广东省深圳市深圳中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段考试（10月）数学试题
1．（2024高三上·罗湖月考）设集合，，则（ ）
A．{2} B． C． D．
2．（2024高三上·罗湖月考）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
3．（2024高三上·罗湖月考）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·罗湖月考）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·罗湖月考）已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·罗湖月考）直线与函数和的图象都相切，则（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2024高三上·罗湖月考）如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数，，的图像如下．结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是
A．
B．
C．
D．
8．（2024高三上·罗湖月考）已知实数x，y满足：，，则的值是（ ）．
A．1 B．2 C． D．
9．（2024高三上·罗湖月考）已知，且，则下列一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高三上·罗湖月考）已知函数，其中，为实数，则下列条件能使函数仅有一个零点的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．（2024高三上·罗湖月考）定义：实数满足，则称比远离.已知函数的定义域为，任取等于和中远离0的那个值，则（ ）
A．是偶函数 B．的值域为
C．在上单调递增 D．在上单调递减
12．（2024高三上·罗湖月考）若函数f(x)=xln(x+)为偶函数，则a= 。
13．（2024高三上·罗湖月考）若函数对恒成立，则的取值范围是 .
14．（2024高三上·罗湖月考）设，记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横 纵坐标都是整数的点，则函数的值域为 .
15．（2024高三上·罗湖月考）已知为锐角，.
（1）求与的值；
（2）求的值.
16．（2024高三上·罗湖月考）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且.
（注：年利润=年销售收入年总成本）
（1）写出年利润W（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
17．（2024高三上·罗湖月考）设函数.
（1）若，求的值.
（2）若，且在区间上为增函数，求的最大值.
（3）已知在区间上单调递增，，再从条件① 条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值.条件①：在区间上单调递减；条件②：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（2024高三上·罗湖月考）已知函数.
（1）讨论函数在区间上的最大值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．（2024高三上·罗湖月考）已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，令，求函数在区间上的最大值；
（3）记为的从小到大的第个极值点，若对一切恒成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题设有，
故答案为：B .
【分析】由交集的定义，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解:由题意，可把三人的预测简写如下:
甲：甲>乙.
乙：丙>乙且丙>甲.
丙；丙>乙.
∵只有一个人预测正确,
∴分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确.
如果乙预测正确,则丙预测正确，不符合题意。
如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确，
则有丙>乙，乙>甲,
∵乙预测不正确,而丙>乙正确,
∴只有丙>甲不正确，
∵甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾.不符合题意.
.只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,
甲>乙，乙>丙.
故答案为：A
【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确 ,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有-种情况就是甲预测正确乙、丙错误,从而得出结果.
3．【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，所以；
又因为，所以，即，所以；
又因为，所以，即，所以，
而，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据对数函数的单调性，结合中间值法判断即可.
4．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故答案为：D
【分析】 首先求出f(x) 的定义域，然后求出的单调递增区间即可。
5．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解： 角的终边过点， 因为，所以点在第三或第四象限，
又因为或，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义求解即可．
6．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解： 直线与函数和的图象都相切，
设两个切点分别为，
求导可得，
曲线在点处的切线方程为，
整理可得：，
曲线在点处的切线方程为，
整理可得：，
因为直线是两函数图象的公切线，所以，
由①可得，代入②得：，整理得：，
所以，代入②得：.
故答案为：D.
【分析】由题意，设切点分别为，再对函数求导，根据导数的几何意义，切点在切线上以及切点在函数图象上列方程组求解即可.
7．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据正弦型三角函数图象判断即可.
8．【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：因为，所以，
即，
令，，则，
令，
由显然为增函数，且，
可知，
从而．
故答案为：B.
【分析】将变形可得，构造成同一种形式，根据函数的性质求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、因为所以，
当且仅当时等号成立，即，故A正确；
B、因为，且，所以，故B正确；
C、因为，且无法判断与的大小关系，所以无法得出结论，故C错误；
D、因为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，利用均值不等式、对数的性质、辅助角公式，结合作差法求解判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由已知可得的定义域为，
A、当时，，
则，
当或时，；当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
因为 且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，
故此时有且只有一个零点，故A符合题意，
B、当时，，则.
当或时，；当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值.
又因为，且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有两个交点，
故此时有且只有两个零点，故B不合题意.
C、当时，，则在上恒成立，当且仅当时取等号，故在上单调递增，
又因为 ，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故C符合题意；
D、当时，，则在上恒成立，故在上单调递增，
又因为，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，将的值代入解析式，利用导数分析函数的单调性与极值，结合图象及零点存在性定理，判断零点个数即可.
11．【答案】A,D
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
，，
两边平方并化简得，
，由于，
所以，，
解得或，
解得，或，或，
或，
同理，由解得或，
设
设，
，
由于则；则，
，
故，所以为偶函数，故A正确；
由于，所以、，故B错误；
由上述分析可知，，，而，
所以在区间不是单调函数，故C错误；
，，在区间上递减，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意，先求函数的解析式，再逐项分析判断即可.
12．【答案】1
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由题知y=ln(x+)是奇函数，所以ln(x+)+ln(-x+)=ln(a+x2-x2)=lna=0， 解得a=1.
【分析】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在x=0处有意义，常用f(x)=0求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：不等式，
令，
由不等式对恒成立，
即不等式对任意恒成立，令，
因此，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意，利用二倍角的余弦公式化简，令，将问题转化为二次函数值恒小于0求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：在坐标系中作出四点，举例：
时，如下图，平行四边形内部有9个整点；
时，如下图，平行四边形内部有12个整点；
时，如下图，平行四边形内部有11个整点；
证明：设与交点为，与交点为，四边形内部（不包括边界）的整点都在线段上，由，则线段上的整点有3个或4个，
所以，
易求得点，
①当时，；
②当时，；
③其余情况，；故的值域为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用列举法，写出三个特殊情况，根据其总结归纳，设出整点出现的直线，分情况讨论求解即可.
15．【答案】（1）解：为锐角，，由同角三角函数基本关系可得，
整理可得，解得，
由余弦的二倍角公式可得：，
因为，所以；
（2）解：因为为锐角，所以，
又因为，所以，
因此，
因此
.
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）由题意，结合同角三角函数的关系和余弦二倍角公式化简求解即可；
（2）由同角三角函数的关系和正切的两角和差公式化简求值即可.
（1）因为，所以，
代入，得，解得，
因此，
因为，所以.
（2）因为为锐角，所以，
又因为，所以，
因此，
因此
.
16．【答案】（1）解：由题意；
（2）解：①当时，，
则，当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值，且，
②当时，，
当且仅当，即时，，
综合① ②知时，取最大值，
所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，根据年利润=年销售收入年总成本，求年利润W（万元）关于年产量（千件）的函数解析式即可；
（2）由（1）的结论，利用导数和基本不等式求解即可.
（1）由题意.
（2）①当时，，
则，当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值，且.
②当时，，
当且仅当，即时，.
综合① ②知时，取最大值.
所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大.
17．【答案】（1）解：因为，所以，
又因为，所以，则；
（2）解：由，则，
因为在每个闭区间上为增函数，
故在每个闭区间上为增函数，
依题意知对某个成立，
此时必有，于是，
解得，故的最大值为；
（3）解：因为，
所以的最大值为1，最小值为，
若选条件①：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即，
因为，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，又，则，所以，
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以，所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简，再代值求解即可；
（2）结合正弦函数的性质可得，进而得到，求解即可；
（3）根据结合正弦函数的性质求解即可.
（1）因为，
所以，
因为，所以，则.
（2）由，则，
因为在每个闭区间上为增函数，
故在每个闭区间上为增函数.
依题意知对某个成立，
此时必有，于是，
解得，故的最大值为.
（3）因为，
所以的最大值为1，最小值为.
若选条件①：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
因为，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，又，则.
所以.
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，
求导可得，
令，得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
当，即时，函数在区间上单调递增，
故函数的最大值为，
当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
故函数的最大值为，
综上，当时，函数在区间（上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为；
（2）解：当时，不等式恒成立，即，
也就是恒成立.令，则.
，
令在上单调递减，
又，故在上有唯一零点，
不妨设该零点为，则，则当时，单调递增；
当时，单调递减.
故，又，
所以，所以，
故，解得，故实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，利用分离讨论思想，分极值点是否在区间内求解即可；
（2）整理不等式，构造函数，利用导数研究新函数的单调性求得最值，可得答案.
（1）由题意可得函数的定义域为.
，
令，得.所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
当，即时，函数在区间上单调递增，
故函数的最大值为.
当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
故函数的最大值为.
综上，当时，函数在区间（上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为.
（2）法一：当时，不等式恒成立，即，
也就是恒成立.令，则.
，
令在上单调递减，
又，故在上有唯一零点，
不妨设该零点为，则，则当时，单调递增；当时，单调递减.
故，又，
所以，所以.
故，解得，故实数的取值范围为.
法二：当时，不等式恒成立，即，
即恒成立.令，则，则.
，故当时，单调递增，
当时，单调递减，故，
故，解得，故实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于整理不等式构造函数，利用导数研究新函数的单调性，导数的处理方法分别是1、分解因式；2、再次求导.
19．【答案】（1）解：当时，因为，所以，，
又因为，所以曲线在点处的切线方程为；
（2）解：函数，则，
设，则，其中，
当时，，所以在区间上单调递减，
所以对任意有，即，
所以在区间上单调递减，
因此函数在区间上的最大值为；
（3）解：
令，由，得，即，
而对于，当时，
若，即，则；
若，即，则；
因此，在区间与上，的符号总相反，
于是当时，取得极值，所以，
此时，.
对一切恒成立，
即恒成立，即恒成立，
设，则，令得，
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增；
因为，且当时，，所以
，
因此，恒成立，当且仅当，解得，
故实数的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，再求导，求得函数在的导数值与函数值，利用切线方程公式求解即可；
（2）求导，利用导数判断函数的单调性，再求函数在区间上的最大值即可；
（3）由函数解析式求导，根据余弦函数的性质，明确函数的单调性，求得极值点，整理不等式，构造函数，利用导数求新函数的最值即可.
（1）当时，因为，所以，，
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（2），则，
设，则，其中，
当时，，所以在区间上单调递减，
所以对任意有，即，
所以在区间上单调递减，
因此函数在区间上的最大值为.
（3）令，由，得，即，
而对于，当时，
若，即，则；
若，即，则；
因此，在区间与上，的符号总相反，
于是当时，取得极值，所以，
此时，.
对一切恒成立，
即恒成立，即恒成立，
设，则，令得，
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增；
因为，且当时，，所以
，
因此，恒成立，当且仅当，解得，
故实数的取值范围是.
1 / 1广东省深圳市深圳中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段考试（10月）数学试题
1．（2024高三上·罗湖月考）设集合，，则（ ）
A．{2} B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题设有，
故答案为：B .
【分析】由交集的定义，即可得出答案。
2．（2024高三上·罗湖月考）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
【答案】A
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】解:由题意，可把三人的预测简写如下:
甲：甲>乙.
乙：丙>乙且丙>甲.
丙；丙>乙.
∵只有一个人预测正确,
∴分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确.
如果乙预测正确,则丙预测正确，不符合题意。
如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确，
则有丙>乙，乙>甲,
∵乙预测不正确,而丙>乙正确,
∴只有丙>甲不正确，
∵甲>丙，这与丙>乙，乙>甲矛盾.不符合题意.
.只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,
甲>乙，乙>丙.
故答案为：A
【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确 ,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有-种情况就是甲预测正确乙、丙错误,从而得出结果.
3．（2024高三上·罗湖月考）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，所以；
又因为，所以，即，所以；
又因为，所以，即，所以，
而，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据对数函数的单调性，结合中间值法判断即可.
4．（2024高三上·罗湖月考）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以
故答案为：D
【分析】 首先求出f(x) 的定义域，然后求出的单调递增区间即可。
5．（2024高三上·罗湖月考）已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解： 角的终边过点， 因为，所以点在第三或第四象限，
又因为或，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义求解即可．
6．（2024高三上·罗湖月考）直线与函数和的图象都相切，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解： 直线与函数和的图象都相切，
设两个切点分别为，
求导可得，
曲线在点处的切线方程为，
整理可得：，
曲线在点处的切线方程为，
整理可得：，
因为直线是两函数图象的公切线，所以，
由①可得，代入②得：，整理得：，
所以，代入②得：.
故答案为：D.
【分析】由题意，设切点分别为，再对函数求导，根据导数的几何意义，切点在切线上以及切点在函数图象上列方程组求解即可.
7．（2024高三上·罗湖月考）如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数，，的图像如下．结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据正弦型三角函数图象判断即可.
8．（2024高三上·罗湖月考）已知实数x，y满足：，，则的值是（ ）．
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：因为，所以，
即，
令，，则，
令，
由显然为增函数，且，
可知，
从而．
故答案为：B.
【分析】将变形可得，构造成同一种形式，根据函数的性质求解即可.
9．（2024高三上·罗湖月考）已知，且，则下列一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、因为所以，
当且仅当时等号成立，即，故A正确；
B、因为，且，所以，故B正确；
C、因为，且无法判断与的大小关系，所以无法得出结论，故C错误；
D、因为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，利用均值不等式、对数的性质、辅助角公式，结合作差法求解判断即可.
10．（2024高三上·罗湖月考）已知函数，其中，为实数，则下列条件能使函数仅有一个零点的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由已知可得的定义域为，
A、当时，，
则，
当或时，；当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
因为 且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，
故此时有且只有一个零点，故A符合题意，
B、当时，，则.
当或时，；当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值.
又因为，且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有两个交点，
故此时有且只有两个零点，故B不合题意.
C、当时，，则在上恒成立，当且仅当时取等号，故在上单调递增，
又因为 ，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故C符合题意；
D、当时，，则在上恒成立，故在上单调递增，
又因为，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，将的值代入解析式，利用导数分析函数的单调性与极值，结合图象及零点存在性定理，判断零点个数即可.
11．（2024高三上·罗湖月考）定义：实数满足，则称比远离.已知函数的定义域为，任取等于和中远离0的那个值，则（ ）
A．是偶函数 B．的值域为
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】A,D
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
，，
两边平方并化简得，
，由于，
所以，，
解得或，
解得，或，或，
或，
同理，由解得或，
设
设，
，
由于则；则，
，
故，所以为偶函数，故A正确；
由于，所以、，故B错误；
由上述分析可知，，，而，
所以在区间不是单调函数，故C错误；
，，在区间上递减，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意，先求函数的解析式，再逐项分析判断即可.
12．（2024高三上·罗湖月考）若函数f(x)=xln(x+)为偶函数，则a= 。
【答案】1
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由题知y=ln(x+)是奇函数，所以ln(x+)+ln(-x+)=ln(a+x2-x2)=lna=0， 解得a=1.
【分析】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在x=0处有意义，常用f(x)=0求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算.
13．（2024高三上·罗湖月考）若函数对恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：不等式，
令，
由不等式对恒成立，
即不等式对任意恒成立，令，
因此，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意，利用二倍角的余弦公式化简，令，将问题转化为二次函数值恒小于0求解即可.
14．（2024高三上·罗湖月考）设，记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横 纵坐标都是整数的点，则函数的值域为 .
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：在坐标系中作出四点，举例：
时，如下图，平行四边形内部有9个整点；
时，如下图，平行四边形内部有12个整点；
时，如下图，平行四边形内部有11个整点；
证明：设与交点为，与交点为，四边形内部（不包括边界）的整点都在线段上，由，则线段上的整点有3个或4个，
所以，
易求得点，
①当时，；
②当时，；
③其余情况，；故的值域为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用列举法，写出三个特殊情况，根据其总结归纳，设出整点出现的直线，分情况讨论求解即可.
15．（2024高三上·罗湖月考）已知为锐角，.
（1）求与的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：为锐角，，由同角三角函数基本关系可得，
整理可得，解得，
由余弦的二倍角公式可得：，
因为，所以；
（2）解：因为为锐角，所以，
又因为，所以，
因此，
因此
.
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）由题意，结合同角三角函数的关系和余弦二倍角公式化简求解即可；
（2）由同角三角函数的关系和正切的两角和差公式化简求值即可.
（1）因为，所以，
代入，得，解得，
因此，
因为，所以.
（2）因为为锐角，所以，
又因为，所以，
因此，
因此
.
16．（2024高三上·罗湖月考）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且.
（注：年利润=年销售收入年总成本）
（1）写出年利润W（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
【答案】（1）解：由题意；
（2）解：①当时，，
则，当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值，且，
②当时，，
当且仅当，即时，，
综合① ②知时，取最大值，
所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，根据年利润=年销售收入年总成本，求年利润W（万元）关于年产量（千件）的函数解析式即可；
（2）由（1）的结论，利用导数和基本不等式求解即可.
（1）由题意.
（2）①当时，，
则，当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值，且.
②当时，，
当且仅当，即时，.
综合① ②知时，取最大值.
所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大.
17．（2024高三上·罗湖月考）设函数.
（1）若，求的值.
（2）若，且在区间上为增函数，求的最大值.
（3）已知在区间上单调递增，，再从条件① 条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值.条件①：在区间上单调递减；条件②：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：因为，所以，
又因为，所以，则；
（2）解：由，则，
因为在每个闭区间上为增函数，
故在每个闭区间上为增函数，
依题意知对某个成立，
此时必有，于是，
解得，故的最大值为；
（3）解：因为，
所以的最大值为1，最小值为，
若选条件①：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即，
因为，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，又，则，所以，
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以，所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简，再代值求解即可；
（2）结合正弦函数的性质可得，进而得到，求解即可；
（3）根据结合正弦函数的性质求解即可.
（1）因为，
所以，
因为，所以，则.
（2）由，则，
因为在每个闭区间上为增函数，
故在每个闭区间上为增函数.
依题意知对某个成立，
此时必有，于是，
解得，故的最大值为.
（3）因为，
所以的最大值为1，最小值为.
若选条件①：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
因为，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，又，则.
所以.
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以.
18．（2024高三上·罗湖月考）已知函数.
（1）讨论函数在区间上的最大值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为，
求导可得，
令，得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
当，即时，函数在区间上单调递增，
故函数的最大值为，
当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
故函数的最大值为，
综上，当时，函数在区间（上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为；
（2）解：当时，不等式恒成立，即，
也就是恒成立.令，则.
，
令在上单调递减，
又，故在上有唯一零点，
不妨设该零点为，则，则当时，单调递增；
当时，单调递减.
故，又，
所以，所以，
故，解得，故实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，利用分离讨论思想，分极值点是否在区间内求解即可；
（2）整理不等式，构造函数，利用导数研究新函数的单调性求得最值，可得答案.
（1）由题意可得函数的定义域为.
，
令，得.所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
当，即时，函数在区间上单调递增，
故函数的最大值为.
当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
故函数的最大值为.
综上，当时，函数在区间（上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为.
（2）法一：当时，不等式恒成立，即，
也就是恒成立.令，则.
，
令在上单调递减，
又，故在上有唯一零点，
不妨设该零点为，则，则当时，单调递增；当时，单调递减.
故，又，
所以，所以.
故，解得，故实数的取值范围为.
法二：当时，不等式恒成立，即，
即恒成立.令，则，则.
，故当时，单调递增，
当时，单调递减，故，
故，解得，故实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于整理不等式构造函数，利用导数研究新函数的单调性，导数的处理方法分别是1、分解因式；2、再次求导.
19．（2024高三上·罗湖月考）已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，令，求函数在区间上的最大值；
（3）记为的从小到大的第个极值点，若对一切恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，因为，所以，，
又因为，所以曲线在点处的切线方程为；
（2）解：函数，则，
设，则，其中，
当时，，所以在区间上单调递减，
所以对任意有，即，
所以在区间上单调递减，
因此函数在区间上的最大值为；
（3）解：
令，由，得，即，
而对于，当时，
若，即，则；
若，即，则；
因此，在区间与上，的符号总相反，
于是当时，取得极值，所以，
此时，.
对一切恒成立，
即恒成立，即恒成立，
设，则，令得，
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增；
因为，且当时，，所以
，
因此，恒成立，当且仅当，解得，
故实数的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，再求导，求得函数在的导数值与函数值，利用切线方程公式求解即可；
（2）求导，利用导数判断函数的单调性，再求函数在区间上的最大值即可；
（3）由函数解析式求导，根据余弦函数的性质，明确函数的单调性，求得极值点，整理不等式，构造函数，利用导数求新函数的最值即可.
（1）当时，因为，所以，，
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（2），则，
设，则，其中，
当时，，所以在区间上单调递减，
所以对任意有，即，
所以在区间上单调递减，
因此函数在区间上的最大值为.
（3）令，由，得，即，
而对于，当时，
若，即，则；
若，即，则；
因此，在区间与上，的符号总相反，
于是当时，取得极值，所以，
此时，.
对一切恒成立，
即恒成立，即恒成立，
设，则，令得，
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增；
因为，且当时，，所以
，
因此，恒成立，当且仅当，解得，
故实数的取值范围是.
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