5.1.2垂线课时提升作业（含解析）

5.1.2垂线课时提升作业（含解析）
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,OA⊥OB,若∠1=40°,则∠2的度数是　(　　)
A.20° B.40° C.50° D.60°
【解析】选C.因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,
所以∠1+∠2=90°,因为∠1=40°,所以∠2=50°.
2.如图,点A在直线BC外,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的一个动点,则AP的长不可能是　(　　)
A.2.5　　　　　　　　　　 B.3
C.4　　　　　　　　　　 D.5
【解析】选A.当P和C重合时,AP=3;当P和C不重合时,AP>3.根据垂线段最短,可知AP的长不可小于3.
【变式训练】点P为直线l外一点,点A,B,C为直线l上三点,PA=4 cm,PB=5 cm,
PC=2 cm,则点P到直线l的距离为　(　　)
A.4 cm　　　　　　 B.2 cm
C.小于2 cm　　　　　　 D.不大于2 cm
【解析】选D.由题意知,PC3.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数是　(　　)
A.60°　　　　　　 B.120°
C.60°或90°　　　　　 D.60°或120°
【解析】选D.①如图1,
当OC,OD在AB的同一侧时,OC⊥OD,所以∠COD=90°.又因为∠AOC=30°,所以
∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°;②如图2,当OC,OD在AB的两侧时,因为OC⊥OD,∠AOC=30°,所以∠AOD=60°,所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.
【易错提醒】若两线段垂直,两射线垂直或线段与射线及直线垂直,都是指它们所在的直线互相垂直,画图时要全面,本题有两种情况.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠2=2∠1,那么∠2=　　　　,∠3=　　　　.
【解析】因为AB⊥CD,所以∠2+∠1=90°.因为∠2=2∠1,所以2∠1+∠1=90°,所以∠1=30°,∠2=60°.因为∠1与∠3是对顶角,所以∠3=∠1=30°.
答案:60°　30°
5.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,∠BOD=20°,则∠COE等于　　　　.
【解析】因为∠AOC=∠BOD=20°,OE⊥AB,
所以∠EOA=90°,所以∠COE=90°-20°=70°.
答案:70°
6.如图,BD⊥AC于D,DE⊥BC于E,若DE=9 cm,AB=12 cm,不考虑点与点重合的情况,则线段BD的取值范围是　　　　.
【解析】因为BD⊥AC,所以AB>BD,因为AB=12 cm,所以BD<12 cm.
又因为DE⊥BC,所以BD>DE.
因为DE=9 cm,所以BD>9 cm,
所以9 cm答案:9 cm【变式备选】如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C,线段AB,BC,CD的大小顺序如何 说明理由.
【解析】AB>BC>CD.
理由是:因为CD⊥AB,垂足为D,所以BC>CD.因为AC⊥BC,垂足为C,所以AB>BC.所以AB>BC>CD.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,已知直线AB与CD相交于点O,OE,OF分别是∠BOD,∠AOD的平分线.
(1)∠DOE的补角是　　　　　　.
(2)若∠BOD=62°,求∠AOE和∠DOF的度数.
(3)判断射线OE与OF之间有怎样的位置关系 并说明理由.
【解析】(1)因为OE是∠BOD的平分线,
所以∠DOE=∠BOE,
又因为∠BOE+∠AOE=180°,∠DOE+∠COE=180°,
所以∠DOE的补角是∠AOE或∠COE.
(2)因为OE是∠BOD的平分线,∠BOD=62°,
所以∠BOE=∠BOD=31°,
所以∠AOE=180°-31°=149°,
因为∠BOD=62°,
所以∠AOD=180°-62°=118°,
因为OF是∠AOD的平分线,
所以∠DOF=×118°=59°.
(3)OE与OF的位置关系是:OE⊥OF.
理由如下:因为OE,OF分别是∠BOD,∠AOD的平分线,
所以∠DOE=∠BOD,∠DOF=∠AOD,
因为∠BOD+∠AOD=180°,
所以∠EOF=∠DOE+∠DOF
=(∠BOD+∠AOD)=90°,
所以OE⊥OF.
【方法技巧】垂直的应用与判定
1.见垂直得90°:如果两直线垂直,那么这两条直线的交角一定是90°.
2.判垂直证角为90°:要判定两条直线是否垂直,只要说明两直线有一个交角为90°.
8.(8分)如图所示,已知AO⊥OB于O,DO⊥OC于O,∠AOC=∠α,求∠BOD(用∠α表示).
【解析】因为OA⊥OB于O,
所以∠AOC+∠BOC=90°.
因为∠AOC=∠α,
所以∠BOC=90°-∠α.
又因为OC⊥OD于O,所以∠COD=90°.
因为∠BOD=∠COD+∠BOC,
所以∠BOD=90°+90°-∠α=180°-∠α.
【互动探究】如上图中,你能找出图中互余的角吗 你能找出互补的角吗
【解析】因为OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOB=∠COD=90°,所以∠AOC+∠BOC=90°,∠AOD+∠AOC=90°,所以∠AOC与∠BOC互余、∠AOD与∠AOC互余.
∠AOB+∠DOC=180°,∠AOC+∠BOD=180°,所以∠AOB与∠DOC互补,∠AOC与
∠BOD互补.
【培优训练】
9.(10分)如图,已知直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,请完成下列各题:
(1)找出∠AOC的邻补角.
(2)若FO⊥CD于点O,且∠BOC=30°,求出∠BOF和∠DOE的度数.(请在图中画出FO)
【解题指南】解答本题的三个关键:
1.将垂直关系转化为90°角.
2.要正确画出两种符合条件的图形.
3.利用对顶角、平角、角的和差求解.
【解析】(1)∠AOC的邻补角为∠AOD,∠COB.
(2)有下列两种情况:
①当OF在∠AOE内部时,
因为OF⊥CD,所以∠COF=90°.
又∠BOC=30°.∠BOF=∠BOC+∠COF=30°+90°=120°,因为∠AOD与∠BOC为对顶角,所以∠AOD=∠BOC=30°.又OE⊥AB,所以∠AOE=90°,所以∠DOE=∠AOD+
∠AOE=30°+90°=120°.
②当OF在∠BOD内部时,
因为OF⊥CD,所以∠COF=90°,又∠BOC=30°,所以∠BOF=∠COF-∠BOC=90°-
30°=60°.
∠DOE与①中求法相同,∠DOE=120°.
【知识拓展】分类讨论的数学思想方法
概念:数学问题比较复杂时,有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法,我们称为分类讨论法或分类讨论思想.
分类原则:①明确对象,②不重不漏,③逐级讨论,
④综合作答.
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