【培优版】北师大版数学八年级上册5.4应用二元一次方程组——增收节支 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·长沙开学考）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则m的值为（ ）
A．-1 B．-4 C．1 D．-2
2．（2023八上·砀山月考）2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会正式开幕，吉祥物“小喜”因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱.为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物玩偶和2个钥匙扣.已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套.设购进x个玩偶，y个钥匙扣，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八上·渠县期末）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架.已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架设甲种型号无人机有x架，乙种型号无人机有y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022八上·长沙月考）《孙子算经》中有这样一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·沙坪坝开学考）上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x人，女生y人，则列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022八上·江油开学考）某校学生去看电影，如果每辆汽车坐60人，则空出1辆汽车，如果每辆汽车坐45人，则15人没有座位，那么学生人数和汽车辆数各是多少？（ ）
A．230人、6辆 B．240人、5辆 C．240人、8辆 D．250人、7辆
7．（2017八上·滕州期末）早餐店里，李明妈妈买了5个馒头，3个包子，老板少要1元，只要10元；王红爸爸买了8个馒头，6个包子，老板九折优惠，只要18元．若馒头每个x元，包子每个y元，则所列二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021八上·驻马店期末）如图，分别用火柴棍连续搭建等边三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如果搭建等边三角形和正六边形共用了2018根火柴，并且等边三角形的个数比正六边形的个数多7，那么连续搭建的等边三角形的个数是（ ）
A．291 B．292 C．293 D．294
9．（2021八上·福田期末）五和超市购进 、 两种饮料共200箱，两种饮料的成本与销售价如下表：
饮料 成本（元/箱） 销售价（元/箱）
25 35
35 50
（1）若该超市花了6500元进货，求购进 、 两种饮料各多少箱？
（2）设购进 种饮料 箱（ ），200箱饮料全部卖完可获利润 元，求 与 的函数关系式，并求购进 种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？
二、填空题
10．（2023八上·历下期中）列方程组解题：“今有马二、牛一，直金七两；马三、牛二，直金十二两．马、牛各直金几何？”其大意是：2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，问每匹马、每头牛各价值多少两？设每匹马两，每头牛两．根据题意，可列方程组为 ．
11．（2018八上·兰州期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 ．两根铁棒长度之和为55 cm， 此时木桶中水的深度是 cm．
12．（2018八上·辽阳月考）两个班组工人，按计划本月应共生产 个零件，实际第一组超额 、第二组超额 完成了本月任务，因此比原计划多生产 个零件.问本月第一组实际生产 个零件.
13．（2022八上·潼南期中）某公司定点到“好客超市”采购A、B两种饮料，8月份采购24件A饮料和32件B饮料共花费了3480元，9月份采购32件A饮料和24件B饮料共花费3240元，10月份该超市A饮料和B饮料中有部分因为保质期临近而打六折促销，公司根据实际需要购买了原价或打折的A饮料和B饮料，共花了2850元，其中打折的A饮料件数是10月份购买所有A饮料和B饮料总件数的，该公司10月份一共购买了A、B饮料 件.
三、解答题
14．（2023八上·深圳期中）某校准备组织八年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次共可送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆（可以只租用一种客车），一次送完，且恰好每辆车都坐满．①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金400元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
15．（2021八上·清涧期末）小颖家准备装修一套房子，若请甲、乙两个装修公司合作，则需6周完成，需花费工钱5.2万元；若先请甲公司单独做4周后，剩下的请乙公司来做；则还需9周才能完成，需花费工钱4.8万元.若只请一个公司单独完成，从节约开支的角度来考虑，小颖家应该选甲公司还是乙公司？
16．（2021八上·岐山期末）某超市出售甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为每件120元，售价为每件130元；乙种商品的进价为每件100元，售价为每件150元.
（1）若超市花费了36000元购进这两种商品，售完后可获得利润6000元，则该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若超市要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品 件，售完后获得的利润为 元，试写出利润 （元）与 （件）之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）.
（3）在（2）的条件下，若甲种商品最少购进100件，请你设计出使利润最大的进货方案，并求出最大利润.
17．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册5.4《 增收节支》同步练习）百货大楼购进某种商品后，加价40%作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70%销售）和九折（按售价的90%销售），共付款399元，这两种商品原销售价之和为490元．
（1）这两种商品的进价分别为多少元？（保留到个位）
（2）对这两种商品而言，商场是赔了，还是赚了？赔、赚了多少钱？
（3）请你帮助商店设计一下，以这两种商品为例，折扣最低为多少方能保证商场只赚不赔？
（4）如果依然让顾客感到低折扣的实惠，那你看怎样设计商品的折扣作为奖励，既使顾客尝到低折扣的购物满足感，而又能保证商场在旺销中有钱可赚？
试题解析：
18．（2024八上·深圳期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中 B型加料的奶茶买了多少杯？
19．（2020八上·黄岛期末）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足 ①， ②，求 和 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得 ，由①+②×2可得 ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ， ；
（2）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算： ，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知 ， ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】
得：2x+2y=2m+4
即：2（x+y）=2（m+2）
∵x+y=1，∴2=2m+4，解得：m=-1，故A符合题意。
故答案为：A
【分析】方程组相加得出2x+2y，即2（x+y），把x+y=1代入求解即可。
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】根据题意已知一个套装礼盒里包含1个吉祥物玩偶和2个钥匙扣，所以2x=y，因为已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，所以60x+20y=5000，所以得出方程组。
故答案为：C.
【分析】根据题意利用等量关系式总价=单价×数量，再依据题意即可得出方程组。
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，
∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，
∴，
∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架，
∴，
联立可得：，
故答案为：D.
【分析】设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，则无人机的总架数为（x+y）架，进而根据“ 甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架 ”列出方程组.
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设绳长尺，木长为尺，
依题意得：，
故答案为：A.
【分析】设绳长x尺，木长为y尺，根据“ 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ”可列方程x-y=4.5，根据“ 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺 ”可列方程 ，据此即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：A.
【分析】根据该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多可得x+4=y；根据男生与女生同桌，这些女生占全班女生的可得x=y，联立可得方程组.
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设学生人数为x人，汽车辆数为y辆，根据题意得
解之：.
∴学生人数为240人，汽车辆数为5辆
故答案为：B.
【分析】等量关系为：60×汽车辆数-学生人数=60；学生人数-45×汽车辆数=15；设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：若馒头每个x元，包子每个y元，由题意得：
，
故选：B．
【分析】根据题意可得等量关系：①5个馒头的钱+3个包子的钱=10+1元；②（8个馒头的钱+6个包子的钱）×9折=18元，根据等量关系列出方程组即可．
8．【答案】C
【知识点】探索图形规律；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设连续搭建等边三角形x个，连续搭建正六边形y个，
由题意，得 ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x＋1）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（5y＋1）根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
9．【答案】（1）解：设购进A种饮料 箱，则购进B种饮料 箱，根据题意得
解得
答：购进A种饮料 箱，则购进B种饮料 箱
（2）解：设购进 种饮料 箱（ ），200箱饮料全部卖完可获利润 元，
则
随 的增大而减小，
又
时， 可获得最大利润，最大利润是 （元）
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进A种饮料 箱，则购进B种饮料 箱，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进 种饮料 箱（ ），200箱饮料全部卖完可获利润 元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
10．【答案】
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每匹马两，每头牛两．
根据题意 .
故答案为： .
【分析】设每匹马两，每头牛两．由“ 2匹马，1头牛，一共价值7两”可得2x+y=7，由“ 3匹马，2头牛，一共价值12两 ”可得3x+2y=12，即得方程组.
11．【答案】20
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y=55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知 x= y，
据此可列： ，
解得： ，
因此木桶中水的深度为30× =20cm．
故填20．
【分析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm，由题意可知有两个相等关系：两根铁棒之和=55；两棒未露出水面的长度相等，根据这两个相等关系列方程组，解方程组即可求解.
12．【答案】384
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设原计划第一组生产x个零件，第二组生产y个零件，
根据题意得： ，
解得： ，
320×（1+20%）=384,故答案为：384.
【分析】由原计划和实际超额的118个零件可列方程组求解。
13．【答案】60
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设1件A饮料x元，1件B饮料y元，
由题意得：，
解得：，
即1件A饮料45元，1件B饮料75元，
设A饮料和B饮料总件数为a件，则打折的A饮料件数为件，
打折的A饮料价格为：（元），打折的B饮料价格为：（元），
即打折的B饮料价格与A饮料原价相同，
设原价B饮料为b件，则打折的B饮料与原价A饮料共有件，
此时，
即，
由题意得：，
整理得：，
∵a、b均为正整数，
∴或或，
∵，
∴，
∴公司10月份一共购买了A、B饮料60件，
故答案为：60.
【分析】设1件A饮料x元，1件B饮料y元，根据题中的相等关系“ 24件A饮料的费用+32件B饮料的费用=3480，32件A饮料的费用+24件B饮料的费用=3240 ”列关于x、y的二元一次方程组，解之求得x、y的值；设A饮料和B饮料总件数为a件，则打折的A饮料件数为a件，计算可知打折的B饮料价格与A饮料原价相同，设原价B饮料为b件，根据题中的不等关系“原价A饮料的件数-原价B饮料的件数0”可得关于a、b的不等式，由题意列关于a、b的二元一次方程，解方程可求解.
14．【答案】（1）解：设1辆小客车坐满后一次可送x名学生，1辆大客车坐满后一次可送y名学生，
依题意得：，
解得：，
∴x+y＝20+45＝65．
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次共可送65名学生．
（2）解：①依题意得：20a+45b＝400，
∴a＝20-b．
又∵a，b均为自然数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用小客车20辆；
方案2：租用小客车11辆，大客车4辆；
方案3：租用小客车2辆，大客车8辆．
②选择方案1所需费用为20×200＝4000（元）；
选择方案2所需费用为11×200+4×400＝3800（元）；
选择方案3所需费用为2×200+8×400＝3600（元）．
∵4000＞3800＞3600，
∴租车方案3最省钱，最少租金为3600元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设1辆小客车坐满后一次可送x名学生，1辆大客车坐满后一次可送y名学生，根据“ 用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人”列出方程组并解之即可；
（2）根据总人数为400，可得方程组20a+45b＝400，求出其自然数解，即得租车方案 ，再求出每种方案的租金，继而比较即可.
15．【答案】解：设甲公司每周的工作效率为 ，乙公司每周的工作效率为 .
由题意，得 解得
即家公司单独完成需10周，乙公司单独完成需15周.
设请甲公司工作一周需花费工钱 万元，请乙公司工作一周需花费工钱 万元.
由题意，得
解得
所以请甲公司单独完成需花费工钱 （万元），
请乙公司单独完成需花费工钱 （万元）
答：从节约开支的角度来考虑，小颖家应该选乙公司.
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】 设甲公司每周的工作效率为x，乙公司每周的工作效率为y，根据相等关系“（甲装修公司 的效率+乙装修公司的效率）×6周=1，甲装修公司 的效率×4周+乙装修公司的效率×9周=1”列关于x、y的方程组求解得出x,y的值；设请甲公司工作一周需花费工钱 万元，请乙公司工作一周需花费工钱 万元，根据相等关系“甲装修公司6周所需花费的工钱+乙装修公司6周所需花费的工钱=5.2，甲装修公司4周所需花费的工钱+乙装修公司9周所需花费的工钱=4.8”列关于a、b的方程组可求得a、b的值，再分别计算请甲、乙公司单独完成需花费工钱并比较大小即可判断求解.
16．【答案】（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，由题意，得
，解得：
答：该商场购进甲种商品240件，乙种商品72件.
（2）已知购进甲种商品x件，则购进乙种商品（200一x）件，根据题意，得
W=（130-120）x+（150-100）（200-x）=-40x+10000，
（3）∵k=-40＜0，
∴W随x的增大而减小.
又∵甲种商品最少购进100件
∴当购进甲种商品的件数为100件时利润最大，
∴进货方案为购进甲、乙种商品的件数各为100件，利润最大，
最大利润=-40×100+10000=6000元.
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设购进甲种商品x件，乙种商品y件， 根据销售问题的数量关系建立方程组求解即可；
（2） 已知购进甲种商品x件，则购进乙种商品（200一x）件， 由利润=（售价-进价）×数量建立函数关系式再化简即可；
（3）根据一次函数的性质， k=-40＜0，W随x的增大而减小，即可得出结论.
17．【答案】（1）解：设这两种商品的进价分别为x元，y元，
（2）解：399－（293＋57）＝49元，商场赚了49元
（3）解：甲折扣不能高于7.15折，乙不能高于7.13折
（4）解：在不低于最低折扣线的前提下，对顾客抽折扣奖时，原则上是：高价物品低折扣，这样既能满足顾客便宜购物的乐趣，刺激顾客购物的欲望，又使得商场有旺销之景，又有利可图．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意可得相等关系：两种商品的售价之和=490，两种商品打折后的售价之和=399；根据相等关系列方程组计算即可求解；
（2）根据折后价-进价即可求解，结果若为正则赚了；若为负，则赔了；
（3）根据售价-进价=0即可求解；
（4） 在不低于最低折扣线的前提下，对顾客抽折扣奖时，原则上是：高价物品低折扣，这样既能满足顾客便宜购物的乐趣，刺激顾客购物的欲望，又使得商场有旺销之景，又有利可图．
18．【答案】解：任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，由题意得：
，
解得：，
答：每杯款奶茶10元，每杯款奶茶12元.
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
∴或或，
有3种购买方案；
任务3：∵奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），
设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶共买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，故款加料的奶茶买了杯，即杯，由题意得：
，
整理得：，
、、均为正整数，
（杯），
答：款加料的奶茶买了3杯．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据题意列出二元一次方程，整理得，可得(m+2)是6的倍数，据此即可确定正整数m和n的值；
任务3：由题意得：奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，款加料的奶茶买了杯，即杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可．
19．【答案】（1）﹣4；6
（2）解：设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元，
依题意，得： ，
由①+②可得 ，
∴ ．
答：购买这批防疫物资共需6700元．
（3）解：依题意，得： ，
由3×①﹣2×②可得： ，
∴
【知识点】定义新运算；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）
由①+②，得 ，
∴ ；
由②①，得 ；
故答案为：﹣4；6．
【分析】（1）由方程的两式相减与相加即可得出结论；
（2） 设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元， 由题意列出方程组，即可得出结果；
（3）由定义新运算列出方程组，求出a-b+c=-11，即可得出结果。
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册5.4应用二元一次方程组——增收节支 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·长沙开学考）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则m的值为（ ）
A．-1 B．-4 C．1 D．-2
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】
得：2x+2y=2m+4
即：2（x+y）=2（m+2）
∵x+y=1，∴2=2m+4，解得：m=-1，故A符合题意。
故答案为：A
【分析】方程组相加得出2x+2y，即2（x+y），把x+y=1代入求解即可。
2．（2023八上·砀山月考）2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会正式开幕，吉祥物“小喜”因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱.为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物玩偶和2个钥匙扣.已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套.设购进x个玩偶，y个钥匙扣，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】根据题意已知一个套装礼盒里包含1个吉祥物玩偶和2个钥匙扣，所以2x=y，因为已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，所以60x+20y=5000，所以得出方程组。
故答案为：C.
【分析】根据题意利用等量关系式总价=单价×数量，再依据题意即可得出方程组。
3．（2023八上·渠县期末）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架.已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架设甲种型号无人机有x架，乙种型号无人机有y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，
∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，
∴，
∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架，
∴，
联立可得：，
故答案为：D.
【分析】设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，则无人机的总架数为（x+y）架，进而根据“ 甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架 ”列出方程组.
4．（2022八上·长沙月考）《孙子算经》中有这样一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设绳长尺，木长为尺，
依题意得：，
故答案为：A.
【分析】设绳长x尺，木长为y尺，根据“ 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ”可列方程x-y=4.5，根据“ 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺 ”可列方程 ，据此即可得出答案.
5．（2022八上·沙坪坝开学考）上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x人，女生y人，则列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：A.
【分析】根据该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多可得x+4=y；根据男生与女生同桌，这些女生占全班女生的可得x=y，联立可得方程组.
6．（2022八上·江油开学考）某校学生去看电影，如果每辆汽车坐60人，则空出1辆汽车，如果每辆汽车坐45人，则15人没有座位，那么学生人数和汽车辆数各是多少？（ ）
A．230人、6辆 B．240人、5辆 C．240人、8辆 D．250人、7辆
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设学生人数为x人，汽车辆数为y辆，根据题意得
解之：.
∴学生人数为240人，汽车辆数为5辆
故答案为：B.
【分析】等量关系为：60×汽车辆数-学生人数=60；学生人数-45×汽车辆数=15；设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
7．（2017八上·滕州期末）早餐店里，李明妈妈买了5个馒头，3个包子，老板少要1元，只要10元；王红爸爸买了8个馒头，6个包子，老板九折优惠，只要18元．若馒头每个x元，包子每个y元，则所列二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：若馒头每个x元，包子每个y元，由题意得：
，
故选：B．
【分析】根据题意可得等量关系：①5个馒头的钱+3个包子的钱=10+1元；②（8个馒头的钱+6个包子的钱）×9折=18元，根据等量关系列出方程组即可．
8．（2021八上·驻马店期末）如图，分别用火柴棍连续搭建等边三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如果搭建等边三角形和正六边形共用了2018根火柴，并且等边三角形的个数比正六边形的个数多7，那么连续搭建的等边三角形的个数是（ ）
A．291 B．292 C．293 D．294
【答案】C
【知识点】探索图形规律；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设连续搭建等边三角形x个，连续搭建正六边形y个，
由题意，得 ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x＋1）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（5y＋1）根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
9．（2021八上·福田期末）五和超市购进 、 两种饮料共200箱，两种饮料的成本与销售价如下表：
饮料 成本（元/箱） 销售价（元/箱）
25 35
35 50
（1）若该超市花了6500元进货，求购进 、 两种饮料各多少箱？
（2）设购进 种饮料 箱（ ），200箱饮料全部卖完可获利润 元，求 与 的函数关系式，并求购进 种饮料多少箱时，可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设购进A种饮料 箱，则购进B种饮料 箱，根据题意得
解得
答：购进A种饮料 箱，则购进B种饮料 箱
（2）解：设购进 种饮料 箱（ ），200箱饮料全部卖完可获利润 元，
则
随 的增大而减小，
又
时， 可获得最大利润，最大利润是 （元）
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进A种饮料 箱，则购进B种饮料 箱，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进 种饮料 箱（ ），200箱饮料全部卖完可获利润 元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
二、填空题
10．（2023八上·历下期中）列方程组解题：“今有马二、牛一，直金七两；马三、牛二，直金十二两．马、牛各直金几何？”其大意是：2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，问每匹马、每头牛各价值多少两？设每匹马两，每头牛两．根据题意，可列方程组为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每匹马两，每头牛两．
根据题意 .
故答案为： .
【分析】设每匹马两，每头牛两．由“ 2匹马，1头牛，一共价值7两”可得2x+y=7，由“ 3匹马，2头牛，一共价值12两 ”可得3x+2y=12，即得方程组.
11．（2018八上·兰州期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 ．两根铁棒长度之和为55 cm， 此时木桶中水的深度是 cm．
【答案】20
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y=55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知 x= y，
据此可列： ，
解得： ，
因此木桶中水的深度为30× =20cm．
故填20．
【分析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm，由题意可知有两个相等关系：两根铁棒之和=55；两棒未露出水面的长度相等，根据这两个相等关系列方程组，解方程组即可求解.
12．（2018八上·辽阳月考）两个班组工人，按计划本月应共生产 个零件，实际第一组超额 、第二组超额 完成了本月任务，因此比原计划多生产 个零件.问本月第一组实际生产 个零件.
【答案】384
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设原计划第一组生产x个零件，第二组生产y个零件，
根据题意得： ，
解得： ，
320×（1+20%）=384,故答案为：384.
【分析】由原计划和实际超额的118个零件可列方程组求解。
13．（2022八上·潼南期中）某公司定点到“好客超市”采购A、B两种饮料，8月份采购24件A饮料和32件B饮料共花费了3480元，9月份采购32件A饮料和24件B饮料共花费3240元，10月份该超市A饮料和B饮料中有部分因为保质期临近而打六折促销，公司根据实际需要购买了原价或打折的A饮料和B饮料，共花了2850元，其中打折的A饮料件数是10月份购买所有A饮料和B饮料总件数的，该公司10月份一共购买了A、B饮料 件.
【答案】60
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设1件A饮料x元，1件B饮料y元，
由题意得：，
解得：，
即1件A饮料45元，1件B饮料75元，
设A饮料和B饮料总件数为a件，则打折的A饮料件数为件，
打折的A饮料价格为：（元），打折的B饮料价格为：（元），
即打折的B饮料价格与A饮料原价相同，
设原价B饮料为b件，则打折的B饮料与原价A饮料共有件，
此时，
即，
由题意得：，
整理得：，
∵a、b均为正整数，
∴或或，
∵，
∴，
∴公司10月份一共购买了A、B饮料60件，
故答案为：60.
【分析】设1件A饮料x元，1件B饮料y元，根据题中的相等关系“ 24件A饮料的费用+32件B饮料的费用=3480，32件A饮料的费用+24件B饮料的费用=3240 ”列关于x、y的二元一次方程组，解之求得x、y的值；设A饮料和B饮料总件数为a件，则打折的A饮料件数为a件，计算可知打折的B饮料价格与A饮料原价相同，设原价B饮料为b件，根据题中的不等关系“原价A饮料的件数-原价B饮料的件数0”可得关于a、b的不等式，由题意列关于a、b的二元一次方程，解方程可求解.
三、解答题
14．（2023八上·深圳期中）某校准备组织八年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次共可送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆（可以只租用一种客车），一次送完，且恰好每辆车都坐满．①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金400元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【答案】（1）解：设1辆小客车坐满后一次可送x名学生，1辆大客车坐满后一次可送y名学生，
依题意得：，
解得：，
∴x+y＝20+45＝65．
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次共可送65名学生．
（2）解：①依题意得：20a+45b＝400，
∴a＝20-b．
又∵a，b均为自然数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用小客车20辆；
方案2：租用小客车11辆，大客车4辆；
方案3：租用小客车2辆，大客车8辆．
②选择方案1所需费用为20×200＝4000（元）；
选择方案2所需费用为11×200+4×400＝3800（元）；
选择方案3所需费用为2×200+8×400＝3600（元）．
∵4000＞3800＞3600，
∴租车方案3最省钱，最少租金为3600元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设1辆小客车坐满后一次可送x名学生，1辆大客车坐满后一次可送y名学生，根据“ 用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人”列出方程组并解之即可；
（2）根据总人数为400，可得方程组20a+45b＝400，求出其自然数解，即得租车方案 ，再求出每种方案的租金，继而比较即可.
15．（2021八上·清涧期末）小颖家准备装修一套房子，若请甲、乙两个装修公司合作，则需6周完成，需花费工钱5.2万元；若先请甲公司单独做4周后，剩下的请乙公司来做；则还需9周才能完成，需花费工钱4.8万元.若只请一个公司单独完成，从节约开支的角度来考虑，小颖家应该选甲公司还是乙公司？
【答案】解：设甲公司每周的工作效率为 ，乙公司每周的工作效率为 .
由题意，得 解得
即家公司单独完成需10周，乙公司单独完成需15周.
设请甲公司工作一周需花费工钱 万元，请乙公司工作一周需花费工钱 万元.
由题意，得
解得
所以请甲公司单独完成需花费工钱 （万元），
请乙公司单独完成需花费工钱 （万元）
答：从节约开支的角度来考虑，小颖家应该选乙公司.
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】 设甲公司每周的工作效率为x，乙公司每周的工作效率为y，根据相等关系“（甲装修公司 的效率+乙装修公司的效率）×6周=1，甲装修公司 的效率×4周+乙装修公司的效率×9周=1”列关于x、y的方程组求解得出x,y的值；设请甲公司工作一周需花费工钱 万元，请乙公司工作一周需花费工钱 万元，根据相等关系“甲装修公司6周所需花费的工钱+乙装修公司6周所需花费的工钱=5.2，甲装修公司4周所需花费的工钱+乙装修公司9周所需花费的工钱=4.8”列关于a、b的方程组可求得a、b的值，再分别计算请甲、乙公司单独完成需花费工钱并比较大小即可判断求解.
16．（2021八上·岐山期末）某超市出售甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为每件120元，售价为每件130元；乙种商品的进价为每件100元，售价为每件150元.
（1）若超市花费了36000元购进这两种商品，售完后可获得利润6000元，则该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若超市要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品 件，售完后获得的利润为 元，试写出利润 （元）与 （件）之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）.
（3）在（2）的条件下，若甲种商品最少购进100件，请你设计出使利润最大的进货方案，并求出最大利润.
【答案】（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，由题意，得
，解得：
答：该商场购进甲种商品240件，乙种商品72件.
（2）已知购进甲种商品x件，则购进乙种商品（200一x）件，根据题意，得
W=（130-120）x+（150-100）（200-x）=-40x+10000，
（3）∵k=-40＜0，
∴W随x的增大而减小.
又∵甲种商品最少购进100件
∴当购进甲种商品的件数为100件时利润最大，
∴进货方案为购进甲、乙种商品的件数各为100件，利润最大，
最大利润=-40×100+10000=6000元.
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设购进甲种商品x件，乙种商品y件， 根据销售问题的数量关系建立方程组求解即可；
（2） 已知购进甲种商品x件，则购进乙种商品（200一x）件， 由利润=（售价-进价）×数量建立函数关系式再化简即可；
（3）根据一次函数的性质， k=-40＜0，W随x的增大而减小，即可得出结论.
17．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册5.4《 增收节支》同步练习）百货大楼购进某种商品后，加价40%作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70%销售）和九折（按售价的90%销售），共付款399元，这两种商品原销售价之和为490元．
（1）这两种商品的进价分别为多少元？（保留到个位）
（2）对这两种商品而言，商场是赔了，还是赚了？赔、赚了多少钱？
（3）请你帮助商店设计一下，以这两种商品为例，折扣最低为多少方能保证商场只赚不赔？
（4）如果依然让顾客感到低折扣的实惠，那你看怎样设计商品的折扣作为奖励，既使顾客尝到低折扣的购物满足感，而又能保证商场在旺销中有钱可赚？
试题解析：
【答案】（1）解：设这两种商品的进价分别为x元，y元，
（2）解：399－（293＋57）＝49元，商场赚了49元
（3）解：甲折扣不能高于7.15折，乙不能高于7.13折
（4）解：在不低于最低折扣线的前提下，对顾客抽折扣奖时，原则上是：高价物品低折扣，这样既能满足顾客便宜购物的乐趣，刺激顾客购物的欲望，又使得商场有旺销之景，又有利可图．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意可得相等关系：两种商品的售价之和=490，两种商品打折后的售价之和=399；根据相等关系列方程组计算即可求解；
（2）根据折后价-进价即可求解，结果若为正则赚了；若为负，则赔了；
（3）根据售价-进价=0即可求解；
（4） 在不低于最低折扣线的前提下，对顾客抽折扣奖时，原则上是：高价物品低折扣，这样既能满足顾客便宜购物的乐趣，刺激顾客购物的欲望，又使得商场有旺销之景，又有利可图．
18．（2024八上·深圳期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中 B型加料的奶茶买了多少杯？
【答案】解：任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，由题意得：
，
解得：，
答：每杯款奶茶10元，每杯款奶茶12元.
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
∴或或，
有3种购买方案；
任务3：∵奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），
设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶共买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，故款加料的奶茶买了杯，即杯，由题意得：
，
整理得：，
、、均为正整数，
（杯），
答：款加料的奶茶买了3杯．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据题意列出二元一次方程，整理得，可得(m+2)是6的倍数，据此即可确定正整数m和n的值；
任务3：由题意得：奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，款加料的奶茶买了杯，即杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可．
19．（2020八上·黄岛期末）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足 ①， ②，求 和 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得 ，由①+②×2可得 ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ， ；
（2）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算： ，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知 ， ，求 的值．
【答案】（1）﹣4；6
（2）解：设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元，
依题意，得： ，
由①+②可得 ，
∴ ．
答：购买这批防疫物资共需6700元．
（3）解：依题意，得： ，
由3×①﹣2×②可得： ，
∴
【知识点】定义新运算；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）
由①+②，得 ，
∴ ；
由②①，得 ；
故答案为：﹣4；6．
【分析】（1）由方程的两式相减与相加即可得出结论；
（2） 设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元， 由题意列出方程组，即可得出结果；
（3）由定义新运算列出方程组，求出a-b+c=-11，即可得出结果。
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