【提升版】北师大版数学九年级上册4.7相似三角形的性质 同步练习
一、选择题
1．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD=10，A'D'=6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
2．（2023九上·通道期中）如图，中，边，高，边长为x的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则正方形边长x为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·通道期中）两个相似三角形的相似比是，则这两三角形面积的比是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·莲池期中）如图，在中，点，分别在，上，若，且的面积为9，则四边形的面积为（ ）
A．18 B．27 C．72 D．81
5．（2023九上·新邵期中）如果，且的三边长分别为3、5、6，的最短边长为9，那么的周长等于 （ ）
A．4 B． C．21 D．42
6．（广东省广州市海珠区2023-2024学年九年级上学期数学期末试题）如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是（ ）．
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
7．（2023九上·高碑店期中）如图，四边形是平行四边形，，则四边形的面积是（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
8．（2023九上·靖西期中），，分别是和的角平分线，且，下面给出的四个结论中，正确的结论有（ ）
①，②， ③，④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023九上·慈利期中）如图，在中，点E在上，若，则 ．
10．（2023九上·合浦期中）已知直角三角形ABC，AH为斜边BC边上的高，，则和的相似比的值为 ．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记为S1；取BE的中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记为S2．照此规律作下去，则S2023= ．
12．（2023九上·通道期中）如图，平行四边形中，，交于点E如果，的面积为，那么的面积是 ．
13．（2023九上·永康月考）两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 ．
三、解答题
14．如图，
在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且BE：CE=1：2，AE交BD于点F．
（1）求的值．
（2）求△BEF与△DAF的周长比和面积比．
15．如图，
在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD．
（1）△ABC与△DEC相似吗 为什么
（2）若S△ABC：S△DEC=4：9，BC=6，求EC的长．
16．（2023八下·宁波期中）如图，△ABC中，AB＝m，BC＝n（m、n为常数，n＜m），点D是AB上的一点，且∠DCB＝∠A，过点D作DE∥BC于点E．
（1）若m＝8，n＝4，求BD．
（2）连结BE，若BE平分∠ABC，求m、n满足的关系式．
（3）设△AED与△BCD的周长和为C，△ABC的周长为l．探究：的值是否存在最大或最小值？若存在，请求出这个值：若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵ △ABC∽△A'B'C'
∴△ABC与△A'B'C'的周长比为=BC：B'C'=AD：A'D'=10：6=5：3
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
即，
解得．
故答案为：A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质．利用正方形的性质可推出：，利用相似三角形的判定定理可证明，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，据此列方程，解方程可求出的值．
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴这两三角形面积的比是，
故答案为：D
【分析】本题考查相似三角形的性质.根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求出这两三角形面积的比．
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴△ADE∽△ABC，相似比为 ，
∴S△ADE：S△ABC=1：9，
∵S△ADE=9，
∴S△ABC=81，
∴四边形BCED的面积为S△ABC－S△ADE=81－9=72，
故答案为：C．
【分析】先证出△ADE∽△ABC，相似比为 ，再利用相似三角形的性质可得S△ABC=81，最后利用割补法求出四边形BCED的面积为S△ABC－S△ADE=81－9=72即可.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：，
相似比为，
，
；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出即可.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和是位似图形，
∴∽，
又∵点O是位似中心，且OE=2OB，
∴，
又∵∠AOB∽∠DOE，
∴△AOB∽△DOE，
∴
∴，
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的定义分析目标相似三角形面积与位似对应线段比之间的关系，进而利用相似三角形性质即可推出目标三角形的面积比与相似比的关系得出结果.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形ABCD
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
根据平行四边形性质得到AD//BC，及，进而得到八字型三角形相似，根据形似的性质对应边比例及面积比等于相似比的平方，，先求出，再根据等高，面积比等于底比，则，进而得出，，即可求解．
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，分别是和的角平分线，且，
∴，，故①②正确； ④错误；
，故③错误；
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
9．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：中，，
，，
，
，
即，
故答案为：．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，从而可得.
10．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：
直角三角形，为斜边边上的高，，
，
，
和的相似比的值为，
故答案为：
【分析】先根据题意画出图，进而根据三角形的面积得到，进而根据相似三角形的性质结合题意即可得到和的相似比的值为.
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=BC=2
∴
∵ ED∥AB
∴△CDE∽△CAB
∵ D是BC边的中点
∴
∴
同理：
∴
同理：
同理：
依次类推：=
故答案为.
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求出S1，S2，S3…，观察数据，推出规律即可.
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
，，
设，则，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．已知四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可推出，；利用相似三角形的判定定理可证明：，再根据对应边、的比例关系，可推出到两个三角形的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得它们的面积比可得：，代入数据进行计算可求出的面积 ．
13．【答案】6
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x，
∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
∴两个相似三角形的周长比为2：3，
∴=，
解得，x=6，
∴较大三角形的周长为6，
故答案为：6．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可。
14．【答案】（1）解：在平行四边形ABCD中，
∴∠DAF=∠BEF，∠ADF=∠EBF，
（2）解：∵，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而结合已知条件即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得到，
15．【答案】（1）解：△ABC与相似，理由如下：
（2）解：，
.
又
.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据题意得到进而得到，再结合已知条件运用相似三角形的判定即可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到进而得到，再结合已知条件代入即可求解。
16．【答案】（1）解：∵∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴， 即
解得：BD＝2
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠CBE＝∠DEB，
∵BE平分∠CBA，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴DE＝BD，
∵∠A＝∠BCD，∠CBA＝∠DBC，
∴△DBC∽△CBA．
∴，
∴BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴m2﹣n2＝mn；
（3）解：存在最大值；理由如下：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
由（1）得：BD＝，
∴
当时，即m＝2n，有最大值，最大值为
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可求出；
（2）求出，证明，利用相似三角形的性质求出BD＝，再证明，利用相似三角形的性质可得结论；
（3）由平行得出，利用相似三角形的性质求出，可得，由（1）得，进而求出，然后利用二次函数的性质求最大值即可．
1 / 1【提升版】北师大版数学九年级上册4.7相似三角形的性质 同步练习
一、选择题
1．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD=10，A'D'=6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵ △ABC∽△A'B'C'
∴△ABC与△A'B'C'的周长比为=BC：B'C'=AD：A'D'=10：6=5：3
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案.
2．（2023九上·通道期中）如图，中，边，高，边长为x的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则正方形边长x为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
即，
解得．
故答案为：A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质．利用正方形的性质可推出：，利用相似三角形的判定定理可证明，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，据此列方程，解方程可求出的值．
3．（2023九上·通道期中）两个相似三角形的相似比是，则这两三角形面积的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴这两三角形面积的比是，
故答案为：D
【分析】本题考查相似三角形的性质.根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求出这两三角形面积的比．
4．（2022九上·莲池期中）如图，在中，点，分别在，上，若，且的面积为9，则四边形的面积为（ ）
A．18 B．27 C．72 D．81
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴△ADE∽△ABC，相似比为 ，
∴S△ADE：S△ABC=1：9，
∵S△ADE=9，
∴S△ABC=81，
∴四边形BCED的面积为S△ABC－S△ADE=81－9=72，
故答案为：C．
【分析】先证出△ADE∽△ABC，相似比为 ，再利用相似三角形的性质可得S△ABC=81，最后利用割补法求出四边形BCED的面积为S△ABC－S△ADE=81－9=72即可.
5．（2023九上·新邵期中）如果，且的三边长分别为3、5、6，的最短边长为9，那么的周长等于 （ ）
A．4 B． C．21 D．42
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：，
相似比为，
，
；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出即可.
6．（广东省广州市海珠区2023-2024学年九年级上学期数学期末试题）如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是（ ）．
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和是位似图形，
∴∽，
又∵点O是位似中心，且OE=2OB，
∴，
又∵∠AOB∽∠DOE，
∴△AOB∽△DOE，
∴
∴，
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的定义分析目标相似三角形面积与位似对应线段比之间的关系，进而利用相似三角形性质即可推出目标三角形的面积比与相似比的关系得出结果.
7．（2023九上·高碑店期中）如图，四边形是平行四边形，，则四边形的面积是（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形ABCD
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
根据平行四边形性质得到AD//BC，及，进而得到八字型三角形相似，根据形似的性质对应边比例及面积比等于相似比的平方，，先求出，再根据等高，面积比等于底比，则，进而得出，，即可求解．
8．（2023九上·靖西期中），，分别是和的角平分线，且，下面给出的四个结论中，正确的结论有（ ）
①，②， ③，④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，，分别是和的角平分线，且，
∴，，故①②正确； ④错误；
，故③错误；
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
二、填空题
9．（2023九上·慈利期中）如图，在中，点E在上，若，则 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：中，，
，，
，
，
即，
故答案为：．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，从而可得.
10．（2023九上·合浦期中）已知直角三角形ABC，AH为斜边BC边上的高，，则和的相似比的值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：
直角三角形，为斜边边上的高，，
，
，
和的相似比的值为，
故答案为：
【分析】先根据题意画出图，进而根据三角形的面积得到，进而根据相似三角形的性质结合题意即可得到和的相似比的值为.
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记为S1；取BE的中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记为S2．照此规律作下去，则S2023= ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=BC=2
∴
∵ ED∥AB
∴△CDE∽△CAB
∵ D是BC边的中点
∴
∴
同理：
∴
同理：
同理：
依次类推：=
故答案为.
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求出S1，S2，S3…，观察数据，推出规律即可.
12．（2023九上·通道期中）如图，平行四边形中，，交于点E如果，的面积为，那么的面积是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
，，
设，则，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．已知四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可推出，；利用相似三角形的判定定理可证明：，再根据对应边、的比例关系，可推出到两个三角形的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得它们的面积比可得：，代入数据进行计算可求出的面积 ．
13．（2023九上·永康月考）两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 ．
【答案】6
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x，
∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
∴两个相似三角形的周长比为2：3，
∴=，
解得，x=6，
∴较大三角形的周长为6，
故答案为：6．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可。
三、解答题
14．如图，
在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且BE：CE=1：2，AE交BD于点F．
（1）求的值．
（2）求△BEF与△DAF的周长比和面积比．
【答案】（1）解：在平行四边形ABCD中，
∴∠DAF=∠BEF，∠ADF=∠EBF，
（2）解：∵，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而结合已知条件即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得到，
15．如图，
在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD．
（1）△ABC与△DEC相似吗 为什么
（2）若S△ABC：S△DEC=4：9，BC=6，求EC的长．
【答案】（1）解：△ABC与相似，理由如下：
（2）解：，
.
又
.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据题意得到进而得到，再结合已知条件运用相似三角形的判定即可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到进而得到，再结合已知条件代入即可求解。
16．（2023八下·宁波期中）如图，△ABC中，AB＝m，BC＝n（m、n为常数，n＜m），点D是AB上的一点，且∠DCB＝∠A，过点D作DE∥BC于点E．
（1）若m＝8，n＝4，求BD．
（2）连结BE，若BE平分∠ABC，求m、n满足的关系式．
（3）设△AED与△BCD的周长和为C，△ABC的周长为l．探究：的值是否存在最大或最小值？若存在，请求出这个值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴， 即
解得：BD＝2
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠CBE＝∠DEB，
∵BE平分∠CBA，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴DE＝BD，
∵∠A＝∠BCD，∠CBA＝∠DBC，
∴△DBC∽△CBA．
∴，
∴BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴m2﹣n2＝mn；
（3）解：存在最大值；理由如下：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
由（1）得：BD＝，
∴
当时，即m＝2n，有最大值，最大值为
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可求出；
（2）求出，证明，利用相似三角形的性质求出BD＝，再证明，利用相似三角形的性质可得结论；
（3）由平行得出，利用相似三角形的性质求出，可得，由（1）得，进而求出，然后利用二次函数的性质求最大值即可．
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