【基础版】北师大版数学九年级上册4.7相似三角形的性质 同步练习
一、选择题
1．如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
2．（2024九上·重庆市开学考）如图，与位似，点O为位似中心，已知，周长为8，则的周长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．（2023九上·岳阳期中）若两个相似三角形对应边上的高的比为，则这两个三角形的周长的比为（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．（2023九上·秀峰期中）两个相似三角形的相似比是，则它们的周长比是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，D为边BC上的点，点E，F分别是边AB，AC上两点，且EF∥BC，若AE：EB=m，BD：DC=n，则（ ）
A．当m>1，n>1时，2S△AEF>S△ABD
B．当m<1，n<1时，2S△AEF>S△ABD
C．当m>1，n<1时，2S△AEFD．当m<1，n>1时，2S△AEF6．（2022九上·莲池期中）如图，在中，点，分别在，上，若，且的面积为9，则四边形的面积为（ ）
A．18 B．27 C．72 D．81
7．（2024九下·枣庄模拟）如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交、于点D、E，连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023九上·合浦期中）两个相似三角形的面积之比是，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为 厘米．
9．（2024九上·零陵期末）若两个相似多边形的周长分别为和，若较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为 ．
10．（2023九上·通道期中）如图，平行四边形中，，交于点E如果，的面积为，那么的面积是 ．
11．（2022九上·岳阳期中）已知，的周长为3，的周长为1，则与的面积之比为 ．
12．（2023九上·石景山期中）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为 ．
13．（2023九上·永康月考）两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 ．
三、解答题
14．如图，
在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD．
（1）△ABC与△DEC相似吗 为什么
（2）若S△ABC：S△DEC=4：9，BC=6，求EC的长．
15．（2022·武汉模拟） 如图，已知AB∥DE，BC∥EF，D、C在AF上，且AD=CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）点C是线段DF的中点，BC交DE于点G，请直接写出的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：设另一个三角形对应中线的长为 x
∴
解得x=或
故答案为C.
【分析】设另一个三角形对应中线的长为 x，根据题意需要分两种情况讨论，再根据相似三角形对应中线的比等于相似比，列出方程，解出x即可.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，点O为位似中心，
∴，，
∵周长为8，
∴周长：的周长，
∴的周长为，
故答案为：C．
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，据此得△ABC∽△DEF，进而根据位似图形的位似比等于对应顶点到位似中心的距离比得AC∶DF=AO∶OD=2∶1，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答．
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为，
∴这两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形的周长的比为，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们的周长比是，
故答案为：A
【分析】根据相似三角形的性质（相似比等于周长比）即可求解。
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∵AE：EB=m
∴
当m=1时，EF为△ABC的中线，此时
当n=1时，
则
A： 当m>1，n>1时 ，比如，n=9
则，，，
∴2S△AEFB：m<1，n<1时，取，，结论不成立，B错误
C：m>1，n<1时，取m=10，，则 2S△AEF>S△ABD ，C错误
D：m<1，n>1时，
∴ 2S△AEF故答案为：D
【分析】根据直线平行性质及相似三角形判定定理可得△AEF∽△ABC，由题意可得，当m=1时，EF为△ABC的中线，此时，当n=1时，，则，再逐项进项判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴△ADE∽△ABC，相似比为 ，
∴S△ADE：S△ABC=1：9，
∵S△ADE=9，
∴S△ABC=81，
∴四边形BCED的面积为S△ABC－S△ADE=81－9=72，
故答案为：C．
【分析】先证出△ADE∽△ABC，相似比为 ，再利用相似三角形的性质可得S△ABC=81，最后利用割补法求出四边形BCED的面积为S△ABC－S△ADE=81－9=72即可.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
8．【答案】3
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个三角形面积比为9：25
∴两个三角形相似比为3：5
设另一三角形对应边上的高为x，
∴，
解得x=3
故答案为：3
【分析】先根据相似三角形的性质得到两个三角形相似比为3：5，设另一三角形对应边上的高为x，进而代入即可求解。
9．【答案】18
【知识点】相似多边形；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：若两个相似多边形的周长分别为和，
两个相似多边形的周长比是，
两个相似多边形的相似比是，
两个相似多边形的面积比是，
较小多边形的面积为，
∴较大多边形的面积为．
故答案为：．
【分析】利用相似多边形的性质（相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
10．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
，，
设，则，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．已知四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可推出，；利用相似三角形的判定定理可证明：，再根据对应边、的比例关系，可推出到两个三角形的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得它们的面积比可得：，代入数据进行计算可求出的面积 ．
11．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：的周长为3，的周长为1，
∴三角形的相似比是，
∴与的面积之比为．
故答案为：．
【分析】利用相似三角形的性质（相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
12．【答案】1：4
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，设小方格的边长为1，E、F在格点上。
∵△ABE、△DCF分别是边长为1和2的等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠CDF＝45°，，，
∵BE//DF，
∴∠EBO＝∠FDO，
∴∠ABO＝∠CDO，
又∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，（AAS）
∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2，
∴，
故答案为：1∶4．
【分析】证明△AOB∽△COD，只需求出其相似比的平方即得两三角形面积比。
13．【答案】6
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x，
∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
∴两个相似三角形的周长比为2：3，
∴=，
解得，x=6，
∴较大三角形的周长为6，
故答案为：6．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可。
14．【答案】（1）解：△ABC与相似，理由如下：
（2）解：，
.
又
.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据题意得到进而得到，再结合已知条件运用相似三角形的判定即可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到进而得到，再结合已知条件代入即可求解。
15．【答案】（1）证明：，，
，，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（2）是线段的中点，
，
，
△CDG∽△FDE
，
．
【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据线段的运算得到，再根据三角形全等的判定证明即可求解；
（2）根据中点得到，进而得到，再根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
1 / 1【基础版】北师大版数学九年级上册4.7相似三角形的性质 同步练习
一、选择题
1．如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：设另一个三角形对应中线的长为 x
∴
解得x=或
故答案为C.
【分析】设另一个三角形对应中线的长为 x，根据题意需要分两种情况讨论，再根据相似三角形对应中线的比等于相似比，列出方程，解出x即可.
2．（2024九上·重庆市开学考）如图，与位似，点O为位似中心，已知，周长为8，则的周长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与位似，点O为位似中心，
∴，，
∵周长为8，
∴周长：的周长，
∴的周长为，
故答案为：C．
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，据此得△ABC∽△DEF，进而根据位似图形的位似比等于对应顶点到位似中心的距离比得AC∶DF=AO∶OD=2∶1，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答．
3．（2023九上·岳阳期中）若两个相似三角形对应边上的高的比为，则这两个三角形的周长的比为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为，
∴这两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形的周长的比为，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案.
4．（2023九上·秀峰期中）两个相似三角形的相似比是，则它们的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们的周长比是，
故答案为：A
【分析】根据相似三角形的性质（相似比等于周长比）即可求解。
5．如图，在△ABC中，D为边BC上的点，点E，F分别是边AB，AC上两点，且EF∥BC，若AE：EB=m，BD：DC=n，则（ ）
A．当m>1，n>1时，2S△AEF>S△ABD
B．当m<1，n<1时，2S△AEF>S△ABD
C．当m>1，n<1时，2S△AEFD．当m<1，n>1时，2S△AEF【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∵AE：EB=m
∴
当m=1时，EF为△ABC的中线，此时
当n=1时，
则
A： 当m>1，n>1时 ，比如，n=9
则，，，
∴2S△AEFB：m<1，n<1时，取，，结论不成立，B错误
C：m>1，n<1时，取m=10，，则 2S△AEF>S△ABD ，C错误
D：m<1，n>1时，
∴ 2S△AEF故答案为：D
【分析】根据直线平行性质及相似三角形判定定理可得△AEF∽△ABC，由题意可得，当m=1时，EF为△ABC的中线，此时，当n=1时，，则，再逐项进项判断即可求出答案.
6．（2022九上·莲池期中）如图，在中，点，分别在，上，若，且的面积为9，则四边形的面积为（ ）
A．18 B．27 C．72 D．81
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴△ADE∽△ABC，相似比为 ，
∴S△ADE：S△ABC=1：9，
∵S△ADE=9，
∴S△ABC=81，
∴四边形BCED的面积为S△ABC－S△ADE=81－9=72，
故答案为：C．
【分析】先证出△ADE∽△ABC，相似比为 ，再利用相似三角形的性质可得S△ABC=81，最后利用割补法求出四边形BCED的面积为S△ABC－S△ADE=81－9=72即可.
7．（2024九下·枣庄模拟）如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交、于点D、E，连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
二、填空题
8．（2023九上·合浦期中）两个相似三角形的面积之比是，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为 厘米．
【答案】3
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个三角形面积比为9：25
∴两个三角形相似比为3：5
设另一三角形对应边上的高为x，
∴，
解得x=3
故答案为：3
【分析】先根据相似三角形的性质得到两个三角形相似比为3：5，设另一三角形对应边上的高为x，进而代入即可求解。
9．（2024九上·零陵期末）若两个相似多边形的周长分别为和，若较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为 ．
【答案】18
【知识点】相似多边形；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：若两个相似多边形的周长分别为和，
两个相似多边形的周长比是，
两个相似多边形的相似比是，
两个相似多边形的面积比是，
较小多边形的面积为，
∴较大多边形的面积为．
故答案为：．
【分析】利用相似多边形的性质（相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
10．（2023九上·通道期中）如图，平行四边形中，，交于点E如果，的面积为，那么的面积是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
，，
设，则，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．已知四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可推出，；利用相似三角形的判定定理可证明：，再根据对应边、的比例关系，可推出到两个三角形的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得它们的面积比可得：，代入数据进行计算可求出的面积 ．
11．（2022九上·岳阳期中）已知，的周长为3，的周长为1，则与的面积之比为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：的周长为3，的周长为1，
∴三角形的相似比是，
∴与的面积之比为．
故答案为：．
【分析】利用相似三角形的性质（相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
12．（2023九上·石景山期中）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为 ．
【答案】1：4
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，设小方格的边长为1，E、F在格点上。
∵△ABE、△DCF分别是边长为1和2的等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠CDF＝45°，，，
∵BE//DF，
∴∠EBO＝∠FDO，
∴∠ABO＝∠CDO，
又∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，（AAS）
∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2，
∴，
故答案为：1∶4．
【分析】证明△AOB∽△COD，只需求出其相似比的平方即得两三角形面积比。
13．（2023九上·永康月考）两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 ．
【答案】6
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x，
∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
∴两个相似三角形的周长比为2：3，
∴=，
解得，x=6，
∴较大三角形的周长为6，
故答案为：6．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可。
三、解答题
14．如图，
在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD．
（1）△ABC与△DEC相似吗 为什么
（2）若S△ABC：S△DEC=4：9，BC=6，求EC的长．
【答案】（1）解：△ABC与相似，理由如下：
（2）解：，
.
又
.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据题意得到进而得到，再结合已知条件运用相似三角形的判定即可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到进而得到，再结合已知条件代入即可求解。
15．（2022·武汉模拟） 如图，已知AB∥DE，BC∥EF，D、C在AF上，且AD=CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）点C是线段DF的中点，BC交DE于点G，请直接写出的值.
【答案】（1）证明：，，
，，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（2）是线段的中点，
，
，
△CDG∽△FDE
，
．
【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据线段的运算得到，再根据三角形全等的判定证明即可求解；
（2）根据中点得到，进而得到，再根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
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