2.2 第3课时 二次函数y=a(x－h)2和y=a(x－h)2+k的图象与性质（2）课件(共22张PPT) 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

(共22张PPT)
第二章 二次函数
第3课时
二次函数y=a(x－h) 和y=a(x－h) +k的图象与性质
2.2 二次函数的图象和性质
1. 说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况:
(1) y = ax2
(2) y = ax2+c
(3) y = a(x -h)2
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
x
x
O
O
y = 2x2 -
2. 请说出二次函数 y = 2x2 的开口方向、顶点坐标、
对称轴及最值？
3. 把 y = 2x2 的图象
向下平移 个单位
向左平移3个单位
y = 2(x + 3)2
4. 请猜测一下，二次函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象是否可以由 y = 2x2 平移得到？
例1 画出函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性.
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
1.5
-0.5
1.5
7.5
17.5
31.5
49.5
解：先列表：
y=2(x+3)2 -
二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质
1
2
4
x
-2
4
y
O
-2
-4
6
8
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：___________
___________________
__________________________.
再描点、连线.
向上
直线 x = -3
( 3， 0.5)
当 x＜-3 时，
y 随 x 增大而减小；
当 x＞-3 时，y 随 x 增大而增大
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k
(a＞0) 的性质是什么？
y=2(x+3)2 -
试一试 画出二次函数 的图象，并填空.
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：___________
___________________
______________________________.
2
4
x
-2
-4
-6
y
O
-2
-4
向下
直线 x = -1
( 1， 1)
当 x＜-1 时，
y 随 x 增大而增大；
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？
归纳总结
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线 x = h
直线 x = h
(h，k)
(h，k)
当 x = h 时，y最小值 = k
当 x = h 时，y最大值 = k
当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大
当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小
例2 已知抛物线 y＝a(x 3)2 + 2 经过点 (1， 2)．
(1) 指出抛物线的对称轴；
(2) 求 a 的值；
解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)，
对称轴为直线 x＝3.
(2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)，
∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2，
∴ a＝-1.
典例精析
(3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
试比较 y1 与 y2 的大小．
∴ y1＜y2.
解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2，
∴ 此函数的图象开口向下，
当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大.
∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
2
二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系
y=2x2怎样移动可以得到y=2(x + 3)2- ？
画一画，填出下表：
开口方向
对称轴
顶点坐标
y = 2x2
函数
y = 2x2-
y = 2(x+3)2
y=2(x+3)2-
向上
向上
向上
向上
x = 0
x = 0
x = -3
x = -3
(0,0)
(0,-)
(-3,0)
(-3,-)
2
4
x
-1
2
y
O
-2
-4
6
y = 2x2
y = 2x2-
y = 2(x+3)2
y=2(x+3)2-
平移方法1
向左平移3个单位长度
个单位长度
向下平移
例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线
y = 2(x + 3)2 - ？
y = 2x2
y = 2x2-
y=2(x+3)2-
2
4
x
-1
2
y
O
-2
-4
6
8
平移方法2
向下平移 个单位长度
例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线
y = 2(x + 3)2 - ？
y = 2x2
y =2(x+3)2
y=2(x+3)2-
向左平移
3 个单位
2
4
x
-1
2
y
O
-2
-4
6
8
归纳总结
y = ax2
y = ax2±k
y = a(x±h)2
y = a( x±h )2±k
上下
平移
左右
平移
上下
平移
左右
平移
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
简记为：
上下平移，
常数项上加下减；
左右平移，
自变量左加右减.
二次项系数 a 不变.
二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系
链接中考
1. (哈尔滨)将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 ( )
A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1
C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3
A
试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 )
a＞0，
h＜0
a＞0，
h＞0
a＜0，
h＜0
a＜0，
h＞0
例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (　　)
解析：根据二次函数开口向上得 a＞0，根据 －k 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 k＞0，故一次函数 y＝ax＋k 的图象经过第一、二、三象限．故选 A.
A
归纳总结
结论：① a 决定开口方向. ② (h，k) 决定顶点坐标.
h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y 轴的左侧；h＞0，对称轴在 y 轴的右侧；
k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴的下侧.
③ a，h(对称轴) 决定函数的增减性.
说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0)
图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用.
一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0)
与 y = ax2 (a≠0) 的形状相同，位置不同.
二次函数
y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质
图象特点
当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下.
对称轴是 x = h，
顶点坐标是 (h，k)
平移规律
左右平移：自变量左加右减；
上下平移：常数项上加下减.
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2(x + 3)2 + 5
向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线 x=－3
直线 x = 1
直线 x = 3
直线 x = 2
(－3, 5 )
y =－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y =－5(2－x)2－6
1. 完成下列表格:
2. 已知函数 y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
(3) 怎样移动抛物线 y＝﹣x2，就可以得到抛物线
y＝﹣(x﹣4)2﹣1
(1) 指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是 　
　 ，顶点坐标为　 　 ；
(2) 当 x　 　 时，y 随 x 的增大而减小；
向下
直线 x＝4
(4，﹣1)
＞4
解：将抛物线 y＝﹣x2 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位就可以得到抛物线 y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
3. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0)．
(1) 求 a 的值；
(2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系．
(1) 将 (3，0) 代入 y＝a(x－1)2－4， 得 0＝4a－4，
(2) 方法一:根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵ y1＝y2，
∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵ n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得 2m＋n＝2.
解：
解得 a＝1.
方法二：
∵ 抛物线 y＝a(x－1)2－4 的对称轴是直线 x = 1，
∴ 当 y1＝y 2 时，A、B 两点关于直线 x = 1 对称.
∴ ，化简，得 2m＋n＝2.
要点归纳：对于抛物线 y＝a(x－h)2 + k(a≠0) 上的两个不同点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，若 y1 = y2，则必有
，即 x1 + x2 = 2h.