【提升版】北师大版数学八年级上册5.3应用二元一次方程组——鸡免同笼 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·郫都期末）我国民间流传着许多趣味算题，他们多以顺口溜的形式表达，其中孙子算经中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·河南期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘.问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020八上·重庆期中）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛。”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，若设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八上·福田期末）我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头，问大、小和尚各有多少人？若大和尚有 人，小和尚有 人，则下列方程或方程组中:①②③④ 正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．（2023八上·花溪月考）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①②所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图②所示的算筹图我们可以表述为( )
A． B．
C． D．
6．（2022八上·岳麓开学考）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件天，乙种玩具零件天，则有（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020八上·郑州开学考）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物，人出八盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱.问人数、物价各是多少？设合伙人数为 人，物价为 钱，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八上·江油开学考）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板制作如图②所示的A、B两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，则下列结论中正确的个数是 ( )
①甲同学：设制作A型盒个数为x，根据题意可得4x+3×=360；②乙同学：设制作B型盒用正方形纸板的张数为m，根据题意可得3×+4(120-m)=360；③制作A型盒72个；④制作B型盒需正方形纸板共48张.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（初中数学北师大版八年级上册第五章 二元一次方程组练习题 (1)）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组 ．
10．（2023八上·河北开学考）用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制作盒身个或者盒底个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒，现有张白铁皮，用 张制作盒身， 张制作盒底，能使盒身和盒底恰好配套．
11．（2022八上·西安期中）《九章算术》中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有 人，该物品价值 元．
12．（2021八上·成华期末）方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？”
译文为：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.问每头牛、每只羊各值金多少两”.若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为 .
13．（2024七下·新化期末）我国古代问题有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛斛是古代一种容量单位，个大桶加上个小桶可以盛酒斛，那么个大桶加上个小桶可以盛酒 斛．
三、解答题
14．（2023·张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
15．（2023七下·惠阳期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
16．（2015七下·新昌期中）温州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上
每套服装的价格 80元 70元 60元
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费5600元．请回答以下问题：
（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？
（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
17．（2020·黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能.
18．（2022七下·西湖月考）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨.某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满.
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
19． 某工厂加工圆柱形的茶叶盒， 购买了 25 块相同的金属板材， 已知每块金属板材可以有 三种裁剪方式（如图）． 方式： 裁剪成 9 个圆形底面和 1 个侧面． 方式： 裁剪成 4 个侧面． 方式： 裁剪成 12 个圆形底面． 已知 2 个圆形底面和 1 个侧面组成一个圆柱形茶叶盒， 且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有 4 块金属板材按 方式裁前．
（1） 设有 块金属板材按 方式裁剪， 块金属板材按 方式裁剪， 则可以裁剪出圆形底面共 （用含 的代数式表示）个，侧面共 （用含 的代数式表示）个．
（2）这批金属板材最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
20．（2021七下·赣州期末）阅读下列材料：
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
结合你学过的知识，解决下列问题：
（1）若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有 只，买小鸡一共花费 文钱；（用含x，y的式子表示）
②根据题意，列出一个含有x，y的方程： ；
（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只
（3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设有个老头，个梨 ，
由题意得： .
故答案为：D.
【分析】设有个老头，个梨 ， 由一人一个多一梨可得方程为：x+1=y，由一人两个少二梨可得方程为2x-2=y，即得方程组.
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由每三人共乘一车，最终剩余2辆车可得：.
由每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘可得：.
该二元一次方程组为：.
故答案为：C.
【分析】由每三人共乘一车，最终剩余2辆车可得；由由每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘可得：，联立两方程即可.
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
根据题意得： ，
故答案为：A.
【分析】根据题目中的数量关系：5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶盛米2斛，可列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】设大和尚有 人，小和尚有 人，100个和尚分100个馒头
∵大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头，
∴可得 和
故②③符合题意
故答案为：C.
【分析】若大和尚有 人，小和尚有 人，根据列出二元一次方程组或一元一次方程即可判断.
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，图②所示的算筹图我们可以表述为；
故答案为：A
【分析】根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可.
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：由题意可得 ．
故答案为：C.
【分析】根据总天数是60天可得x+y=60 ；根据乙种零件应是甲种零件的2倍，可得2×24x=12y，联立可得方程组.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙人数为 人，物价为 钱，根据该物品价格不变，即可得出关于x、y的二元一次方程组为： ，
故答案为：A；
【分析】设合伙人数为 人，物价为 钱，根据该物品价格不变，即可得出关于x、y的二元一次方程组，进而得到答案.
8．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设制作A型盒个数为x个，则制作A型盒需要长方形纸板4x张，正方形纸板x张，
∵制作一个B型纸盒需要两张正方形纸板，
∴可制作B型纸盒的数量为个，
∴制作B型盒需要长方形纸板张，
∴4x+3·=360，
∴结论①正确；
设B型盒中正方形纸板的个数为m个，则B型纸盒有个，需要长方形纸板3×个，A型纸盒有（120-m）个，需长方形纸板4（120-m）个，
∴3×+4（120-m）=120，
∴结论②正确；
设制作A型盒子a个，B型盒子b个，
由题意可得：，
解得：，
∴A型纸盒有72个，B型纸盒有24个，
∴制作B型盒中正方形纸板共48张，
∴结论③④正确．
综上所述：结论正确的个数是4个，
故答案为：D.
【分析】根据题意，结合图形，找出等量关系，列方程或方程组计算求解即可。
9．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组：
．
故答案为： ．
【分析】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案．
10．【答案】20；16
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，由题意可得：
，解得：
故答案为：第1空、20
第2空、16
【分析】设用x张制作盒身，y张制作盒底，由题意列出方程组，解方程组即可求出答案。
11．【答案】7；53
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有人，物品价值为元，
由题意得：，解得：；
答：有人，物品价值元；
故答案为：7；53．
【分析】设有人，物品价值为元，根据“ 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程组并解之即可.
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，
根据题意得： .
故答案为： .
【分析】根据“有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，列出二元一次方程，即可.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每个大桶可以盛酒x斛，每个小桶可以盛酒y斛，
依题意得：，
由①+②可得：6x+6y=5，
∴x+y=，
∴1个大桶加1个小桶可以盛酒斛．
故答案为：．
【分析】设每个大桶可以盛酒x斛，每个小桶可以盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，将方程①②相加，即可得出结论．
14．【答案】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）解：∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
，，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据表格数据即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）根据题意即可得到租45座客车14辆，则租60座客车10辆，进而计算租金，比较大小即可求解。
15．【答案】（1）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
．
、为正整数，
为的倍数，
又，
满足条件的为：，，，．
答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，由示意图可知一个竖式纸箱需要一张正方形纸板，4张长方形纸板，一个横式纸箱需要2张正方形纸板，3张长方形纸板，根据正方形纸板1000张可列出方程x+2y=1000，再根据长方形纸板2000张可列出方程4x+3y=2000，联立方程组解得x、y的值；
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据正方形纸板80张，长方形纸板a张列出方程组，再利用加减消元法消去m用a表示出n，然后由n、a的取值范围得到a的值.
16．【答案】（1）解：买80套所花费为：80×60=4800（元），
最多可以节省：5600﹣4800=800（元）
（2）解：解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人．
根据题意，得
解得
答：甲乐团有40人；乙乐团有35人
（3）解：由题意，得3a+5b=65
变形，得b=13﹣ a
因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数
得： 或 ．
所以共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【分析】（1）若甲、乙两个乐团合起来购买服装，则每套是70元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱；（2）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是70元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付5600元，列方程组即可求解；（3）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖列出方程探讨答案即可．
17．【答案】（1）解：设每头牛x银两，每只羊y银两.
解得：
答：每头牛3两银子，每只羊2两银子.
（2）解：设买牛a头，买养b只.
3a+2b=19，即 .
解得a=5，b=2；或a=3，b=5，或a=1，b=8.
答：三种购买方法， 买牛5头，买养2只或买牛3头，买养5只或买牛1头，买养8只.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组，解出即可.(2)根据题意列出代数式，穷举法代入取值即可.
18．【答案】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
依题意，得：，
解得：．
∴1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．
（2）解：依题意得：3a+4b＝31，
∴a＝，
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车；
（3）解：方案1所需租金为：100×9+120×1＝1020元；
方案2所需租金为：100×5+120×4＝980元；
方案3所需租金为：100×1+120×7＝940元．
∵1020＞980＞940，
∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解决问题；
（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；
（3）根据总租金＝每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
19．【答案】（1）；
（2）解：依题意，得 解得 ．
答： 最多能加工 60 个圆柱形茶叶盒．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：（1）每块以A方式裁剪的板材能得到 9 个圆形底面和 1 个侧面 ，则x块金属板能裁剪出9x个圆形底面与x个侧面；每块以B方式裁剪的板材能得到4个侧面，则y块金属板能裁剪出4y个侧面. 而由于已有4块金属板材以C方式裁剪，得到12×4=48块底面，则综合上述方式，总共得到9x+48个底面以及x+4y个侧面.
故答案为：；.
【分析】（1）根据条件中每种方式裁剪出的圆形底面与侧面的个数，写出相应的代数表达式即可；
（2）根据条件“ 购买了 25 块相同的金属板材 ”，列出方程x+y+4=25，然后结合（1）的表达式以及条件“ 2 个圆形底面和 1 个侧面组成一个圆柱形茶叶盒 ”，列出方程，两个方程联立成方程组，求解出x、y后代入到计算即可（因为表示总侧面个数，而每个圆柱形茶叶盒只有一个侧面，意味着求出总侧面个数就等同于求出茶叶盒个数）.
20．【答案】（1）；；
（2）设母鸡有x只，公鸡有y只，根据题意，得：
，解得 ， （只），
答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只．
（3）以下三组答案，写出其中任意两组即可：
①公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只；
②公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；
③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】（1）①若设母鸡有x只，公鸡有y只，可得小鸡有（100-x-y）只，由每三只小鸡值一文钱，可得一只鸡文钱，从而可得买小鸡一共花费文钱；②根据：公鸡的数量+母鸡的数量+小鸡的数量=100，列出方程即可；
（2）根据：公鸡的数量+母鸡的数量+小鸡的数量=100， 母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只 列出方程组，求解即可；
（3）求出符合：公鸡的数量+母鸡的数量+小鸡的数量=100的正整数解即可.
1 / 1【提升版】北师大版数学八年级上册5.3应用二元一次方程组——鸡免同笼 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·郫都期末）我国民间流传着许多趣味算题，他们多以顺口溜的形式表达，其中孙子算经中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设有个老头，个梨 ，
由题意得： .
故答案为：D.
【分析】设有个老头，个梨 ， 由一人一个多一梨可得方程为：x+1=y，由一人两个少二梨可得方程为2x-2=y，即得方程组.
2．（2021八上·河南期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘.问有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由每三人共乘一车，最终剩余2辆车可得：.
由每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘可得：.
该二元一次方程组为：.
故答案为：C.
【分析】由每三人共乘一车，最终剩余2辆车可得；由由每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘可得：，联立两方程即可.
3．（2020八上·重庆期中）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛。”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，若设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
根据题意得： ，
故答案为：A.
【分析】根据题目中的数量关系：5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶盛米2斛，可列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案。
4．（2020八上·福田期末）我国明代数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头，问大、小和尚各有多少人？若大和尚有 人，小和尚有 人，则下列方程或方程组中:①②③④ 正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】设大和尚有 人，小和尚有 人，100个和尚分100个馒头
∵大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头，
∴可得 和
故②③符合题意
故答案为：C.
【分析】若大和尚有 人，小和尚有 人，根据列出二元一次方程组或一元一次方程即可判断.
5．（2023八上·花溪月考）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①②所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图②所示的算筹图我们可以表述为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，图②所示的算筹图我们可以表述为；
故答案为：A
【分析】根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可.
6．（2022八上·岳麓开学考）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件天，乙种玩具零件天，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：由题意可得 ．
故答案为：C.
【分析】根据总天数是60天可得x+y=60 ；根据乙种零件应是甲种零件的2倍，可得2×24x=12y，联立可得方程组.
7．（2020八上·郑州开学考）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就.其中记载：今有共买物，人出八盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱.问人数、物价各是多少？设合伙人数为 人，物价为 钱，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙人数为 人，物价为 钱，根据该物品价格不变，即可得出关于x、y的二元一次方程组为： ，
故答案为：A；
【分析】设合伙人数为 人，物价为 钱，根据该物品价格不变，即可得出关于x、y的二元一次方程组，进而得到答案.
8．（2023八上·江油开学考）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板制作如图②所示的A、B两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，则下列结论中正确的个数是 ( )
①甲同学：设制作A型盒个数为x，根据题意可得4x+3×=360；②乙同学：设制作B型盒用正方形纸板的张数为m，根据题意可得3×+4(120-m)=360；③制作A型盒72个；④制作B型盒需正方形纸板共48张.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设制作A型盒个数为x个，则制作A型盒需要长方形纸板4x张，正方形纸板x张，
∵制作一个B型纸盒需要两张正方形纸板，
∴可制作B型纸盒的数量为个，
∴制作B型盒需要长方形纸板张，
∴4x+3·=360，
∴结论①正确；
设B型盒中正方形纸板的个数为m个，则B型纸盒有个，需要长方形纸板3×个，A型纸盒有（120-m）个，需长方形纸板4（120-m）个，
∴3×+4（120-m）=120，
∴结论②正确；
设制作A型盒子a个，B型盒子b个，
由题意可得：，
解得：，
∴A型纸盒有72个，B型纸盒有24个，
∴制作B型盒中正方形纸板共48张，
∴结论③④正确．
综上所述：结论正确的个数是4个，
故答案为：D.
【分析】根据题意，结合图形，找出等量关系，列方程或方程组计算求解即可。
二、填空题
9．（初中数学北师大版八年级上册第五章 二元一次方程组练习题 (1)）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组：
．
故答案为： ．
【分析】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案．
10．（2023八上·河北开学考）用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制作盒身个或者盒底个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒，现有张白铁皮，用 张制作盒身， 张制作盒底，能使盒身和盒底恰好配套．
【答案】20；16
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，由题意可得：
，解得：
故答案为：第1空、20
第2空、16
【分析】设用x张制作盒身，y张制作盒底，由题意列出方程组，解方程组即可求出答案。
11．（2022八上·西安期中）《九章算术》中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有 人，该物品价值 元．
【答案】7；53
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有人，物品价值为元，
由题意得：，解得：；
答：有人，物品价值元；
故答案为：7；53．
【分析】设有人，物品价值为元，根据“ 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程组并解之即可.
12．（2021八上·成华期末）方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？”
译文为：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.问每头牛、每只羊各值金多少两”.若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，
根据题意得： .
故答案为： .
【分析】根据“有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，列出二元一次方程，即可.
13．（2024七下·新化期末）我国古代问题有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛斛是古代一种容量单位，个大桶加上个小桶可以盛酒斛，那么个大桶加上个小桶可以盛酒 斛．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每个大桶可以盛酒x斛，每个小桶可以盛酒y斛，
依题意得：，
由①+②可得：6x+6y=5，
∴x+y=，
∴1个大桶加1个小桶可以盛酒斛．
故答案为：．
【分析】设每个大桶可以盛酒x斛，每个小桶可以盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，将方程①②相加，即可得出结论．
三、解答题
14．（2023·张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）解：∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
，，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据表格数据即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）根据题意即可得到租45座客车14辆，则租60座客车10辆，进而计算租金，比较大小即可求解。
15．（2023七下·惠阳期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
【答案】（1）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
．
、为正整数，
为的倍数，
又，
满足条件的为：，，，．
答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，由示意图可知一个竖式纸箱需要一张正方形纸板，4张长方形纸板，一个横式纸箱需要2张正方形纸板，3张长方形纸板，根据正方形纸板1000张可列出方程x+2y=1000，再根据长方形纸板2000张可列出方程4x+3y=2000，联立方程组解得x、y的值；
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据正方形纸板80张，长方形纸板a张列出方程组，再利用加减消元法消去m用a表示出n，然后由n、a的取值范围得到a的值.
16．（2015七下·新昌期中）温州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上
每套服装的价格 80元 70元 60元
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费5600元．请回答以下问题：
（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？
（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
【答案】（1）解：买80套所花费为：80×60=4800（元），
最多可以节省：5600﹣4800=800（元）
（2）解：解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人．
根据题意，得
解得
答：甲乐团有40人；乙乐团有35人
（3）解：由题意，得3a+5b=65
变形，得b=13﹣ a
因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数
得： 或 ．
所以共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【分析】（1）若甲、乙两个乐团合起来购买服装，则每套是70元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱；（2）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是70元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付5600元，列方程组即可求解；（3）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖列出方程探讨答案即可．
17．（2020·黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能.
【答案】（1）解：设每头牛x银两，每只羊y银两.
解得：
答：每头牛3两银子，每只羊2两银子.
（2）解：设买牛a头，买养b只.
3a+2b=19，即 .
解得a=5，b=2；或a=3，b=5，或a=1，b=8.
答：三种购买方法， 买牛5头，买养2只或买牛3头，买养5只或买牛1头，买养8只.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组，解出即可.(2)根据题意列出代数式，穷举法代入取值即可.
18．（2022七下·西湖月考）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨.某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满.
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
【答案】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
依题意，得：，
解得：．
∴1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．
（2）解：依题意得：3a+4b＝31，
∴a＝，
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车；
（3）解：方案1所需租金为：100×9+120×1＝1020元；
方案2所需租金为：100×5+120×4＝980元；
方案3所需租金为：100×1+120×7＝940元．
∵1020＞980＞940，
∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解决问题；
（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；
（3）根据总租金＝每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
19． 某工厂加工圆柱形的茶叶盒， 购买了 25 块相同的金属板材， 已知每块金属板材可以有 三种裁剪方式（如图）． 方式： 裁剪成 9 个圆形底面和 1 个侧面． 方式： 裁剪成 4 个侧面． 方式： 裁剪成 12 个圆形底面． 已知 2 个圆形底面和 1 个侧面组成一个圆柱形茶叶盒， 且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有 4 块金属板材按 方式裁前．
（1） 设有 块金属板材按 方式裁剪， 块金属板材按 方式裁剪， 则可以裁剪出圆形底面共 （用含 的代数式表示）个，侧面共 （用含 的代数式表示）个．
（2）这批金属板材最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
【答案】（1）；
（2）解：依题意，得 解得 ．
答： 最多能加工 60 个圆柱形茶叶盒．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：（1）每块以A方式裁剪的板材能得到 9 个圆形底面和 1 个侧面 ，则x块金属板能裁剪出9x个圆形底面与x个侧面；每块以B方式裁剪的板材能得到4个侧面，则y块金属板能裁剪出4y个侧面. 而由于已有4块金属板材以C方式裁剪，得到12×4=48块底面，则综合上述方式，总共得到9x+48个底面以及x+4y个侧面.
故答案为：；.
【分析】（1）根据条件中每种方式裁剪出的圆形底面与侧面的个数，写出相应的代数表达式即可；
（2）根据条件“ 购买了 25 块相同的金属板材 ”，列出方程x+y+4=25，然后结合（1）的表达式以及条件“ 2 个圆形底面和 1 个侧面组成一个圆柱形茶叶盒 ”，列出方程，两个方程联立成方程组，求解出x、y后代入到计算即可（因为表示总侧面个数，而每个圆柱形茶叶盒只有一个侧面，意味着求出总侧面个数就等同于求出茶叶盒个数）.
20．（2021七下·赣州期末）阅读下列材料：
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
结合你学过的知识，解决下列问题：
（1）若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有 只，买小鸡一共花费 文钱；（用含x，y的式子表示）
②根据题意，列出一个含有x，y的方程： ；
（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只
（3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解．
【答案】（1）；；
（2）设母鸡有x只，公鸡有y只，根据题意，得：
，解得 ， （只），
答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只．
（3）以下三组答案，写出其中任意两组即可：
①公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只；
②公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；
③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】（1）①若设母鸡有x只，公鸡有y只，可得小鸡有（100-x-y）只，由每三只小鸡值一文钱，可得一只鸡文钱，从而可得买小鸡一共花费文钱；②根据：公鸡的数量+母鸡的数量+小鸡的数量=100，列出方程即可；
（2）根据：公鸡的数量+母鸡的数量+小鸡的数量=100， 母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只 列出方程组，求解即可；
（3）求出符合：公鸡的数量+母鸡的数量+小鸡的数量=100的正整数解即可.
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