14.3常见的因式分解方法 学案（含答案）人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 14.3常见的因式分解方法 学案（含答案）人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 43.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-08 20:31:15 | ||
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文档简介
常见的因式分解方法
一、提取公因式
1．用提公因式法因式分解多项式： ，其中的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．因式分解： ．
二、乘法公式
3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．因式分解：
三、十字相乘
6．用十字相乘法分解因式：
（1）x2+3x+2=
（2）m2-5m+6=
（3）m2-m-6=
（4）x2-5x-14=
7．根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题：
（1）将二次三项式分解因式；
（2）解一元二次方程；
（3）某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解，如：，方程分解为；从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程．
四、拆项添项
8．用添拆项法将下面各式分解因式：
（1）x4+4y4．
（2）x2- 2ax-b2- 2ab．
五、综合运用
9．计算，等于（ ）
A． B． C． D．
10．下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（ ）
A．15，17 B．16，17 C．15，16 D．13，14
12．已知，若，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( )
A．15 B．30 C．60 D．78
14．分解因式：x2﹣9= .
15．已知是一个完全平方式，则k的值为 ．
16．多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ．
17．若，则 ．
18．利用因式分解进行简便运算：
（1）；
（2）．
19．因式分解：
（1）
（2）
20．下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
“拆项法”因式分解
在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解．
【例题分析】因式分解：
解：原式 …………………………第一步
………………………………第二步
………………………………第三步
……………………………………第四步
任务：
（1）上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解：
A．提公因式法 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．整式乘法
（2）请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解．
21．定义：若数p可以表示成（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：，，．所以4，19，103是“希尔伯特”数．
（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（4除外）
（2）像19，103这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来，已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是108，求这两个“希尔伯特”数．
22．【知识储备】（1）
【知识探究】我们称（1）中公式为“十字相乘”公式，当（1）中时，则上式变为完全平方公式，我们知道，完全平方公式可以由图形的面积得到，那么“十字相乘”公式能否利用图形的面积进行证明？分割下面的几何图形并做好标记，利用两种求面积的方法证明“十字相乘”公式
（2）求几何面积的方法：
方法一：
方法二：
【知识应用】（3）计算：
【拓展应用】（4）因式分解
23．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ；
（2）观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求：的值；
②已知：，求：的值．
24．所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式．配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用．是一种
很重要、很基本的数学方法．如以下例1，例2：
例1：分解因式
解：原式
阅读以上材料，请问答以下问题：
（1）分解因式：______；
（2）利用配方法求的最小值．
参考答案
1．D
2．
3．A
4．D
5．
6．（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）∵1+2=3，1×2=1，
∴
故答案为：
（2）∵－2+(－3)=-5，－2×(－3)=6，
∴
故答案为：
（3）∵2+(－3)=-5，2×(－3)=﹣6，
∴
故答案为：
（4）∵2+(－7)=-5，2×(－7)=﹣14，
∴
7．（1）
（2），
（3），
8．（1）解：原式 .
（2）解：原式 .
9．C
10．D
11．A
12】A
13．D
14．（x+3）（x﹣3）
15．或
16．
17．
18．（1）；
（2）．
19．（1）
（2）
20．（1）A
（2）
21．（1）9，7（答案不唯一）
（2）787与679或147与39
22．（1）；；（2）；；；（3）；（4）
23．（1）；
（2）
（3）①1；②9
24．（1）
（2）解：
∵，
∴
∴的最小值是13
1 / 1
一、提取公因式
1．用提公因式法因式分解多项式： ，其中的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．因式分解： ．
二、乘法公式
3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．因式分解：
三、十字相乘
6．用十字相乘法分解因式：
（1）x2+3x+2=
（2）m2-5m+6=
（3）m2-m-6=
（4）x2-5x-14=
7．根据多项式乘法可知从而我们可得十字相乘法进行因式分解的公式，比如：，据此回答下列问题：
（1）将二次三项式分解因式；
（2）解一元二次方程；
（3）某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的一元二次方程也可以借助此方法解，如：，方程分解为；从而可以快速求出方程的解．请你利用此方法尝试解方程．
四、拆项添项
8．用添拆项法将下面各式分解因式：
（1）x4+4y4．
（2）x2- 2ax-b2- 2ab．
五、综合运用
9．计算，等于（ ）
A． B． C． D．
10．下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（ ）
A．15，17 B．16，17 C．15，16 D．13，14
12．已知，若，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( )
A．15 B．30 C．60 D．78
14．分解因式：x2﹣9= .
15．已知是一个完全平方式，则k的值为 ．
16．多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ．
17．若，则 ．
18．利用因式分解进行简便运算：
（1）；
（2）．
19．因式分解：
（1）
（2）
20．下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
“拆项法”因式分解
在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解．
【例题分析】因式分解：
解：原式 …………………………第一步
………………………………第二步
………………………………第三步
……………………………………第四步
任务：
（1）上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解：
A．提公因式法 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．整式乘法
（2）请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解．
21．定义：若数p可以表示成（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：，，．所以4，19，103是“希尔伯特”数．
（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（4除外）
（2）像19，103这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来，已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是108，求这两个“希尔伯特”数．
22．【知识储备】（1）
【知识探究】我们称（1）中公式为“十字相乘”公式，当（1）中时，则上式变为完全平方公式，我们知道，完全平方公式可以由图形的面积得到，那么“十字相乘”公式能否利用图形的面积进行证明？分割下面的几何图形并做好标记，利用两种求面积的方法证明“十字相乘”公式
（2）求几何面积的方法：
方法一：
方法二：
【知识应用】（3）计算：
【拓展应用】（4）因式分解
23．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ；
（2）观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求：的值；
②已知：，求：的值．
24．所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式．配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用．是一种
很重要、很基本的数学方法．如以下例1，例2：
例1：分解因式
解：原式
阅读以上材料，请问答以下问题：
（1）分解因式：______；
（2）利用配方法求的最小值．
参考答案
1．D
2．
3．A
4．D
5．
6．（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）∵1+2=3，1×2=1，
∴
故答案为：
（2）∵－2+(－3)=-5，－2×(－3)=6，
∴
故答案为：
（3）∵2+(－3)=-5，2×(－3)=﹣6，
∴
故答案为：
（4）∵2+(－7)=-5，2×(－7)=﹣14，
∴
7．（1）
（2），
（3），
8．（1）解：原式 .
（2）解：原式 .
9．C
10．D
11．A
12】A
13．D
14．（x+3）（x﹣3）
15．或
16．
17．
18．（1）；
（2）．
19．（1）
（2）
20．（1）A
（2）
21．（1）9，7（答案不唯一）
（2）787与679或147与39
22．（1）；；（2）；；；（3）；（4）
23．（1）；
（2）
（3）①1；②9
24．（1）
（2）解：
∵，
∴
∴的最小值是13
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