浙江省嘉兴市2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一上·嘉兴期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·嘉兴期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·嘉兴期末）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·嘉兴期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高一上·嘉兴期末）已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·嘉兴期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·嘉兴期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．函数的图象关于点中心对称
8．（2024高一上·嘉兴期末）已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（2024高一上·嘉兴期末）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B．的图象经过点
C．在上单调递增 D．不等式的解集为
10．（2024高一上·嘉兴期末）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·嘉兴期末）已知函数，值域为，则（ ）
A．
B．的最大值为1
C．
D．，使得函数的最小值为
12．（2024高一上·嘉兴期末）设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（ ）
A． B．
C． D．为偶函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高一上·嘉兴期末）一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的半径为 ．
14．（2024高一上·嘉兴期末）函数的单调递增区间是 ．
15．（2024高一上·嘉兴期末）海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h．
16．（2024高一上·嘉兴期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2024高一上·嘉兴期末）已知集合．
（1）求集合；
（2）求．
18．（2024高一上·嘉兴期末）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于、两点，且，已知点的坐标为．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．（2024高一上·嘉兴期末）已知函数．
（1）求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数；
（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．（2024高一上·嘉兴期末）噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压（单位：）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级（单位：）是一个相对的物理量，并定义，其中常数为听觉下限阈值，且．
（1）已知某人正常说话时声压的范围是，求声压级的取值范围；
（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压为各声源声压的平方和的算术平方根，即．现有10辆声压级均为的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级是多少？
21．（2024高一上·嘉兴期末）设函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于轴对称．
（1）求的值；
（2）若直线与曲线在区间上从左往右仅相交于三点，且，求实数的值．
22．（2024高一上·嘉兴期末）已知函数．
（1）若，求函数在上的值域；
（2）若关于的方程恰有三个不等实根，且，求的最大值，并求出此时实数的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，则.
故答案为：B.
【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据诱导公式直接写答案即可.
3．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：函数，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据函数的解析式直接代入求的值即可.
4．【答案】C
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：若，且，则，则，所以成立，即充分性成立；
若，则成立，其中，且，可得即成立，即必要性成立，故“”是“”的充要条件。
故答案为：C.
【分析】利用作差法，得出的等价条件，再根据充分性和必要性定义证明即可.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为都是锐角，则，又因为，
所以，
则
.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据，结合同角三角函数基本关系以及两角和差公式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：
A、，
令，该函数的定义域为，，则为奇函数，故A正确；
B、
，令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，故B不正确；
C、
，令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，故C不正确；
D、，
令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，故D不正确.
故答案为：A.
【分析】由题意，化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断即可.
7．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由为等腰直角三角形，为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，则，
故函数的周期为4，由，，解得，
因为，所以，则，
将点代入，得，
则，，又因为，所以，所以，
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、若，则，显然函数不是单调的，故C错误；
D、，
所以函数的图象关于点中心对称，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，求出周期，利用周期公式求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项分析判断即可.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；指数函数的单调性与特殊点；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：易知函数、均为上的增函数，则函数为上的增函数，
，因为，其中，
所以，故，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
故答案为：A.
【分析】由题意，先判断函数的单调性，再由，可得，从而可得，结合二次函数的基本性质求的最大值即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数的图象经过点，所以，解得，
则幂函数，
A、由上分析可知，，故A正确；
B、由，可得，即的图象经过点，故B正确；
C、函数，易知在上单调递增，故C正确；
D、不等式，即，解得，即不等式的解集为，
故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据幂函数的图象经过点，求得，确定函数解析式，再依次判断选项即可.
10．【答案】C,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为，，且，取，，则，故A错误；
B、因为，，且，则，可得，
所以，则，
因为，故B错误；
C、，
当且仅当时等号成立，故C正确；
D、因为，当且仅当时，即当时等号成立，
所以，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由题意，取特殊值法即可判断A；利用二次函数的基本性质即可判断B；利用不等式的基本性质即可判断C；利用基本不等式结合对数函数的单调性即可判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】函数的单调性及单调区间；幂函数的图象与性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A、因为，故
令，则，
当时，，
因为，在上单调递减，在上单调递增，
所以，故A正确；
B、因为，，则且，
故，当且仅当或时，，
所以最大值为1，故B正确；
C、因为，，则，
即，所以，
由B可知与的最大值都为，则，故C错误；
D、当时，，
因为，，在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以当时，，又，易知，
故不可能存在使最小值为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用换元法与二次函数的单调性即可判断A；利用指数函数的单调性即可判断B；利用幂函数的单调性即可判断C；结合ABC选项的结论，求得，即可判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：A、因为为奇函数，所以，
即关于对称，又因为是定义在上的函数，所以，故A正确；
B、由，可得，则，故B正确；
C、因为，所以，即的周期为4；
因为，即，所以；
因为关于对称，所以，
则，故C错误；
D、由，可得，即为偶函数，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得即可判断A；由即可得，列方程组，解出即可判断B；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质即可判断C；由得即可判断D.
13．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，因为扇形的弧长和面积都是，
所以，解得，
故答案为：.
【分析】由题意，根据扇形的面积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：函数，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
则函数的单调递增区间是.
故答案为：.
【分析】取绝对值化为分段函数，再根据指数函数的单调性求解即可.
15．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由，且当地潮汐变化的周期为，
可得：，则，
令，则，
可得，解得，
设该船到达港口时刻为，离开港口时刻为，可知，
则，即，
所以最多可停留时长为小时.
故答案为：.
【分析】由题意，根据函数周期性可得，令，结合正弦函数性质求解即可.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数定义域为，
令，则只有一个零点，且该零点为正数，
由，可得，
根据函数和的图象及凹凸性可知，
只需满足即可，即：，
又因为，所以实数的取值范围是．
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，令，函数转化为只有一个零点，即，据此求解即可.
17．【答案】（1）解：由，解得或，则集合或；
（2）解：由（1）可得，，
则.
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）解不等式即可得集合A；
（2）由（1）可得，，再根据集合的并集运算求解即可.
（1）由题意得，解得或，所以或.
（2）由（1）可得，，
所以.
18．【答案】（1）解：由点的坐标为．，根据三角函数的定义可得，，
因为，且角、的终边与单位圆分别交于、两点，，
由图形可知，，故，
故；
（2）解：由（1）可知，且，
故，根据二倍角公式得．
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1）由题意，根据三角函数的定义求得角的正弦值和余弦值，分析可得，再利用诱导公式可求得的值，由此求的值即可；
（2）由（1）的结论，利用诱导公式求出的值，再根据同角三角函数基本关系求得的值，最后利用二倍角的正切公式求的值即可.
（1）解：由三角函数的定义可得，，
将因为，且角、的终边与单位圆分别交于、两点，且，
结合图形可知，，故.
故.
（2）解：由（1）可知，且，
故，根据二倍角公式得．
19．【答案】（1）解：函数，则，解得，即函数的定义域为，
任取，且，
则，
由于，所以，，，
并且
，则，
于是，
所以，即：，
所以函数在定义域上单调递增；
（2）解：当时，，
所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立，
等价于在恒成立．
由可得，所以，，
则，
则实数的取值范围是．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据对数函数的真数大于零，列关于的不等式组，求得函数的定义域，再利用函数单调性的定义证明即可；
（2）分析可知，，由可得出，结合参变量分离法可得出，利用指数函数的单调性，求实数的取值范围即可.
（1）解：对于函数，则，可得，
所以，函数的定义域为，
证明单调性：设，
则有，
，
由于，所以，，，
并且
，则，
于是，
所以，即：，
所以函数在定义域上单调递增．
（2）解：当时，，
所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立，
等价于在恒成立．
由可得，所以，，
则，
于是实数的取值范围是．
20．【答案】（1）解：当时，；
当时，；
因为是关于的增函数，
所以正常说话时声压级；
（2）解：由题意得：（其中）
总声压：
故这10辆车产生的噪声声压级．
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）由题意，根据是关于的增函数，结合声压的范围是，即可求解；
（2）由题意可得出求出，代入可求出总声压，再代入，求解即可.
（1）当时，；
当时，；
因为是关于的增函数，
所以正常说话时声压级．
（2）由题意得：（其中）
总声压：
故这10辆车产生的噪声声压级．
21．【答案】（1）解：函数，
由题意可知：曲线为函数
因为曲线关于轴对称，所以，解得，
又因为，所以；
（2）解：由（1）可知：，
根据函数在上的图象，如图所示：
设
可知：且，
由，得①，
又因为两点关于直线对称，则②
由①②可得，则.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数可得，再根据图象变换结合对称性求解即可；
（2）由（1）可知，根据题意结合图象可知：且，结合对称性分析求解即可.
（1）方法一：因为
，
由题意可知：曲线为函数
因为曲线关于轴对称，则，解得，
又因为，所以；
方法二：因为
，
由题意可知：函数关于直线对称，
则，解得，
又因为，所以.
（2）方法一：由（1）可知：，
根据函数在上的图象，如图所示：
设
可知：且，
由，得①，
又因为两点关于直线对称，则②
由①②可得，
于是；
方法二：由（1）可知：，
设，
根据函数在上的图象，如图所示：
由题意可知：，且，
又因为，得，则，
而，即，
可得，
令，则，可得，即，
故．
22．【答案】（1）解：当时，函数，
因为函数和均在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故，
故函数在上的值域为；
（2）解：，
显然：当时，，
由于方程有三个不等实根，所以必有，
令，则，显然有，
由，
得到，所以函数关于直线对称，
由，可得：，
于是，
，
①，
由可得：②，
将②代入①式可得：
，
当且仅当，即时等号成立，
由于恰有三个不等实根，且，
所以，此时，
由可得，
故.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）将代入，可得函数，根据函数和的单调性，推得函数在上单调递减，根据函数的单调性求其最值，即可得函数的值域；
（2）构造，根据，可得关于直线对称，进而可得，即可代入化简得的表达式，结合二倍角公式以及二次函数的性质求解即可.
（1）若，
因为函数和均在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故，
所以函数在上的值域为．
（2），
显然：当时，，
由于方程有三个不等实根，所以必有，
令，则，显然有，
由，
得到，所以函数关于直线对称，
由，可得：，
于是，
，
①，
由可得：②，
将②代入①式可得：
，
当且仅当，即时等号成立，
由于恰有三个不等实根，且，
所以，此时，
由可得，
故.
1 / 1浙江省嘉兴市2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一上·嘉兴期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，则.
故答案为：B.
【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高一上·嘉兴期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据诱导公式直接写答案即可.
3．（2024高一上·嘉兴期末）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：函数，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据函数的解析式直接代入求的值即可.
4．（2024高一上·嘉兴期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：若，且，则，则，所以成立，即充分性成立；
若，则成立，其中，且，可得即成立，即必要性成立，故“”是“”的充要条件。
故答案为：C.
【分析】利用作差法，得出的等价条件，再根据充分性和必要性定义证明即可.
5．（2024高一上·嘉兴期末）已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为都是锐角，则，又因为，
所以，
则
.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据，结合同角三角函数基本关系以及两角和差公式求解即可.
6．（2024高一上·嘉兴期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：
A、，
令，该函数的定义域为，，则为奇函数，故A正确；
B、
，令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，故B不正确；
C、
，令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，故C不正确；
D、，
令，该函数的定义域为，则，
所以，函数不是奇函数，故D不正确.
故答案为：A.
【分析】由题意，化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断即可.
7．（2024高一上·嘉兴期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．函数的图象关于点中心对称
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由为等腰直角三角形，为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，则，
故函数的周期为4，由，，解得，
因为，所以，则，
将点代入，得，
则，，又因为，所以，所以，
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、若，则，显然函数不是单调的，故C错误；
D、，
所以函数的图象关于点中心对称，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，求出周期，利用周期公式求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项分析判断即可.
8．（2024高一上·嘉兴期末）已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；指数函数的单调性与特殊点；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：易知函数、均为上的增函数，则函数为上的增函数，
，因为，其中，
所以，故，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
故答案为：A.
【分析】由题意，先判断函数的单调性，再由，可得，从而可得，结合二次函数的基本性质求的最大值即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（2024高一上·嘉兴期末）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B．的图象经过点
C．在上单调递增 D．不等式的解集为
【答案】A,B,C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数的图象经过点，所以，解得，
则幂函数，
A、由上分析可知，，故A正确；
B、由，可得，即的图象经过点，故B正确；
C、函数，易知在上单调递增，故C正确；
D、不等式，即，解得，即不等式的解集为，
故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据幂函数的图象经过点，求得，确定函数解析式，再依次判断选项即可.
10．（2024高一上·嘉兴期末）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为，，且，取，，则，故A错误；
B、因为，，且，则，可得，
所以，则，
因为，故B错误；
C、，
当且仅当时等号成立，故C正确；
D、因为，当且仅当时，即当时等号成立，
所以，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由题意，取特殊值法即可判断A；利用二次函数的基本性质即可判断B；利用不等式的基本性质即可判断C；利用基本不等式结合对数函数的单调性即可判断D.
11．（2024高一上·嘉兴期末）已知函数，值域为，则（ ）
A．
B．的最大值为1
C．
D．，使得函数的最小值为
【答案】A,B
【知识点】函数的单调性及单调区间；幂函数的图象与性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A、因为，故
令，则，
当时，，
因为，在上单调递减，在上单调递增，
所以，故A正确；
B、因为，，则且，
故，当且仅当或时，，
所以最大值为1，故B正确；
C、因为，，则，
即，所以，
由B可知与的最大值都为，则，故C错误；
D、当时，，
因为，，在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以当时，，又，易知，
故不可能存在使最小值为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用换元法与二次函数的单调性即可判断A；利用指数函数的单调性即可判断B；利用幂函数的单调性即可判断C；结合ABC选项的结论，求得，即可判断D.
12．（2024高一上·嘉兴期末）设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（ ）
A． B．
C． D．为偶函数
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：A、因为为奇函数，所以，
即关于对称，又因为是定义在上的函数，所以，故A正确；
B、由，可得，则，故B正确；
C、因为，所以，即的周期为4；
因为，即，所以；
因为关于对称，所以，
则，故C错误；
D、由，可得，即为偶函数，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得即可判断A；由即可得，列方程组，解出即可判断B；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质即可判断C；由得即可判断D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高一上·嘉兴期末）一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的半径为 ．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，因为扇形的弧长和面积都是，
所以，解得，
故答案为：.
【分析】由题意，根据扇形的面积公式求解即可.
14．（2024高一上·嘉兴期末）函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：函数，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
则函数的单调递增区间是.
故答案为：.
【分析】取绝对值化为分段函数，再根据指数函数的单调性求解即可.
15．（2024高一上·嘉兴期末）海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由，且当地潮汐变化的周期为，
可得：，则，
令，则，
可得，解得，
设该船到达港口时刻为，离开港口时刻为，可知，
则，即，
所以最多可停留时长为小时.
故答案为：.
【分析】由题意，根据函数周期性可得，令，结合正弦函数性质求解即可.
16．（2024高一上·嘉兴期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数定义域为，
令，则只有一个零点，且该零点为正数，
由，可得，
根据函数和的图象及凹凸性可知，
只需满足即可，即：，
又因为，所以实数的取值范围是．
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，令，函数转化为只有一个零点，即，据此求解即可.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2024高一上·嘉兴期末）已知集合．
（1）求集合；
（2）求．
【答案】（1）解：由，解得或，则集合或；
（2）解：由（1）可得，，
则.
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】（1）解不等式即可得集合A；
（2）由（1）可得，，再根据集合的并集运算求解即可.
（1）由题意得，解得或，所以或.
（2）由（1）可得，，
所以.
18．（2024高一上·嘉兴期末）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于、两点，且，已知点的坐标为．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：由点的坐标为．，根据三角函数的定义可得，，
因为，且角、的终边与单位圆分别交于、两点，，
由图形可知，，故，
故；
（2）解：由（1）可知，且，
故，根据二倍角公式得．
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1）由题意，根据三角函数的定义求得角的正弦值和余弦值，分析可得，再利用诱导公式可求得的值，由此求的值即可；
（2）由（1）的结论，利用诱导公式求出的值，再根据同角三角函数基本关系求得的值，最后利用二倍角的正切公式求的值即可.
（1）解：由三角函数的定义可得，，
将因为，且角、的终边与单位圆分别交于、两点，且，
结合图形可知，，故.
故.
（2）解：由（1）可知，且，
故，根据二倍角公式得．
19．（2024高一上·嘉兴期末）已知函数．
（1）求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数；
（2）若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：函数，则，解得，即函数的定义域为，
任取，且，
则，
由于，所以，，，
并且
，则，
于是，
所以，即：，
所以函数在定义域上单调递增；
（2）解：当时，，
所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立，
等价于在恒成立．
由可得，所以，，
则，
则实数的取值范围是．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据对数函数的真数大于零，列关于的不等式组，求得函数的定义域，再利用函数单调性的定义证明即可；
（2）分析可知，，由可得出，结合参变量分离法可得出，利用指数函数的单调性，求实数的取值范围即可.
（1）解：对于函数，则，可得，
所以，函数的定义域为，
证明单调性：设，
则有，
，
由于，所以，，，
并且
，则，
于是，
所以，即：，
所以函数在定义域上单调递增．
（2）解：当时，，
所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立，
等价于在恒成立．
由可得，所以，，
则，
于是实数的取值范围是．
20．（2024高一上·嘉兴期末）噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压（单位：）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级（单位：）是一个相对的物理量，并定义，其中常数为听觉下限阈值，且．
（1）已知某人正常说话时声压的范围是，求声压级的取值范围；
（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压为各声源声压的平方和的算术平方根，即．现有10辆声压级均为的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级是多少？
【答案】（1）解：当时，；
当时，；
因为是关于的增函数，
所以正常说话时声压级；
（2）解：由题意得：（其中）
总声压：
故这10辆车产生的噪声声压级．
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）由题意，根据是关于的增函数，结合声压的范围是，即可求解；
（2）由题意可得出求出，代入可求出总声压，再代入，求解即可.
（1）当时，；
当时，；
因为是关于的增函数，
所以正常说话时声压级．
（2）由题意得：（其中）
总声压：
故这10辆车产生的噪声声压级．
21．（2024高一上·嘉兴期末）设函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于轴对称．
（1）求的值；
（2）若直线与曲线在区间上从左往右仅相交于三点，且，求实数的值．
【答案】（1）解：函数，
由题意可知：曲线为函数
因为曲线关于轴对称，所以，解得，
又因为，所以；
（2）解：由（1）可知：，
根据函数在上的图象，如图所示：
设
可知：且，
由，得①，
又因为两点关于直线对称，则②
由①②可得，则.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数可得，再根据图象变换结合对称性求解即可；
（2）由（1）可知，根据题意结合图象可知：且，结合对称性分析求解即可.
（1）方法一：因为
，
由题意可知：曲线为函数
因为曲线关于轴对称，则，解得，
又因为，所以；
方法二：因为
，
由题意可知：函数关于直线对称，
则，解得，
又因为，所以.
（2）方法一：由（1）可知：，
根据函数在上的图象，如图所示：
设
可知：且，
由，得①，
又因为两点关于直线对称，则②
由①②可得，
于是；
方法二：由（1）可知：，
设，
根据函数在上的图象，如图所示：
由题意可知：，且，
又因为，得，则，
而，即，
可得，
令，则，可得，即，
故．
22．（2024高一上·嘉兴期末）已知函数．
（1）若，求函数在上的值域；
（2）若关于的方程恰有三个不等实根，且，求的最大值，并求出此时实数的值．
【答案】（1）解：当时，函数，
因为函数和均在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故，
故函数在上的值域为；
（2）解：，
显然：当时，，
由于方程有三个不等实根，所以必有，
令，则，显然有，
由，
得到，所以函数关于直线对称，
由，可得：，
于是，
，
①，
由可得：②，
将②代入①式可得：
，
当且仅当，即时等号成立，
由于恰有三个不等实根，且，
所以，此时，
由可得，
故.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）将代入，可得函数，根据函数和的单调性，推得函数在上单调递减，根据函数的单调性求其最值，即可得函数的值域；
（2）构造，根据，可得关于直线对称，进而可得，即可代入化简得的表达式，结合二倍角公式以及二次函数的性质求解即可.
（1）若，
因为函数和均在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故，
所以函数在上的值域为．
（2），
显然：当时，，
由于方程有三个不等实根，所以必有，
令，则，显然有，
由，
得到，所以函数关于直线对称，
由，可得：，
于是，
，
①，
由可得：②，
将②代入①式可得：
，
当且仅当，即时等号成立，
由于恰有三个不等实根，且，
所以，此时，
由可得，
故.
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