整数，所以，
所以，
，
所以，
所以满足的最小正整数为91．
故填：1；91．
【分析】利用构造法可得数列的通项公式，再由题意可得， ，再利用放缩法可得，从而得出，进而得出的值；再结合数列求和的方法和比较法得出满足的最小正整数的值.
17．（2024高二上·上城期末）的内角的对边分别为，已知
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）解：由已知及正弦定理得：，
即，
由，故，
，因为，所以.
（2）解：由已知得，，
又，，所以，
由余弦定理得：，
所以，从而，
即，
∴周长为．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式化简计算即可；
（2）由面积可求出，利用余弦定理可求，即可得周长.
18．（2024高二上·上城期末）如图，在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为，，，
在中，由余弦定理可得，
于是，所以.
又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）解：因为四边形为正方形，所以，
又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
以A为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，
令，则，故，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，
令，则，故，
所以，
记平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角；解三角形
【解析】【分析】（1）由余弦定理和勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直.
（2）利用正方形的结构特征得出线线垂直，再结合面面垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）因为，，，
在中，由余弦定理可得，
于是，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以
（2）因为四边形为正方形，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
以A为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系.
，，，，，，
，，，.
设平面的一个法向量为，
所以，解得，令，则，故，
设平面的一个法向量为，
所以，解得，令，则，故，
所以，
记平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
19．（2024高二上·上城期末）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）已知时，直线为曲线的切线，求实数的值．
【答案】（1）解：，
令，得或．
若，则当时，；
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减；
若时，，在上单调递增；
若，则当时，；
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．
（2）解：当时，，
设切点，则切线方程为，
因为切线过原点， 故， 即，
解得或，
所以，或.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性.
（2）利用a的值得出函数的解析式，再根据导数的几何意义，设切点，从而求得切线方程，再根据切线过原点，从而计算出切点横坐标，进而得出实数k的值.
（1）．
令，得或．
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
若时，，在上单调递增；
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
时，在单调递增，在单调递减．
（2）当时，
设切点，则切线方程为
因为切线过原点， 故， 即，
解得或
所以或.
20．（2024高二上·上城期末）已知正项数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，的前项和为，求.
【答案】（1）解：①，
②，
①-②整理得，
数列是正项数列，，
当时，
数列是以2为首项，4为公差的等差数列，
.
（2）解：由题意知，，
故
.
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据与的关系和已知条件，再结合检验法和等差数列的定义，从而判断出数列 是以2为首项，4为公差的等差数列， 再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）中数列的通项公式和已知条件得出数列的通项公式，再结合分组求和的方式得出.
（1）①②
①-②整理得
数列是正项数列，
当时，
数列是以2为首项，4为公差的等差数列，
；
（2）由题意知，，
故
.
21．（2024高二上·上城期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点．
（1）若，求点的坐标；
（2）若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求.
【答案】（1）解：由抛物线，可得焦点为，
由抛物线的定义可得，
而，所以，解得或，
当时，；当时，，
所以，点的坐标为或.
（2）解：
设，联立方程，得，
所以，即，且
由题知，，
整理得，
即，解得或，
当时，
当时，
综上所述：弦长的值为或.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的标准方程得出焦点坐标，再结合抛物线的定义和代入法得出点A的坐标.
（2）联立直线与抛物线方程，再结合韦达定理和数量积的坐标表示得出m的值，再结合分类讨论的方法和弦长公式得出弦长的值.
（1）由抛物线，可得焦点为，
由抛物线的定义可得，
而，所以，解得或.
当时，；当时，.
所以点的坐标为或.
（2）设，联立方程，得，
所以，即，
且
由题知，，
整理得，
即，解得或，
当时，；
当时，.
综上所述：弦长的值为或.
22．（2024高二上·上城期末）已知双曲线的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，过点作直线（不与轴重合）与双曲线相交于两点，过点作直线的垂线为垂足．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）是否存在实数，使得直线过定点，若存在，求的值及定点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：将焦点到渐近线的距离转化为求直线的距离，
则，
因为渐近线方程，所以，
所以，双曲线方程为.
（2）解：
假设存在实数，使得直线过定点，
设直线，则，
联立，消得，
则，
直线，令，得：
，
又因为，
，
当时，即时，为定值，
所以，存在实数，使得直线过定点.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将焦点到渐近线的距离转化为求直线的距离，再结合点到直线的距离公式得出b的值，再利用双曲线的渐近线方程得出a的值，从而得出双曲线的标准方程.
（2）假设存在实数，使得直线过定点，从而设出直线AB的方程和点A，B的坐标，进而设出点E的坐标，再联立直线与双曲线的标准方程，再结合韦达定理得出，再设出直线EB的方程和赋值法和韦达定理得出点P的坐标与t的关系式，进而得出的值及定点的坐标.
（1）焦点到渐近线的距离不妨求直线的距离，渐近线方程，得
所以双曲线方程为；
（2）假设存在实数，使得直线过定点，
设直线，则．
联立，消得
则．
直线，令得：
又
当即时，为定值
所以存在实数，使得直线过定点.
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