【提升版】北师大版数学九年级上册4.5相似三角形判定定理的证明 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）下列所给四对三角形中，根据条件不能判断△ABC与△DEF相似的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2017九上·萍乡期末）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·保定月考）如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·阜平期末）如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024九上·岳阳期末）如图，已知，那么添加一个条件后，依然无法判定∽（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·德保期中）在△ 中， ，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·从江月考）如图所示，在△ABC中，AB
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（2023九上·崇明期中）下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．腰与底的比都是的两个等腰三角形
B．有一个内角为的两个直角三角形
C．有一个内角是的两个等腰三角形
D．两条直角边的比都是的两个直角三角形
二、填空题
9．（2024九上·四平期末）如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，．
10．（2023九上·闵行期中）如图，已知在△中，是边上的一点，连结.当满足 条件时，△∽△（写一个即可）.
11．如图，E是ABCD的BC边的延长线上一点，连结AE，交CD于点F，连结BF．图中相似三角形是： (写出一对即可)
12．如图，已知∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似．
13．（2020九上·镇平期中）将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是 .
三、解答题
14．（2021九上·通州期末）如图，，点B、C分别在AM、AN上，且．
（1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求证：ABC∽ADB．
15．（2023九上·岳阳月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC＝6，BC＝8，求线段DE的长度．
16．（2023九上·宝安期中）如图， 在 中， 以 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ， 再分别以 为圆心，大于 长为半径画弧， 两弧交于点 ， 连接 并延长交 于点 ， 连接 ， 连接 相交于点 .
（1） 试判断四边形 的形状， 并说明理由；
（2） 连接 交 于点 ， 若四边形 的周长为 ， 求 的长.
17．（2023九上·吉林开学考） 如图，在中，、分别是边、的中点，是延长线上一点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求证：∽．
18．（2023九上·福田期中）如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光P下的投影，已知该笔筒底面圆的直径BC＝6，笔筒的高CD＝8，点D在灯光P下的投影为点B，点A在灯光P下的投影为点A'，过点P作PE⊥BE于点ECE＝4，点A'，B，C，E在同一直线上．
（1）求PE的长；
（2）求点A'到CD的距离．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、在 中，由 可得 则 和 分别与 中 和 相对应，故能判断两个三角形相似，不符合题意.
B、在两个三角形中，虽然都有一个角等于 但对应边不成比例，故不能判断两个三角形相似，符合题意.
C、在两个三角形中，三条边对应成比例，故能判断两个三角形相似，不符合题意.
D、在两个三角形中 故能判断两个三角形相似，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的判定定理，对各选项逐一判断，可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB= = ，BC=2，AC= = ，
∴AC：BC：AB=1： ： ，
A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选B．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】A、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
B、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
C、∵两三角形的对应角不一定相等，∴两三角形不相似，此选项符合题意；
D、∵两三角形对应边成比例且夹角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理“①有两个角对应相等的两个三角形相似；②两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似”对各选项进行逐一判定即可求解．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：依题意，，
，
，
∴，，
∴，
而，，与不相似，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似求解即可．
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：，
∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∠DAE=∠BAC，
A、若，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，A不符合题意；
B、若 ，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，B不符合题意；
C、若，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，C不符合题意；
D、若，且∠DAE=∠BAC，不能判定∽，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】先由 ，证得∠DAE=∠BAC，再根据相似三角形的判定定理依次判断即可.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD.
∵BD⊥AC，
∴∠ADB =∠BDC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△BAD∽△CBD.
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据作图痕迹可知，A中，BD为∠ABC的角平分线，构成的△BAD与△CBD不相似；B中，BD为AC边的中线，构成的△BAD与△CBD不相似；C中，BD是AC的垂线，△BAD与△CBD相似，符合题意；D中，AB=BD，构成的 △BAD与△CBD不相似.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，，
，
，故①正确，
，故②正确，
，
，
，故③正确，
综上所述，①②③正确，
故答案为：D
【分析】先根据旋转的性质得到，，， 进而结合题意运用相似三角形的判定即可判断①，从而结合题意即可判断②，再进行角的运算即可判断③。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】对于A选项： 腰与底的比都是的两个等腰三角形 ，即三边成比例，故一定相似，故A不符合题意；
对于B选项： 有一个内角为的两个直角三角形 ，有两个角相等，故一定相似，则B不符合题意；
对于C选项：有一个角为的两个等腰三角形，当为一个三角形的顶角，为一个三角形的底角时，这两个三角形不相似，故C选项符合题意；
对于D选项： 两条直角边的比都是的两个直角三角形 ，则两边成比例，夹角且相等，这两个三角形必然相似，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形相似的判断，根据三角形相似的判定定理逐项判定即可.
9．【答案】70
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：，，
，
时，
，，
．
故答案为：70．
【分析】根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出，有∠BDC=∠ABC=70°，据此求解。
10．【答案】∠B=∠ACP(或，答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴当或或时，．
故答案为：或或．
【分析】根据相似三角形的判定求解．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
11．【答案】△ADF∽△ECF ，△ECF∽△EBA，△ADF∽△EBA．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BE，AB∥CD，
∴△ADF∽△ECF ，△ECF∽△EBA，△ADF∽△EBA.
故答案为：△ADF∽△ECF ，△ECF∽△EBA，△ADF∽△EBA.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥BE，AB∥CD，由此可得到全等三角形的对数.
12．【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴当△ACB与△ADC相似时，或
∴或
∴AB＝3或AB＝
故答案为：3或
【分析】∠ACB＝∠ADC＝90°，那么当△ACB与△ADC相似时，可能存在可种情形，即△ABC中的AC边可能与△ACD中的AD对应或与CD对应，需要分别列方程求出AB.
13．【答案】2或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设BF=x，则由折叠的性质可知：B′F= ，FC= ，
（1）当△B′FC∽△ABC时，有 ，
即： ，解得： ；
（2）当△B′FC∽△BAC时，有 ，
即： ，解得： ；
综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或
故答案为2或 .
【分析】分两种情况（1）当△B′FC∽△ABC时，有 ，（2）当△B′FC∽△BAC时，有 ，据此分别求解即可.
14．【答案】（1）解：如图：
（2）证明：∵，
∴，
∵BD平分∠MBC，
∴，
∵是△ADB的一个外角，
∴，
∴.
∵，
∴△ABC∽△ADB．
【知识点】相似三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；
（2）根据角平分线的性质得出，再根据外角的性质得出.再根据，即可得出△ABC∽△ADB．
15．【答案】（1）证明：∵，沿折叠，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由勾股定理得，，
由折叠的性质知，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据折叠得到，进而根据相似三角形的判定结合题意即可求解；
（2）先根据勾股定理求出AB，进而根据折叠的性质得到，再结合题意运用勾股定理即可求解。
16．【答案】（1）解： 四边形 为菱形，理由如下：
∵AD∥BC
∴∠AFB=∠EBO
由作图可知：AE是BF的垂直平分线
∴OF=OB，∠AOF=∠EOB
∴△AOF≌△EOB（ASA）
∴AF=BE
∴四边形 为平行四边形
由作图可知：AB=AF
∴四边形 为菱形
（2）解：∵ 菱形 的周长为 40
∴AF=AB=10
∵DF=AD-AF=18-10=8
∵EF∥AB
∴△DFQ∽△DAB
∴
∴
∴FQ=
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由AD∥BC得出：∠AFB=∠EBO，再由作图可知：AE是BF的垂直平分线得出：OF=OB，∠AOF=∠EOB，因此：△AOF≌△EOB（ASA）因此得出：AF=BE，再根据AF∥BE，可得四边形 为平行四边形，最后根据：AB=AF，得到：四边形 为菱形.
（2）先根据菱形的性质及周长得出：AF=AB=10，再计算出DF的值，再根据预备定理，得出△DFQ∽△DAB，因此，代入数值即可.
17．【答案】（1）解：、分别是、的中点，
，，
，
，而，
，
；
（2）证明：，
，
，，
，
，
，
，
∽．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线求出 ，， 再根据平行线的性质计算求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出 ， 再求出 ， 最后根据相似三角形的判定方法证明求解即可。
18．【答案】（1）解：∵CD∥PE
∴△BCD∽△BEP
∴
即
∴PE=
（2）解：∵AB∥PE
∴△A'AB∽△A'PE
∴
即
∴A'B=15
∴A'C=21
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据CD∥PE可得△BCD∽△BEP，再根据相似三角形的对应边成比例可得结果；
（2）根据 AB∥PE 可得 △A'AB∽△A'PE ，再根据相似三角形的对应边成比例以及线段的和差可得结果.
1 / 1【提升版】北师大版数学九年级上册4.5相似三角形判定定理的证明 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3.2 相似三角形的判定（4） 同步练习）下列所给四对三角形中，根据条件不能判断△ABC与△DEF相似的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、在 中，由 可得 则 和 分别与 中 和 相对应，故能判断两个三角形相似，不符合题意.
B、在两个三角形中，虽然都有一个角等于 但对应边不成比例，故不能判断两个三角形相似，符合题意.
C、在两个三角形中，三条边对应成比例，故能判断两个三角形相似，不符合题意.
D、在两个三角形中 故能判断两个三角形相似，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的判定定理，对各选项逐一判断，可得出答案。
2．（2017九上·萍乡期末）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB= = ，BC=2，AC= = ，
∴AC：BC：AB=1： ： ，
A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选B．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
3．（2023九上·保定月考）如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】A、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
B、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
C、∵两三角形的对应角不一定相等，∴两三角形不相似，此选项符合题意；
D、∵两三角形对应边成比例且夹角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理“①有两个角对应相等的两个三角形相似；②两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似”对各选项进行逐一判定即可求解．
4．（2024九上·阜平期末）如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：依题意，，
，
，
∴，，
∴，
而，，与不相似，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似求解即可．
5．（2024九上·岳阳期末）如图，已知，那么添加一个条件后，依然无法判定∽（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：，
∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∠DAE=∠BAC，
A、若，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，A不符合题意；
B、若 ，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，B不符合题意；
C、若，∠DAE=∠BAC，∽，能判定相似，C不符合题意；
D、若，且∠DAE=∠BAC，不能判定∽，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】先由 ，证得∠DAE=∠BAC，再根据相似三角形的判定定理依次判断即可.
6．（2020九上·德保期中）在△ 中， ，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD.
∵BD⊥AC，
∴∠ADB =∠BDC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△BAD∽△CBD.
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据作图痕迹可知，A中，BD为∠ABC的角平分线，构成的△BAD与△CBD不相似；B中，BD为AC边的中线，构成的△BAD与△CBD不相似；C中，BD是AC的垂线，△BAD与△CBD相似，符合题意；D中，AB=BD，构成的 △BAD与△CBD不相似.
7．（2023九上·从江月考）如图所示，在△ABC中，ABA．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，，
，
，故①正确，
，故②正确，
，
，
，故③正确，
综上所述，①②③正确，
故答案为：D
【分析】先根据旋转的性质得到，，， 进而结合题意运用相似三角形的判定即可判断①，从而结合题意即可判断②，再进行角的运算即可判断③。
8．（2023九上·崇明期中）下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．腰与底的比都是的两个等腰三角形
B．有一个内角为的两个直角三角形
C．有一个内角是的两个等腰三角形
D．两条直角边的比都是的两个直角三角形
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】对于A选项： 腰与底的比都是的两个等腰三角形 ，即三边成比例，故一定相似，故A不符合题意；
对于B选项： 有一个内角为的两个直角三角形 ，有两个角相等，故一定相似，则B不符合题意；
对于C选项：有一个角为的两个等腰三角形，当为一个三角形的顶角，为一个三角形的底角时，这两个三角形不相似，故C选项符合题意；
对于D选项： 两条直角边的比都是的两个直角三角形 ，则两边成比例，夹角且相等，这两个三角形必然相似，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形相似的判断，根据三角形相似的判定定理逐项判定即可.
二、填空题
9．（2024九上·四平期末）如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，．
【答案】70
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：，，
，
时，
，，
．
故答案为：70．
【分析】根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出，有∠BDC=∠ABC=70°，据此求解。
10．（2023九上·闵行期中）如图，已知在△中，是边上的一点，连结.当满足 条件时，△∽△（写一个即可）.
【答案】∠B=∠ACP(或，答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴当或或时，．
故答案为：或或．
【分析】根据相似三角形的判定求解．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
11．如图，E是ABCD的BC边的延长线上一点，连结AE，交CD于点F，连结BF．图中相似三角形是： (写出一对即可)
【答案】△ADF∽△ECF ，△ECF∽△EBA，△ADF∽△EBA．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BE，AB∥CD，
∴△ADF∽△ECF ，△ECF∽△EBA，△ADF∽△EBA.
故答案为：△ADF∽△ECF ，△ECF∽△EBA，△ADF∽△EBA.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥BE，AB∥CD，由此可得到全等三角形的对数.
12．如图，已知∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似．
【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴当△ACB与△ADC相似时，或
∴或
∴AB＝3或AB＝
故答案为：3或
【分析】∠ACB＝∠ADC＝90°，那么当△ACB与△ADC相似时，可能存在可种情形，即△ABC中的AC边可能与△ACD中的AD对应或与CD对应，需要分别列方程求出AB.
13．（2020九上·镇平期中）将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是 .
【答案】2或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设BF=x，则由折叠的性质可知：B′F= ，FC= ，
（1）当△B′FC∽△ABC时，有 ，
即： ，解得： ；
（2）当△B′FC∽△BAC时，有 ，
即： ，解得： ；
综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或
故答案为2或 .
【分析】分两种情况（1）当△B′FC∽△ABC时，有 ，（2）当△B′FC∽△BAC时，有 ，据此分别求解即可.
三、解答题
14．（2021九上·通州期末）如图，，点B、C分别在AM、AN上，且．
（1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求证：ABC∽ADB．
【答案】（1）解：如图：
（2）证明：∵，
∴，
∵BD平分∠MBC，
∴，
∵是△ADB的一个外角，
∴，
∴.
∵，
∴△ABC∽△ADB．
【知识点】相似三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；
（2）根据角平分线的性质得出，再根据外角的性质得出.再根据，即可得出△ABC∽△ADB．
15．（2023九上·岳阳月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC＝6，BC＝8，求线段DE的长度．
【答案】（1）证明：∵，沿折叠，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由勾股定理得，，
由折叠的性质知，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据折叠得到，进而根据相似三角形的判定结合题意即可求解；
（2）先根据勾股定理求出AB，进而根据折叠的性质得到，再结合题意运用勾股定理即可求解。
16．（2023九上·宝安期中）如图， 在 中， 以 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ， 再分别以 为圆心，大于 长为半径画弧， 两弧交于点 ， 连接 并延长交 于点 ， 连接 ， 连接 相交于点 .
（1） 试判断四边形 的形状， 并说明理由；
（2） 连接 交 于点 ， 若四边形 的周长为 ， 求 的长.
【答案】（1）解： 四边形 为菱形，理由如下：
∵AD∥BC
∴∠AFB=∠EBO
由作图可知：AE是BF的垂直平分线
∴OF=OB，∠AOF=∠EOB
∴△AOF≌△EOB（ASA）
∴AF=BE
∴四边形 为平行四边形
由作图可知：AB=AF
∴四边形 为菱形
（2）解：∵ 菱形 的周长为 40
∴AF=AB=10
∵DF=AD-AF=18-10=8
∵EF∥AB
∴△DFQ∽△DAB
∴
∴
∴FQ=
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由AD∥BC得出：∠AFB=∠EBO，再由作图可知：AE是BF的垂直平分线得出：OF=OB，∠AOF=∠EOB，因此：△AOF≌△EOB（ASA）因此得出：AF=BE，再根据AF∥BE，可得四边形 为平行四边形，最后根据：AB=AF，得到：四边形 为菱形.
（2）先根据菱形的性质及周长得出：AF=AB=10，再计算出DF的值，再根据预备定理，得出△DFQ∽△DAB，因此，代入数值即可.
17．（2023九上·吉林开学考） 如图，在中，、分别是边、的中点，是延长线上一点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求证：∽．
【答案】（1）解：、分别是、的中点，
，，
，
，而，
，
；
（2）证明：，
，
，，
，
，
，
，
∽．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线求出 ，， 再根据平行线的性质计算求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出 ， 再求出 ， 最后根据相似三角形的判定方法证明求解即可。
18．（2023九上·福田期中）如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光P下的投影，已知该笔筒底面圆的直径BC＝6，笔筒的高CD＝8，点D在灯光P下的投影为点B，点A在灯光P下的投影为点A'，过点P作PE⊥BE于点ECE＝4，点A'，B，C，E在同一直线上．
（1）求PE的长；
（2）求点A'到CD的距离．
【答案】（1）解：∵CD∥PE
∴△BCD∽△BEP
∴
即
∴PE=
（2）解：∵AB∥PE
∴△A'AB∽△A'PE
∴
即
∴A'B=15
∴A'C=21
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据CD∥PE可得△BCD∽△BEP，再根据相似三角形的对应边成比例可得结果；
（2）根据 AB∥PE 可得 △A'AB∽△A'PE ，再根据相似三角形的对应边成比例以及线段的和差可得结果.
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