【培优版】北师大版数学八年级上册5.2求解一元二次方程组 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·开福开学考）已知，则、的值分别是( )
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
故答案为：D.
【分析】先利用非负数之和为0的性质列出方程组，再求解即可.
2．（2024八上·重庆市开学考）由方程组可得出x与y的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：方程组，
①②，得，
整理得：．
故选：B．
【分析】将方程组中两方程相减可得，再整理可得 x与y的关系式 ，然后判断即可.
3．已知的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：
∵，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】用①-②得到：结合""，即可得到：进而即可求解.
4．（2020八上·历下期末）我们规定： 表示不超过 的最大整数，例如： ， ， ，则关于 和 的二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
∵ 表示不超过 的最大整数，
∴ ， 和 均为整数，
∴x为整数，即 ，
∴①－②得： ，
∴ ， ，
将 代入②得： ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据 的意义可得 ， 和 均为整数，两方程相减可求出 ， ，将 代入第二个方程可求出x.
5．（2019八上·邢台开学考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组 ，甲符合题意地解得 乙看错了方程②中的系数c，解得 ，则 的值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】把 代入得： ，解得：c=4，把 代入得：3a+b=5，联立得： ，解得： ，则（a+b+c）2=（2﹣1+4）2=25．
故答案为：B．
【分析】将x=2，y=﹣1代入方程组中，得到关于a与b的二元一次方程与c的值，将x=3，y=1代入方程组中的第一个方程中得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a，b及c的值．
6．（2017八上·上城期中）已知关于 ， 的方程组 ，其中 ，给出下列结论：① 是方程的解；②当 时， ， 的值互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程 的解；④若 ，则 ．其中正确的是（ ）．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】①解方程组 ，
由②可知 ，代入①中，可得 ，
故方程组的解为 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 不是方程组的解，①错误．
② 时， ， ， ， 互为相反数，②正确；
③ 时， ， ，满足 ，③正确；
④当 时， ，得 ，综合，在 时，且 ．
∴ ，
∴ ，④正确．
故答案为： ．
【分析】把a作为常数，解出方程组的解，根据a的取值范围，进而得出x，y的取值范围，即可判断出①所给的x，y的值没有在其取值范围内，故不符合题意；然后分别将a=-2，与a=1代入方程组的解，即可求出x，y的值，从而判断出②③的正确性；由x≤1及x=1+2a得出a的不等式，求解得出 a ≤ 0 ，综合①的结论，即可即可得出答案。
7．（2024八上·潼南期末）给定一个正整数，若两个整数与分别除以所得的余数相同，则称p，q对同余，记作．例如：，，所以31，66对7同余，记作．
下列说法：
①；②若，则；③若，，则；④若，其中为的整数，b，c，d为的整数，则．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】解：①，，故①错误；
②若，设余数为，则存在两个整数，使得
，
则
所以与分别除以3所得余数均为，所以成立，故②正确；
③若，，由②知
存在整数使得
，，，
所以与分别除以所得余数与除以所得余数相同
所以成立；
故③正确，符合题意；
④
所以与分别除以所得余数相同
则
故④正确；
综上所述，②③④正确，共3个．
故答案为：C.
【分析】根据新定义，多项式乘以多项式等知识，逐个分析即可得到答案.
8．（2024八上·九龙坡月考）定义一种新运算：
①若，则或；
②若，则；
③若，则的最小值为14；
④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组
的解满足：．
以上说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；解二元一次方程组；解一元一次不等式组
二、填空题
9．（2024八上·靖边期末）若方程组 的解满足 ，则 的值为 ．
【答案】11
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
，
①+②得：，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：11．
【分析】先联立方程组得到，再进行化简，整体代入求解即可.
10．（2023八上·深圳期末）已知方程组的解为，则的值为 ．
【答案】8
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入得：，
得：，
∴，
故答案为：8．
【分析】本题考查二元一次方程组的解．方程的解可反代回方程组，据此可将代入，得到方程组，解方程组可求出答案．
11．（2024八上·岳阳开学考）关于x，y的二元一次方程组中，m与方程组的解中的x或y相等，则m的值为 .
【答案】2或
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴解得，
∵m与方程组的解中的x或y相等，
∴2=m或-1-m=m，
解得：m=2或m=，
故答案为：m=2或m=.
【分析】先利用加减消元法求出方程组的解集，再结合“m与方程组的解中的x或y相等”可得2=m或-1-m=m，再求出m的值即可.
12．（2023八上·湖北期中）已知点和点关于轴对称，那么 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵点和点关于轴对称，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）可得，求出a、b的值，再求解即可.
13．（2022八上·莲湖期末）在平面直角坐标系内，若两条直线和的交点在第三象限的角平分线上，则b的值为 .
【答案】-1
【知识点】点的坐标与象限的关系；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∵交点在第三象限的角平分线上，
∴，
解得：b=-1，
故答案为：-1.
【分析】联立两直线解析式求出x、y，根据交点在第三象限的角平分线上可得x=y，据此求解.
三、计算题
14．（2024八上·游仙开学考）用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
【答案】（1），
由①，得，
把代入②，得
，
解得，
把代入，得
，
方程组的解为；
（2），
，得10x+4y=8③，
③-②，得，解得，
把代入②，得，解得．
方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入法解方程组；
（2）利用加减消元法解方程组．
（1），
由①得③，
把③代入②，得
，
解得，
，
方程组的解为；
（2），
，得
，
解得，
把代入②，得
，
解得．
方程组的解为．
四、解答题
15．（2023八上·西安月考）已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值.
【答案】解：因为方程组和方程组的解相同
所以这个解既满足，又满足，
应该是方程组的解.
解这个方程组得
又因为既满足，又满足，
应该是的解，
所以
解得：
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组，解得，代入，计算求解即可；
16．（2023八上·诸暨月考）我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，.解决下列问题：
（1）= ，= ；
（2）若=2，则的取值范围是 ；若=－1，则的取值范围是 ；
（3）已知，满足方程组，求，的取值范围.
【答案】（1）-5，4；
（2）2≤x＜3，-2≤y＜-1；
（3）解：∵，
解得，
∴-1≤x<0，2≤y<3.
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得[-4.5]=-5，＜3.5＞=4，
故答案为-5，4；
（2）∵[x]=2，
∴2≤x<3，
∵＜y＞=-1，
∴-2≤y＜-1，
故答案为：2≤x<3，-2≤y＜-1.【分析】（1）根据”用[a]表示不大于a的最大整数，用＜a＞表示大于a的最小整数“即可求解；（2）根据”用[a]表示不大于a的最大整数，用＜a＞表示大于a的最小整数“即可求出x、y的取值范围；
（3）先利用加减消元法解方程组，解得，然后根据”用[a]表示不大于a的最大整数，用＜a＞表示大于a的最小整数“求出x和y的取值范围即可．
17．（2019八上·大东期中）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程 ，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长.
【答案】解方程组 得 ，
∴4-1∵三角形的周长为整数，
∴c=4，
∴三角形的周长=4+1+4=9.
【知识点】解二元一次方程组；三角形三边关系
【解析】【分析】先解二元一次方程组求出a，b的值，再确定第三条边的值，即可得到结论.
18．（2022八上·景德镇期末）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解．
【答案】解：∵甲解题看错了①中的，解得，
∴把代入②得：，
解得：，
∵乙解题时看错②中的，解得，
∴把代入①得：，
解得：，
∴原方程组为，
由①×3+②得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将代入②可得，求出n的值，将代入①可得，求出m的值，所以原方程组为，再利用加减消元法求出x、y的值即可。
19．（2020八上·未央月考）对于实数 、 ，定义关于“ ”的一种运算： ，例如 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：根据题中的新定义得：原式＝ ；
故答案为：5.
（2）解：根据题中的新定义化简得： ，
两式相加得： ，则 .
故答案为：
【知识点】解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【分析】（1） 利用 直接代入计算即可；
（2）根据新定义运算及已知，可得，解出x，y的值即可.
20．（2022八上·香洲期中）在平面直角坐标系中，AB交y轴和x轴于A、B两点，点和，且m，n满足．
（1）求点A、B的坐标；
（2）过点A作，截取，点D在第一象限内，过点D作轴于C，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，连接DP、DO，若P点运动的时间为t，三角形PDO的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，连接AC，在坐标平面内是否存在点M，使与全等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）解：根据题意可得：，
解得，
∴A（0，4），B（-3，0）．
（2）作DH⊥AO于H，如图所示：
∵∠DAH+∠ADH=90°，∠DAH+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ADH．
在△DAH和△ABO中，
，
∴△DAH≌△ABO（AAS），
∴DH=AO=4，AH=BO=3，DC=OH=1．
∴①当0≤t＜2时，
∵AP=2t，OP=4-2t，
∴S=．
②当t＞2时，
∵AP=2t，OP=2t-4，
∴S=．
（3）∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=45°．
∵∠DCO=90°，
∴∠DCA=45°．
∴如图所示，当△ACD≌△ACM时，∠ACM=∠ACD=45°，
∴∠DCM=90°，
∴点M在x轴上．
∵DC=CM=1，
∴OM=3，
∴M（3，0）．
当△ACD≌△CAM时，点M在y轴上时，∠ACD=∠CAM=45°，
∵AM=CD=1，
∴OM=3，
∴M（0，3）．
当△ACD≌△CAM时，点M在第一象限时，∠ACD=∠CAM=45°，
∴∠OAM=90°，
∴AM⊥y轴．
∵AM=CD=1，
∴M（1，4）．
【知识点】三角形全等及其性质；加减消元法解二元一次方程组；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求出m、n的值，可得点A、B的坐标；
（2）先利用“AAS”证出△DAH≌△ABO，可得DH=AO=4，AH=BO=3，DC=OH=1，再分类讨论：①当0≤t＜2时，②当t＞2时，再分别画出图象并列出解析式即可；
（3）分类讨论：①当△ACD≌△ACM时，②当△ACD≌△CAM时，③当△ACD≌△CAM时，再分别求解即可.
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册5.2求解一元二次方程组 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·开福开学考）已知，则、的值分别是( )
A．， B．， C．， D．，
2．（2024八上·重庆市开学考）由方程组可得出x与y的关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．已知的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八上·历下期末）我们规定： 表示不超过 的最大整数，例如： ， ， ，则关于 和 的二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019八上·邢台开学考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组 ，甲符合题意地解得 乙看错了方程②中的系数c，解得 ，则 的值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
6．（2017八上·上城期中）已知关于 ， 的方程组 ，其中 ，给出下列结论：① 是方程的解；②当 时， ， 的值互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程 的解；④若 ，则 ．其中正确的是（ ）．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
7．（2024八上·潼南期末）给定一个正整数，若两个整数与分别除以所得的余数相同，则称p，q对同余，记作．例如：，，所以31，66对7同余，记作．
下列说法：
①；②若，则；③若，，则；④若，其中为的整数，b，c，d为的整数，则．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024八上·九龙坡月考）定义一种新运算：
①若，则或；
②若，则；
③若，则的最小值为14；
④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组
的解满足：．
以上说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2024八上·靖边期末）若方程组 的解满足 ，则 的值为 ．
10．（2023八上·深圳期末）已知方程组的解为，则的值为 ．
11．（2024八上·岳阳开学考）关于x，y的二元一次方程组中，m与方程组的解中的x或y相等，则m的值为 .
12．（2023八上·湖北期中）已知点和点关于轴对称，那么 ．
13．（2022八上·莲湖期末）在平面直角坐标系内，若两条直线和的交点在第三象限的角平分线上，则b的值为 .
三、计算题
14．（2024八上·游仙开学考）用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）；
（2）（加减法）．
四、解答题
15．（2023八上·西安月考）已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值.
16．（2023八上·诸暨月考）我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，.解决下列问题：
（1）= ，= ；
（2）若=2，则的取值范围是 ；若=－1，则的取值范围是 ；
（3）已知，满足方程组，求，的取值范围.
17．（2019八上·大东期中）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程 ，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长.
18．（2022八上·景德镇期末）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解．
19．（2020八上·未央月考）对于实数 、 ，定义关于“ ”的一种运算： ，例如 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
20．（2022八上·香洲期中）在平面直角坐标系中，AB交y轴和x轴于A、B两点，点和，且m，n满足．
（1）求点A、B的坐标；
（2）过点A作，截取，点D在第一象限内，过点D作轴于C，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，连接DP、DO，若P点运动的时间为t，三角形PDO的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，连接AC，在坐标平面内是否存在点M，使与全等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
故答案为：D.
【分析】先利用非负数之和为0的性质列出方程组，再求解即可.
2．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：方程组，
①②，得，
整理得：．
故选：B．
【分析】将方程组中两方程相减可得，再整理可得 x与y的关系式 ，然后判断即可.
3．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：
∵，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】用①-②得到：结合""，即可得到：进而即可求解.
4．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
∵ 表示不超过 的最大整数，
∴ ， 和 均为整数，
∴x为整数，即 ，
∴①－②得： ，
∴ ， ，
将 代入②得： ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据 的意义可得 ， 和 均为整数，两方程相减可求出 ， ，将 代入第二个方程可求出x.
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】把 代入得： ，解得：c=4，把 代入得：3a+b=5，联立得： ，解得： ，则（a+b+c）2=（2﹣1+4）2=25．
故答案为：B．
【分析】将x=2，y=﹣1代入方程组中，得到关于a与b的二元一次方程与c的值，将x=3，y=1代入方程组中的第一个方程中得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a，b及c的值．
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】①解方程组 ，
由②可知 ，代入①中，可得 ，
故方程组的解为 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 不是方程组的解，①错误．
② 时， ， ， ， 互为相反数，②正确；
③ 时， ， ，满足 ，③正确；
④当 时， ，得 ，综合，在 时，且 ．
∴ ，
∴ ，④正确．
故答案为： ．
【分析】把a作为常数，解出方程组的解，根据a的取值范围，进而得出x，y的取值范围，即可判断出①所给的x，y的值没有在其取值范围内，故不符合题意；然后分别将a=-2，与a=1代入方程组的解，即可求出x，y的值，从而判断出②③的正确性；由x≤1及x=1+2a得出a的不等式，求解得出 a ≤ 0 ，综合①的结论，即可即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】解：①，，故①错误；
②若，设余数为，则存在两个整数，使得
，
则
所以与分别除以3所得余数均为，所以成立，故②正确；
③若，，由②知
存在整数使得
，，，
所以与分别除以所得余数与除以所得余数相同
所以成立；
故③正确，符合题意；
④
所以与分别除以所得余数相同
则
故④正确；
综上所述，②③④正确，共3个．
故答案为：C.
【分析】根据新定义，多项式乘以多项式等知识，逐个分析即可得到答案.
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；解二元一次方程组；解一元一次不等式组
9．【答案】11
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
，
①+②得：，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：11．
【分析】先联立方程组得到，再进行化简，整体代入求解即可.
10．【答案】8
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入得：，
得：，
∴，
故答案为：8．
【分析】本题考查二元一次方程组的解．方程的解可反代回方程组，据此可将代入，得到方程组，解方程组可求出答案．
11．【答案】2或
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴解得，
∵m与方程组的解中的x或y相等，
∴2=m或-1-m=m，
解得：m=2或m=，
故答案为：m=2或m=.
【分析】先利用加减消元法求出方程组的解集，再结合“m与方程组的解中的x或y相等”可得2=m或-1-m=m，再求出m的值即可.
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵点和点关于轴对称，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）可得，求出a、b的值，再求解即可.
13．【答案】-1
【知识点】点的坐标与象限的关系；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∵交点在第三象限的角平分线上，
∴，
解得：b=-1，
故答案为：-1.
【分析】联立两直线解析式求出x、y，根据交点在第三象限的角平分线上可得x=y，据此求解.
14．【答案】（1），
由①，得，
把代入②，得
，
解得，
把代入，得
，
方程组的解为；
（2），
，得10x+4y=8③，
③-②，得，解得，
把代入②，得，解得．
方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入法解方程组；
（2）利用加减消元法解方程组．
（1），
由①得③，
把③代入②，得
，
解得，
，
方程组的解为；
（2），
，得
，
解得，
把代入②，得
，
解得．
方程组的解为．
15．【答案】解：因为方程组和方程组的解相同
所以这个解既满足，又满足，
应该是方程组的解.
解这个方程组得
又因为既满足，又满足，
应该是的解，
所以
解得：
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组，解得，代入，计算求解即可；
16．【答案】（1）-5，4；
（2）2≤x＜3，-2≤y＜-1；
（3）解：∵，
解得，
∴-1≤x<0，2≤y<3.
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得[-4.5]=-5，＜3.5＞=4，
故答案为-5，4；
（2）∵[x]=2，
∴2≤x<3，
∵＜y＞=-1，
∴-2≤y＜-1，
故答案为：2≤x<3，-2≤y＜-1.【分析】（1）根据”用[a]表示不大于a的最大整数，用＜a＞表示大于a的最小整数“即可求解；（2）根据”用[a]表示不大于a的最大整数，用＜a＞表示大于a的最小整数“即可求出x、y的取值范围；
（3）先利用加减消元法解方程组，解得，然后根据”用[a]表示不大于a的最大整数，用＜a＞表示大于a的最小整数“求出x和y的取值范围即可．
17．【答案】解方程组 得 ，
∴4-1∵三角形的周长为整数，
∴c=4，
∴三角形的周长=4+1+4=9.
【知识点】解二元一次方程组；三角形三边关系
【解析】【分析】先解二元一次方程组求出a，b的值，再确定第三条边的值，即可得到结论.
18．【答案】解：∵甲解题看错了①中的，解得，
∴把代入②得：，
解得：，
∵乙解题时看错②中的，解得，
∴把代入①得：，
解得：，
∴原方程组为，
由①×3+②得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将代入②可得，求出n的值，将代入①可得，求出m的值，所以原方程组为，再利用加减消元法求出x、y的值即可。
19．【答案】（1）解：根据题中的新定义得：原式＝ ；
故答案为：5.
（2）解：根据题中的新定义化简得： ，
两式相加得： ，则 .
故答案为：
【知识点】解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【分析】（1） 利用 直接代入计算即可；
（2）根据新定义运算及已知，可得，解出x，y的值即可.
20．【答案】解：（1）解：根据题意可得：，
解得，
∴A（0，4），B（-3，0）．
（2）作DH⊥AO于H，如图所示：
∵∠DAH+∠ADH=90°，∠DAH+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ADH．
在△DAH和△ABO中，
，
∴△DAH≌△ABO（AAS），
∴DH=AO=4，AH=BO=3，DC=OH=1．
∴①当0≤t＜2时，
∵AP=2t，OP=4-2t，
∴S=．
②当t＞2时，
∵AP=2t，OP=2t-4，
∴S=．
（3）∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=45°．
∵∠DCO=90°，
∴∠DCA=45°．
∴如图所示，当△ACD≌△ACM时，∠ACM=∠ACD=45°，
∴∠DCM=90°，
∴点M在x轴上．
∵DC=CM=1，
∴OM=3，
∴M（3，0）．
当△ACD≌△CAM时，点M在y轴上时，∠ACD=∠CAM=45°，
∵AM=CD=1，
∴OM=3，
∴M（0，3）．
当△ACD≌△CAM时，点M在第一象限时，∠ACD=∠CAM=45°，
∴∠OAM=90°，
∴AM⊥y轴．
∵AM=CD=1，
∴M（1，4）．
【知识点】三角形全等及其性质；加减消元法解二元一次方程组；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求出m、n的值，可得点A、B的坐标；
（2）先利用“AAS”证出△DAH≌△ABO，可得DH=AO=4，AH=BO=3，DC=OH=1，再分类讨论：①当0≤t＜2时，②当t＞2时，再分别画出图象并列出解析式即可；
（3）分类讨论：①当△ACD≌△ACM时，②当△ACD≌△CAM时，③当△ACD≌△CAM时，再分别求解即可.
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